【數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年高一上人教A版（2019）必修第一冊 兩角和與差的正弦、余弦公式

第五章三角函數(shù)第二課時兩角和與差的正弦、余弦公式課標(biāo)要求1.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角差(和)的正弦公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡.素養(yǎng)要求理清兩角和與差的正弦、余弦公式的內(nèi)在聯(lián)系，熟悉公式的特征，完善知識結(jié)構(gòu)，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究內(nèi)容索引互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究1一、兩角和的余弦公式1.問題你能利用兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式嗎？

提示

以－β代替公式C(α－β)中的角β.2.填空

cos(α＋β)＝_______________________，其中α，β∈R.

溫馨提醒

兩角和與差的余弦公式的記憶為：“余余正正，符號相異”.①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦，正弦乘正弦，②“符號相異”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相異.cosαcosβ－sinαsinβA3.做一做

cos22°cos38°－sin22°sin38°的值為(

)二、兩角和與差的正弦公式1.問題

(1)如何利用兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式得到兩角和的正弦公式？(2)怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？提示

在兩角和的正弦公式中，以“－β”代替β.2.填空

(1)兩角和與差的正弦公式簡記公式S(α＋β)sin(α＋β)＝_______________________________S(α－β)sin(α－β)＝_______________________________sinαcos__β＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ(2)記憶口訣：“正余余正，符號相同”.×4.思考辨析正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”.(1)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ

一定不成立.(

)(2)sin(α－β)＝sinα－sinβ恒成立.(

)××√HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1

(1)cos70°cos50°＋cos200°cos40°的值為(

)B題型一公式的正用和逆用解析

法一原式＝sin20°sin40°－cos20°cos40°＝－(cos20°cos40°－sin20°sin40°)法二原式＝cos70°sin40°－cos20°cos40°＝sin40°cos70°－sin70°cos40°＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin30°探究解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形.(2)一般途徑是將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項并消項求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時要逆用或變用公式.思維升華訓(xùn)練1

(1)sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是(

)B解析

原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°題型二給值求值所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]1.給角求值：解題關(guān)鍵是正確選用和差角的正弦余弦公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).2.給值求值：解題關(guān)鍵是找出已知式子與待求式子之間的聯(lián)系及函數(shù)名稱和結(jié)構(gòu)的差異.一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角.思維升華所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)題型三給值求角∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ又因為α，β均為銳角，思維升華解

因為α和β均為鈍角，由α和β均為鈍角，得π<α＋β<2π，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ課堂小結(jié)TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成31.計算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的結(jié)果為(

)A解析

－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°解析

由2tanα·sinα＝3，BC∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα兩式相加可得2cosαcosβ＝0，即cosαcosβ＝0.ABD6.已知cosαcosβ－sinαsinβ＝1，那么sinαcosβ＋cosαsinβ＝________.解析

由題設(shè)，得cos(α＋β)＝1.∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝0.5則0<α－β<π.則sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ解

∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinαA求：(1)cos(2α－β)的值；所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)(2)β的值.解

cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)14.“在△ABC中，cosAcosB＝________＋sinAsinB”，已知橫線處是一個實數(shù).甲同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)a，這時C是直角；乙同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)b，這時C是銳角；丙同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)c