北京市通州區(qū)2021年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案

北京市通州區(qū)2021年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案一、選擇題本題共8分，每小題3分，共24分）下列各題四個選項中，只有一個符合題意。1.拋物線的頂點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】直接根據(jù)頂點式的特點寫出頂點坐標(biāo)．【詳解】∵為拋物線的頂點式，∴根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，頂點坐標(biāo)為；故答案為：C．【點睛】主要考查了求拋物線的頂點坐標(biāo)，掌握拋物線頂點式的特點是解題的關(guān)鍵.2.如圖，為⊙切線，連接，．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得，故可得【詳解】解：∵為⊙切線，又故選：B3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是反比例函數(shù)圖象上的一點，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、該點向該坐標(biāo)軸作的垂線所圍成的直角三角形的面積是定值為，所以即可知道．【詳解】根據(jù)題意可知：．故選：B．4.已知一個扇形的弧長為，半徑是3，則這個扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)弧長公式求出扇形的圓心角，再根據(jù)扇形的面積公式求即可．【詳解】，，，．故選擇：C．5.水平放置的圓柱形排水管道截面半徑為1m．若管道中積水最深處為0.4m，則水面寬度為（）A.0.8m B.1.2m C.1.6m D.1.8m【答案】C【詳解】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，連接OB，如圖所示：則AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，CD=0.4m，∴OC=OD-CD=0.6m，∴BC===0.8（m），∴AB=2AC=1.6m，∴排水管道截面的水面寬度為1.6m，故選：C．6.古希臘人認為，最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”雕像便是如此．若某人身材大致滿足黃金分割比例，且其肚臍至足底的長度為105cm，則此人身高大約為（）A.160cm B.170cm C.180cm D.190cm【答案】B【分析】根據(jù)題意列出比例式，根據(jù)比例性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)頭頂至肚臍的長度為xcm，根據(jù)題意，得：=，∴x=×105≈0.618×105=64.89，則此人身高大約為105+64.89=169.89≈170cm，故選：B．7.已知拋物線的對稱軸為，且經(jīng)過點，．則下列說法中正確的是（）A.若h＝7，則a＞0 B.若h＝5，則a＞0C.若h＝4，則a＜0 D.若h＝6，則a＜0【答案】D【分析】設(shè)y=a(x-h)2+k，當(dāng)x=1時，y=1；當(dāng)x=8時，y=8；代入函數(shù)式整理得a（63-14h）=7，將h的值分別代入即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)y=a(x-h)2+k，當(dāng)x=1時，y=1；當(dāng)x=8時，y=8；代入函數(shù)式得：，∴a（8-h）2-a（1-h）2=7，整理得：a（63-14h）=7，∴，若h=7，則a=-＜0，故A錯誤；若h=5，則a=-1＜0，故B錯誤；若h=4，則a=1＞0，故C錯誤；若h=6，則a=＜0，故D正確；故選：D．8.公元3世紀，劉徽發(fā)現(xiàn)可以用圓內(nèi)接正多邊形的周長近似地表示圓的周長．如圖所示，他首先在圓內(nèi)畫一個內(nèi)接正六邊形，再不斷地增加正多邊形的邊數(shù)；當(dāng)邊數(shù)越多時，正多邊形的周長就越接近于圓的周長．劉徽在《九章算術(shù)》中寫道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”我們稱這種方法為劉徽割圓術(shù)，它開啟了研究圓周率的新紀元．小牧通過圓內(nèi)接正邊形，使用劉徽割圓術(shù)，得到π的近似值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如詳解圖，先利用三角函數(shù)的知識把正邊形的邊長用含有的式子表達出來，求解出正邊形的周長，再利用正邊形的周長無限接近圓的周長即可求解．詳解】如圖：，，則正邊形的周長為：，圓的周長為：，由圓的內(nèi)接正n邊形的周長無限接近圓的周長可得：整理得：故選：A．二、填空題本題共8分，每小題3分，共24分。9.______．【答案】【詳解】解：原式=；故答案為：．10.請寫出一個開口向下，經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達式__________．【答案】答案不唯一（，任何，的二次函數(shù)均可）【解析】【分析】由開口向下可知二次項系數(shù)小于0，由頂點在原點可設(shè)其為頂點式，可求得答案．【詳解】解：∵頂點在坐標(biāo)原點，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2，∵圖象開口向下，∴a＜0，∴可取a=-1，∴拋物線解析式為y=-x2，故答案為：答案不唯一（，任何，的二次函數(shù)均可）．11.如圖，，，為⊙上的點．若，則______．【答案】50°【詳解】∵∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°。12.如圖，輸電塔高．在遠離高壓輸電塔的處，小宇用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫椋阎獪y角儀高，則______．【答案】【分析】作交BE于點C，根據(jù)題意可知AC長，并可求出BC長，由，求出結(jié)果即可．【詳解】如圖，作交BE于點C，根據(jù)題意可知AD=CE=1.7m，BE=41.7m，AC=DE=100m，∴BC=BE-CE=41.7-1.7=40m，∴．故答案為：．13.如圖，在中，，且DE分別交AB，AC于點D，E，若，則與四邊形的面積之比等于__________．【答案】【分析】根據(jù)，可以得到的值，再根據(jù)DE∥BC，可以得到△ADE∽△ABC，從而可以求得△ADE和△ABC的面積之比即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴故答案為：．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，則點坐標(biāo)為___________．【答案】【分析】過點B作BC⊥OA于點C，由題意易得OA=10，然后由勾股定理可得，進而可得△BOC∽△AOB，設(shè)OC=x，則有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．【詳解】解：過點B作BC⊥OA于點C，如圖所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵點，∴OA=10，∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，∴點B的坐標(biāo)為。15.在平面直角坐標(biāo)系中，點為雙曲線上一點．將點向左平移3個單位后，該點恰好出現(xiàn)在雙曲線上，則的值為______．【答案】3．【分析】先求出點平移后的點，利用點A在雙曲線與點A1在雙曲線上構(gòu)造方程組解方程組即可．【詳解】由點，向左平移3個單位后，為，由點A在雙曲線與點A1在雙曲線上，則，解得，故答案為：3．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，⊙的半徑為3，點為⊙上任意一點．則的最大值為______________．【答案】【分析】如圖所示，當(dāng)直線OP與圓A相切時，連接AP，過P作PHx軸，此時取得最大值，利用切線的性質(zhì)得到AP垂直于OP，在直角三角形AOP中，根據(jù)直角邊等于斜邊的一半確定出，為的值，求出即可．【詳解】如圖所示，當(dāng)直線OP與圓A相切時，連接AP，過P作PHx軸，此時取得最大值，OP為圓A的切線，APOP，A(6，0)，圓半徑AP=3，.在Rt△AOP中，AP====則的最大值為故答案為：三、解答題共9小題，17－22題每小題5分，23，24題每小題7分，25題8分，共52分。17.如圖，與交于點，，，，，求的長．【答案】【分析】由，可得出，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，代入，，即可求出AB的長．【詳解】據(jù)題意，；又∵，∴；∴；∵，，，∴．18.二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x………y………（1）該二次函數(shù)的對稱軸為；（2）求出二次函數(shù)的表達式．【答案】（1）直線x＝1；（2）【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)可知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（-1,0）和（3,0），根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x＝1；（2）根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（-1,0）和（3,0），則可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x-3），然后把（0，3）代入求出a即可．【詳解】解：（1）表中數(shù)據(jù)可知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（-1,0）和（3,0），這兩個點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，所以，拋物線的對稱軸為直線x＝1；故答案為：直線x＝1（2）方法一：∵拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（-1,0）和（3,0），∴設(shè)拋物線解析式為：；∵把代入得，解得，；∴拋物線的解析式為：，即；方法二：據(jù)題意，該函數(shù)過點，，代入得；解得：；∴拋物線解析式為：．19.下面是小付設(shè)計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，⊙O及⊙O上一點P．求作：過點P的⊙O的切線．作法：如圖，①作射線OP；②以點P為圓心，PO為半徑作⊙P，與射線OP交于另一點B；③分別以點O，點B為圓心，大于PO長為半徑作弧，兩弧交射線OP上方于點D；④作直線PD；則直線PD即為所求．根據(jù)小付設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵，，∴（____________）（填推理的依據(jù)）．又∵OP是⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線（____________）（填推理的依據(jù)）．【答案】（1）見解析；（2）垂直平分線的判定；經(jīng)過半徑的外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線【詳解】（1）由題意可得：作出⊙，標(biāo)記點；作出點；作出直線；∴DP即為所求直線；（2）證明：∵，，∴（垂直平分線的判定），又∵OP是⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線）；故答案為垂直平分線的判定；經(jīng)過半徑的外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線．20.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)交于點，．（1）求出反比例函數(shù)表達式及的值；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）將點代入可求得m，再將代入可求a（2）不等式的解集即為的函數(shù)圖像在的函數(shù)圖像上方的部分，根據(jù)函數(shù)圖像和A、B點的坐標(biāo)即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵點函數(shù)上∴又∵點在函數(shù)上∴（2）由題意可得圖像如圖所示：由圖像可得，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖像在的函數(shù)圖像上方時，或不等式的解集為．21.如圖，在中，．以為直徑作⊙，交于點，連接．作平分線，交于點，交于點．（1）求證：．（2）若，，求長．【答案】（1）見解析；（2）1【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可證∠ADB=90°，進而有∠1+∠3=90°，再根據(jù)角平分線定義可得∠1=∠2，然后由∠2+∠5=90°和對頂角相等證得∠4=∠5，再根據(jù)等腰三角形的等角對等邊即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和銳角三角函數(shù)分別求得BD、BC、BE，進而可求得DF的長．【詳解】（1）如圖，∵為⊙直徑，∴，∴，∵，∴，∵CE為的角平分線，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）在中，∵，，∴，在中，∵，，∴＝＝，∠ACB=60°，在中，∵，＝，∴＝＝，∴＝，∴．22.有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．嘉瑤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是嘉瑤的探究過程，請補充完整：（1）函數(shù)的圖象與軸交點；（填寫“有”或“無”）（2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值：x……y…n…則n的值為；（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，嘉瑤描出各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點．請你根據(jù)描出的點，幫助嘉瑤畫出該函數(shù)的大致圖象；（4）請你根據(jù)探究二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的經(jīng)驗，結(jié)合圖象直接寫出方程的根約為．（結(jié)果精確到0.1）【答案】（1）無；（2）-4；（3）見解析；（4），或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)式滿足的條件判斷出，所以與y軸沒有交點；（2）把x=1代入函數(shù)式即可；（3）根據(jù)表格坐標(biāo)點描點連線即可；（4）將表示為函數(shù)的形式，找函數(shù)圖像與x軸的交點即可．【詳解】由題意可得：，故與y軸無交點；故填：無；把x=1代入函數(shù)式，得：n=?4；故填：；根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點連線如圖：將表示為函數(shù)的形式，即函數(shù)與x軸的交點，根據(jù)圖像可得：，或；故填：，或．23.如圖，將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形．連接，與正方形交于點，，連接，．（1）求的值（用表示）；（2）求證：；（3）寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3），見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BAG為等腰三角形即可求解；（2）先根據(jù)等腰三角形求出∠CEB的度數(shù)（用表示），再由外角的性質(zhì)求出∠AHE的度數(shù)（用表示），根據(jù)內(nèi)錯角相等即可求證；（3）延長構(gòu)造平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求證．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)得，∴（2）∵，∴又∵，∴∠CEB=∠EHA，∴．（3）如圖延長到使，聯(lián)結(jié)，∵∴∴∴∵∴∴∵∴∵即又∵∴四邊形為平行四邊形∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形∴∴．24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求拋物線對稱軸；（2）求點縱坐標(biāo)（用含有的代數(shù)式表示）；（3）已知點．將點向下移動一個單位，得到點．若拋物線與線段只有一個交點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）由題意得點A、B是關(guān)于對稱軸對稱的兩個點，進而可根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解對稱軸即可；（2）由題意易得二次函數(shù)解析式為，則有，進而問題可求解；（3）由題意可分當(dāng)時，則頂點坐標(biāo)為，求得；當(dāng)時，則將點代入拋物線可求，進而利用圖像法可求解．【詳解】解：（1）由題意得點A、B是關(guān)于對稱軸對稱的兩個點，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線；（2）∵拋物線與軸交于，，∴設(shè)，即，∴，∴點C的縱坐標(biāo)為；（3）由題意得：當(dāng)時，則拋物線的頂點為，不妨當(dāng)時，則；如圖所示：當(dāng)時，不妨將點代入拋物線得：，解得：；∴當(dāng)時，拋物線與線段只有一個交點．綜上所述，當(dāng)或時，拋物線與線段只有一個交點．25.點為平面直角坐標(biāo)系中一點，點為圖形上一點．我們將線段長度的最大值與最小值之間的差定義為點視角下圖形的“寬度”．（1）如圖，⊙半徑2，與軸，軸分別交于點，，點．①在點視角下，⊙的“寬度”為___________，線段的“寬度”為___________；②點為軸上一點．若在點視角下，線段的“寬度”為，求的取值范圍；（2）⊙的圓心在x軸上，半徑為，直線與x軸，y軸分別交于點，．若線段上存在點，使得在點視角下，⊙的“寬度”可以為，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）①4；2；②或；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，為任意實數(shù)；當(dāng)時，為無值．【分析】（1）①先求出OP=，再求出PQ的最大值與最小值，計算⊙的“寬度”為=PQ的最大值與PQ的最小值的差；求出PA最大值，PB最小值，計算線段的“寬度