北師大版選擇性65正態(tài)分布課件（37張）

§5正態(tài)分布學習目標1.通過實際問題的頻率分布直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,能夠說出正態(tài)分布的參數(shù)μ,σ對正態(tài)分布曲線形狀和位置的影響,提升數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng).2.了解變量落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)的概率大小,并能夠利用“3σ原則”解決實際問題,提升數(shù)學運算素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究問題1:在頻率分布直方圖中,隨著組距的增多其形狀會越來越像一條鐘形曲線,那么這條曲線是否存在函數(shù)解析式呢?提示:存在.隨著組距的無限增加,得到的曲線為隨機變量X的分布密度曲線,曲線對應的函數(shù)稱為X的分布密度函數(shù).正態(tài)分布正態(tài)曲線(2)若隨機變量X服從正態(tài)分布,那么這個正態(tài)分布完全由參數(shù)μ,σ(σ>0)確定,記為

.其中EX=

,DX=

.(3)正態(tài)曲線的性質.①非負性:對?x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的

.②對稱性:曲線是單峰的,它關于直線

對稱.X～N(μ,σ2)μσ2上方x=μx=μ④當|x|無限增大時,曲線無限接近

軸.⑤當

一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著

的變化而沿x軸平移,如圖a.⑥當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ較小時曲線“瘦高”,表示總體的分布比較集中;σ較大時,曲線“矮胖”,表示總體的分布比較分散,如圖b.xσμ思考1:正態(tài)分布的幾何意義是什么呢?提示:正態(tài)分布的特點:如果一個隨機變量X服從正態(tài)分布,那么對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X在區(qū)間(a,b]的概率P(a<X≤b)的幾何意義就是隨機變量X的分布密度曲線在區(qū)間(a,b]對應的曲邊梯形面積的值(如圖).且曲線與x軸之間的面積為1.問題2:經(jīng)驗表明,一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用的結果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布.在現(xiàn)實生活中,很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布.某設備在正常運行時,生產(chǎn)的某產(chǎn)品的厚度為100mm.當檢查員隨機抽取一個產(chǎn)品,測得其厚度為X=104mm,他想要求工人停止生產(chǎn),檢查設備,那么他需要考查哪些參數(shù)呢?提示:需要考查這個設備生產(chǎn)的產(chǎn)品厚度的均值和標準差.2.3σ原則若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈

,

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈

,

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈

.

隨機變量X在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]外取值的概率只有約0.3％,認為是小概率事件.通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取區(qū)間

之間的值,并稱之為3σ原則.思考2:問題2中,檢查員考查該產(chǎn)品的均值為100mm,標準差為1mm,他有理由要求工人停止生產(chǎn),檢查設備嗎?提示:有理由.因為X～N(100,1),即產(chǎn)品厚度在(97,103]之間的概率約為0.9974,但是抽取產(chǎn)品的厚度為104mm,說明設備運行可能不正常,所以有理由要求工人停止生產(chǎn),檢查設備.0.68260.95440.9974(μ-3σ,μ+3σ]師生互動·合作探究探究點一正態(tài)曲線及其性質方法總結利用正態(tài)曲線的特點求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱,由此特點結合圖象求出μ.解析:正態(tài)曲線關于x=μ對稱,且μ越大圖象越靠近右邊,所以μ1<μ2=μ3,B,C錯誤;又σ越小數(shù)據(jù)越集中,圖象越瘦長,所以σ1=σ2<σ3,A,D正確.故選AD.探究點二利用正態(tài)分布的性質求概率方法總結利用正態(tài)分布求概率的兩種方法(1)對稱法:由于正態(tài)曲線是關于直線x=μ對稱的,且概率的和為1,故關于直線x=μ對稱的區(qū)間上概率相等.如:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)“3σ”法:利用X落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)內的概率分別是0.6826,0.9544,0.9974求解.[針對訓練](1)(2021·北京高二期末)若X～N(1,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,已知X～N(1,32),則P(4<X≤7)等于(

)A.0.4077 B.0.2718C.0.1359 D.0.0453探究點三正態(tài)分布的應用變式探究:(2021·吉林白城期末)某車間生產(chǎn)一批零件,現(xiàn)從中隨機抽取10個零件,測量其內徑的數(shù)據(jù)如下(單位:cm).87

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103

104設這10個數(shù)據(jù)的平均值為μ,標準差為σ.(1)求μ與σ;變式探究:(2021·吉林白城期末)某車間生產(chǎn)一批零件,現(xiàn)從中隨機抽取10個零件,測量其內徑的數(shù)據(jù)如下(單位:cm).87

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104設這10個數(shù)據(jù)的平均值為μ,標準差為σ.(2)假設這批零件的內徑Z(單位:cm)服從正態(tài)分布N(μ,σ2).①從這批零件中隨機抽取5個,設這5個零件中內徑大于107cm的個數(shù)為X,求D(2X+1);變式探究:(2021·吉林白城期末)某車間生產(chǎn)一批零件,現(xiàn)從中隨機抽取10個零件,測量其內徑的數(shù)據(jù)如下(單位:cm).87

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104設這10個數(shù)據(jù)的平均值為μ,標準差為σ.(2)假設這批零件的內徑Z(單位:cm)服從正態(tài)分布N(μ,σ2).②若該車間又新購一臺新設備,安裝調試后,試生產(chǎn)了5個零件,測量其內徑分別為76,85,93,99,108(單位:cm),以原設備生產(chǎn)性能為標準,試問這臺設備是否需要進一步調試,說明你的理由.參考數(shù)據(jù):若X～N(μ,σ2),則P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997,取0.9974=0.99.方法總結解題時,應當注意考查對象(產(chǎn)品)應落在[μ-3σ,μ+3σ]之內,否則可以認為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,而一旦發(fā)生了,就可以認為這批產(chǎn)品不合格.當堂檢測A2.(2021·全國高二學業(yè)水平考試)已知某年的FRM(金融風險管理師)一級測試成績X服從正態(tài)分布N(45,32),則54分以上的成績所占的百分比約為(附:P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈95.4%,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈99.7%)(

)A.2.38% B.1.35%C.0.26% D.0.15%