十年高考真題分類匯編(2010-2019) 數(shù)學(xué) 專題15 推理與證明（含解析）

十年高考真題分類匯編（2010—2019）數(shù)學(xué)專題15推理與證明1.(2019·全國(guó)2·文T5)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?)A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲預(yù)測(cè)正確,則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,即甲的成績(jī)比乙高,丙的成績(jī)比乙低,故三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、?若乙預(yù)測(cè)正確,則丙預(yù)測(cè)也正確,不符合題意.若丙預(yù)測(cè)正確,則甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,即丙的成績(jī)比乙高,乙的成績(jī)比甲高,即丙的成績(jī)比甲、乙都高,即乙的預(yù)測(cè)也正確,不合題意,故選A.2.(2017·全國(guó)2·理T7文T9)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī).老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī),看后甲對(duì)大家說:我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)【答案】D【解析】因?yàn)榧撞恢雷约旱某煽?jī),所以乙、丙的成績(jī)是一位優(yōu)秀一位良好.又因?yàn)橐抑辣某煽?jī),所以乙知道自己的成績(jī).又因?yàn)橐?、丙的成?jī)是一位優(yōu)秀一位良好,所以甲、丁的成績(jī)也是一位優(yōu)秀一位良好.又因?yàn)槎≈兰椎某煽?jī),所以丁也知道自己的成績(jī),故選D.3.(2016·北京·理T8)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球,將其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】B【解析】若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個(gè)球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個(gè)球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個(gè)球,抽到兩個(gè)紅球的次數(shù)與抽到兩個(gè)黑球的次數(shù)一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選B.4.(2014·北京·理T8)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí),依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門成績(jī)高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好,并且不存在語文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有()A.2人 B.3人C.4人 D.5人【答案】B【解析】用A,B,C分別表示優(yōu)秀、及格和不及格.顯然,語文成績(jī)得A的學(xué)生最多只有一人,語文成績(jī)得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以這組學(xué)生的成績(jī)?yōu)?AC),(BB),(CA)滿足條件,故學(xué)生最多為3人.5.(2014·山東·理T4)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根【答案】A【解析】因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)的反面為一個(gè)也沒有,所以要做的假設(shè)是方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根.6.(2012·江西·理T6)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=()A.28 B.76 C.123 D.199【答案】C【解析】利用歸納法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.規(guī)律為從第三組開始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和.7.(2017·北京·文T14)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(ⅰ)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ⅱ)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(ⅲ)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為;

②該小組人數(shù)的最小值為.

【答案】612【解析】設(shè)男學(xué)生人數(shù)為x,女學(xué)生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,則x,y,z都是正整數(shù),且x即2z>x>y>z,x,y,z∈N*.①教師人數(shù)為4,即z=4,8>x>y>4,所以y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6.②由題意知2z>x>y>z,x,y,z∈N*.當(dāng)z=1時(shí),2>x>y>1,x,y不存在;當(dāng)z=2時(shí),4>x>y>2,x,y不存在;當(dāng)z=3時(shí),6>x>y>3,x=5,y=4,此時(shí)該小組人數(shù)最少,人數(shù)為5+4+3=12.8.(2017·北京·文T13)能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù),若a>b>c,則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為.

【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)【解析】答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,則a>b>c,而a+b=-3=c,能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù),若a>b>c,則a+b>c”是假命題.9.(2016·全國(guó)2·理T15文T16)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.

【答案】1和3【解析】由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)字是“1和2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時(shí)與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2”,此時(shí)與甲說的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”.10.(2016·山東·文T12)觀察下列等式:sinπsinπsinπ7-sinπ9-……照此規(guī)律:sinπ2n+1-【答案】43n(n+【解析】由等式可知,等式右邊共三個(gè)數(shù)相乘,第1個(gè)數(shù)都是43所以第n個(gè)式子等號(hào)右邊為4311.(2015·山東·理T11)觀察下列各式:C10=4C30+C50+C70+……照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時(shí),C2n-10+【答案】4n-1【解析】等號(hào)右側(cè)指數(shù)規(guī)律為0,1,2,…,n-1.所以第n個(gè)式子為C2n-10+12.(2015·福建·理T15)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?).已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:x4⊕x為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于.

【答案】5【解析】若1≤k≤3,則x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不滿足x4⊕x5⊕x6⊕x7=0;若k=4,則二元碼為1100101,不滿足x1⊕x3⊕x5⊕x7=0;若k=5,則二元碼為1101001,滿足方程組,故k=5.13.(2015·陜西·文T16)觀察下列等式1-11-11-1……據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.

【答案】1-12+13?【解析】經(jīng)觀察知,第n個(gè)等式的左側(cè)是數(shù)列(-1)n-1·1n的前2n項(xiàng)和,而右側(cè)是數(shù)列14.(2014·全國(guó)1·理T14文T14)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為.

【答案】A【解析】根據(jù)甲、乙、丙說的可列表得ABC甲√×√乙√××丙√15.(2014·陜西,理14)觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是.

【答案】F+V-E=2【解析】因?yàn)?+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.16.(2014·北京·文T14)顧客請(qǐng)一位工藝師把A,B兩件玉石原料各制成一件工藝品.工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù).每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作,兩件工藝品都完成后交付顧客.兩件原料每道工序所需時(shí)間(單位:工作日)如下:工序時(shí)間原料粗加工精加工原料A915原料B621則最短交貨期為個(gè)工作日.

【答案】42【解析】最短交貨期為先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工藝師加工該件工藝品,需21天;徒弟可在這幾天中完成原料A的粗加工;最后由工藝師完成原料A的精加工,需15個(gè)工作日.故交貨期為6+21+15=42個(gè)工作日.17.(2014·安徽·文T12)如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=22,過點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為A1;過點(diǎn)A1作AC的垂線,垂足為A2;過點(diǎn)A2作A1C的垂線,垂足為A3;…,依此類推,設(shè)BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,則a7=

.

【答案】1【解析】由題意知數(shù)列{an}是以首項(xiàng)a1=2,公比q=22的等比數(shù)列,∴a7=a1·q6=2×218.(2013·安徽·理T14)如圖,互不相同的點(diǎn)A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分別在角O的兩條邊上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等.設(shè)OAn=an.若a1=1,a2=2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是【答案】an=3n【解析】設(shè)S△O∵a1=1,a2=2,OAn=an,∴OA1=1,OA2=2.又易知△OA1B1∽△OA2B2,∴S△OA∴S梯形A1∵所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等,且△OA1B1∽△OAnBn,∴OA∴a1an=13n-19.(2012·陜西·理T11)觀察下列不等式1+121+121+12……照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為.

【答案】1+1【解析】由前幾個(gè)不等式可知1+122+所以第五個(gè)不等式為1+1220.(2012·福建·文T16)某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè),考慮道路鋪設(shè)方案.方案設(shè)計(jì)圖中,點(diǎn)表示城市,兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路,連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用,要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市,并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小.例如:在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中,若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖(1),則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖(2),此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖(3),則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為.

【答案】16【解析】由題意知,各城市相互到達(dá),且費(fèi)用最少為1+2+2+3+3+5=16=FG+GD+AE+EF+GC+BC.21.(2017·浙江·T22)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).證明:當(dāng)n∈N*時(shí),(1)0<xn+1<xn;(2)2xn+1-xn≤xn(3)12n-1≤x【解析】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn>0.當(dāng)n=1時(shí),x1=1>0,假設(shè)n=k時(shí),xk>0,那么n=k+1時(shí),若xk+1≤0,則0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0,矛盾,故xk+1>0.因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.因此0<xn+1<xn(n∈N*).(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,xnxn+1-4xn+1+2xn=-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).記函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),f'(x)=2x函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(x故2xn+1-xn≤xnxn+12(n(3)因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥12由xnxn+12≥2xn+1-xn得所以1xn?12≥21x故xn≤12綜上,12n-1≤xn≤1222.(2015·北京·理T20)已知數(shù)列{an}滿足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=2an,an≤18,(1)若a1=6,寫出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);(3)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.【解析】(1)6,12,24.(2)因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù).由an+1=2an,如果k=1,則M的所有元素都是3的倍數(shù).如果k>1,因?yàn)閍k=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍數(shù),于是ak-1是3的倍數(shù).類似可得,ak-2,…,a1都是3的倍數(shù),從而對(duì)任意n≥1,an是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).綜上,若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),則M的所有元素都是3的倍數(shù).(3)由a1≤36,an=2an-因?yàn)閍1是正整數(shù),a2=2所以a2是2的倍數(shù).從而當(dāng)n≥3時(shí),an是4的倍數(shù).如果a1是3的倍數(shù),由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n,an是3的倍數(shù).因此當(dāng)n≥3時(shí),an∈{12,24,36}.這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過5.如果a1不