12.2三角形全等的判定2023-2024學年八年級數(shù)學上冊考點歸納與解題策略（人教版）（解析版）

第第⑤斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；（“斜邊直角邊”或“HL”）技巧歸納：．證題的思路：注意：①判定兩個三角形全等必須有一組邊對應相等；②全等三角形面積相等．題型一：SSS證明三角形全等問題1．（2023秋·全國·八年級專題）如圖，已知，若用定理證明，則需要添加的條件是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，則需添加第三邊對應相等時可以利用“”判斷，從而可對各選項進行判斷．【詳解】解：∵，∴當添加時，可利用“”判斷．故選：B．【點睛】本題考查了全等會三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等時，下面的4個條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的SSS判定條件解答即可．【詳解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答的關鍵．3．（2022秋·廣東湛江·八年級?？计谥校┤鐖D，.求證：（1）；（2）【答案】（1）見解析；（2）理由見解析.【分析】（1）證明三角形即可解題,（2）利用全等得到∠A=∠D,即可解題.【詳解】（1）證明：，即在和中，（2）理由如下：由（1）得：（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【點睛】本題考查了全等三角形的判定和平行線的判定,屬于簡單題，熟悉全等三角形的判定方法和平行線的判定定理是解題關鍵.題型二：SAS證明三角形全等問題4．（2023秋·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，將兩根鋼條、的中點連在一起，使、可以繞著點自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，由三角形全等得出的長等于內(nèi)槽寬；那么判定的理由是

A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．角角邊【答案】A【分析】由于已知是、的中點，再加對頂角相等即可證明，所以全等理由是邊角邊．【詳解】解：在與中，

，，，∴．故選：A．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定方法，此題利用了，做題時要認真讀圖，找出有用的條件是十分必要的．5．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在正方形中，點分別在邊上，且，連接，平分交于點G．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可以先證明，則，利用角平分線可得，再利用直角三角形的兩銳角互余解題即可．【詳解】解：∵正方形∴在和中，，∴∴∵平分∴∴故選B．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．6．（2023秋·安徽·八年級階段練習）如圖，和中，，連接，．

(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明可得出結論；（2）根據(jù)可得，再根據(jù)證明可得出結論．【詳解】（1）證明：，又，，，∴；（2）證明：，，即，又，，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．題型三：ASA（AAS）證明三角形全等問題7．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，，，如果根據(jù)“”判斷，那么需要補充的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角邊角對應相等，只需找出一對對應角相等即可，進而得出答案．【詳解】解：需要補充的條件是，在和中，，．故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，根據(jù)已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵．8．（2023秋·浙江·八年級專題練習）王強同學用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（，），點C在上，點A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得，則有，進而可證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故選C．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的判定條件是解題的關鍵．9．（2023秋·八年級課時練習）如圖，點B，C分別在射線，上，點E，F(xiàn)都在內(nèi)部的射線上．已知，且．(1)求證：；(2)試判斷，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)已知和三角形外角性質(zhì)求出，，根據(jù)證兩三角形全等即可；（2）結合（1），可得，，進而根據(jù)線段的和差即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵，，∴，同理：，在和中，∴．（2）解：，理由如下：∵，∴，，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點，主要考查學生的分析問題和解決問題的能力，解本題的關鍵是得到．題型四：“HL”證明三角形全等問題10．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，若要用“”證明，則還需補充條件（

）A． B．或C． D．以上都不正確【答案】B【分析】圖形中已有條件，只缺一對直角邊對應相等，因此添加一對直角邊對應相等即可．【詳解】解：∵圖形中已有條件，∴若要用“”證明，則還需補充條件或，故選：B．【點睛】此題考查了直角三角形全等的判定，關鍵是掌握斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“”）．11．（2023秋·全國·八年級專題練習）在中，，是上的一點，且，過作交于，如果，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，得到，進而可得答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用證明是解題的關鍵．12．（2023秋·甘肅天水·八年級?？计谀┤鐖D，于，于，若、．

(1)求證：平分；(2)已知，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線的判定定理得出即可；（2）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，由線段的和差關系求出答案．【詳解】（1）解：證明：，，，在與中，，，，又，，平分；（2），，，，，在與中，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．題型五：全等三角形的輔助線問題13．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長到點E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)【分析】（1）根據(jù)題目中語言描述畫出圖形即可；（2）直接利用證明即可；（3）根據(jù)，得，從而得出，再根據(jù)三角形三邊關系即可得出，即可得出結論；（4）根據(jù)三角形三邊關系得，又由，，，，代入即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）證明：如圖，

∵為邊上的中線，∴，在和中，，∴．（3）證明：如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊的關系，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形三邊的關系是解題的關鍵．14．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知：，，．(1)如圖1當點在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）由全等可知，所以當點在上時，為等腰三角形，依據(jù)已知計算即可．（2）因為兩個三角形中有一邊相等，只要找到這兩個底對應高之間的關系即可．【詳解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案為：．（2）解：如下圖所示：過點作的邊上的高，過點作的邊上的高，由作圖及知：，，，（同角的余角相等），

在與中有：（），，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關鍵是使用分析法找到:兩個三角形面積相等時，底相等則高相等，從而構造全等證明對應高相等．15．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的異側）時，其余條件不變，問與，的關系如何？請證明；（4）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的同側）時其余條件不變，問與，的關系如何？請直接寫出結果，不需說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BD=DE+CE；證明見解析；（4）BD=DE?CE【分析】（1）根據(jù)題意可得，結合，直接用AAS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)（1）的結論，進而可得；（3）方法同（1）證明，進而可得（4）方法同（1）結論同（2）證明，進而可得．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．（3）解：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．∴，，，∴（4）解：．理由如下：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴，∴，．又∵，∴．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．題型六：全等三角形判定和性質(zhì)綜合16．（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點為延長線上一點，點在上，且．

(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的判定和性質(zhì)，即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得，根據(jù)等邊對等角，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出，再根據(jù)，，即可．【詳解】（1）證明，如下：∵，∴，∴在和中，，∴．（2）∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．17．（2023秋·陜西榆林·八年級?？奸_學考試）問題背景如圖，在中，點為邊上一點，連接，延長至點，使得，連接．

問題提出（1）如圖1，若，，，求的度數(shù)；問題拓展（2）如圖2，的角平分線交于點，若，，在上取一點，使，試判斷與是否相等，并說明理由．【答案】（1），（2）相等，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，，推得，結合題意可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可證明．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴．（2）解：相等；理由如下：∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關鍵．18．（2023春·山西呂梁·八年級?？茧A段練習）在中，，，點為邊上一點，過點作，交于點，連接，取的中點，連接，．

(1)觀察猜想：如圖（），與之間的數(shù)量關系是_______，與之間的位置關系是______．(2)類比探究：將圖（）中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，取的中點P，連接，．（）中的結論是否仍然成立？若成立，請就圖（）的情形給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)，；(2)，，理由見解析．【分析】（）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明即可；（）結論成立.過點作交的延長線于，交于點，證明，可得結論．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，故答案為：，，（2）結論成立，理由如下：如圖，

過點作交的延長線于，交于點，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴．單選題19．（2023秋·北京海淀·八年級北京市師達中學校）如圖，在和中，點、、、在同一直線上，，，只添加一個條件，不能確定的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，再根據(jù)三角形全等的判定方法做出選擇即可．【詳解】解：，，A、，不能判斷，故符合題意；B、，，即，利用可以判斷，故不符合題意；C、，利用可以判斷，故不選項符合題意；D、，利用可以判斷，故不符合題意，故選：A．【點睛】本題考查三角形全等的判定，根據(jù)、、、、判斷三角形全等，找出三角形全等的條件是解答本題的關鍵．20．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，D為的中點，則下列結論中：①；②；③平分；④，其中正確的個數(shù)為（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由D為中點可得，利用即可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：∵D為的中點，∴，又∵為公共邊∴，故①正確，∴，∵，∴，即，故②③④正確.綜上所述：正確的結論有①②③④共4個，故選D.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學生的推理能力．其中靈活運用所給的已知條件，從而對各個選項進行逐一驗證進而確定答案是解題的關鍵.21．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，王華站在河邊的處，在河對面(王華的正北方向)的處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了步到達電線桿處，接著再向前走了步到達處，然后轉(zhuǎn)向正南方向直行，當他看到電線塔、電線桿與所處位置在一條直線上時，他共計走了步．若王華步長約為米，則處與電線塔的距離約為(

)

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】設王華走了步時到達點處，則、、三點在同一條直線上，連接，則點在上，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，設王華走了步時到達點處，則、、三點在同一條直線上，連接，則點在上，，

由題意得：步，步，，，解得，米，米，在和中，，，，米，處與電線塔的距離約為米，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理的應用，根據(jù)題意構造出相應的全等三角形是解題的關鍵．22．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，是的平分線，于P，連接，若的面積為16，則的面積為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】延長交于點，證明可得，再利用三角形的中線可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，延長交于點，

是的平分線，∴∵，∴∵，∴，，，（等底同高），，又的面積為，，即，解得，即的面積為，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積，證明是解題的關鍵．23．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖是小華作業(yè)的部分片段，則被污染的部分可能是（

）題干：……，求證：．證明：在和中，，∴．

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可求解．【詳解】解：∵，即運用的是“角邊角”的證明方法，且，，∴當時，即可運用“角邊角”證明，故選：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解題的關鍵．24．（2023秋·八年級課時練習）如圖，，，點A，D和B，C分別在直線和上，點E在上，，，，則的值為（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】運用方法判定，得，進而求解．【詳解】解：∵，，∴．∵，，∴．∴．∴．故選：C．【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．25．（2023秋·浙江·八年級專題練習）已知：如圖，在中，H是高和的交點，且．求證：．

【答案】見解析【分析】先證出，再由證明即可．【詳解】證明：∵和是的高，∴，又∵，，∴，在和中，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關鍵．26．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在四邊形中，點E為對角線上一點，，，且．

(1)證明：；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）由平行得，由求證三角形全等；（2）由全等三角形得，，進而求得．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴的長度為．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；由全等三角形得到線段相等是解題的關鍵．一、單選題27．（2023秋·北京海淀·八年級）如圖，一塊三角形的玻璃碎成3塊（圖中所標1、2、3），小華帶第3塊碎片去玻璃店，購買形狀相同、大小相等的新玻璃，這是利用三角形全等中的（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證．【詳解】解：1、2塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的，故選：B．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，看這3塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．28．（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，要測量一條河的寬度，先在的垂線BF上取兩點C、D，使，再過點D作，要使點A、C、E在同一條直線上，則可以說明，從而得到，因此測得的長就是得長，判定的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對頂角相等得出，根據(jù)題意得出，根據(jù)垂直的定義得出，即可根據(jù)證明．【詳解】解：在和中，，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握判定三角形全等的方法有．29．（2023秋·全國·八年級專題練習）在中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為，則與的面積之和是（

）

A．6 B．8 C．9 D．【答案】A【分析】根據(jù)得到，，從而得到，即可得到，結合的面積為，即可得到答案；【詳解】解：∵，，，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∵的面積為，，∴，∴與的面積之和是6，故選：A．【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是得到．30．（2023秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，D，A，E三點在一條直線上，并且有，若，，，則的長為（

）

A．8.5 B．12 C．13.5 D．17【答案】D【分析】利用余角的性質(zhì)可得，然后利用證明，再利用全等的性質(zhì)求出，，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，又，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是利用三角形全等，求出，．31．（2023秋·江蘇淮安·八年級?？计谀┤鐖D，交于點M，交于點D，交于點N，，，，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)，，，可得，三角形全等的性質(zhì)；可得①；由可得，④不成立．【詳解】解：∵，，，∴，∴；，故④符合題意；∵，∴；故①符合題意；∵，∴，，又∵，∴，故③符合題意；∴，∴，∵，∴，∴，∴不能證明成立，故②不符合題意．綜上分析可知，成立的有3個，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．二、填空題32．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，要測量小金河兩岸相對的A、B兩點之間的距離，可以在與垂直的河岸上取C、D兩點，且使．從點D出發(fā)沿與河岸垂直的方向移動到點E，使點A、C、E在一條直線上．若測量的長為28米，則A、B兩點之間的距離為米．【答案】28【分析】由垂直的定義得，根據(jù)ASA證明，得出米即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴米．故答案為：28．【點睛】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．33．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，點E，F(xiàn)在上，，，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使得≌，你添加的條件是．

【答案】或或【分析】本題要判定≌，已知，由可得，那么只需添加一個條件即可．添邊可以是或添角可以是或．【詳解】解：所添加條件為：或或，∵，∴，即，添加：，在和中，，∴≌；添加：，在和中，，∴≌添加：，在和中，，∴≌．故答案為：或或．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題的關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．34．（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，，且．，垂足分別為．若，則的長為．

【答案】【分析】證，利用全等三角形對應邊相等即可求解．【詳解】解：

由題意得：∴∵∴∴∵∴故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．熟記相關結論是解題關鍵．35．（2023春·河南信陽·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，的面積為，垂直的平分線于點，則的面積為．

【答案】6【分析】延長交于點，根據(jù)角平分線和垂線的定義，易證，得到，，進而得到，即可求出的面積．【詳解】解：如圖，延長交于點，平分，，，，在和中，，，，，和等底同高，，，的面積為，，故答案為：6．

【點睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式等知識，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵．36．（2023秋·陜西榆林·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，為中點，為邊上的動點，連接，交的延長線于點，若，則的值是．

【答案】5【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由證明，得到，最后由即可得到答案．【詳解】解：，，為中點，，在和中，，，，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．37．（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，點在直線上，在中，．動點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動；動點從點出發(fā)沿的路徑向終點運動．點和點分別以和的速度同時開始運動，其中一點到達終點時另一點也停止運動．在某時刻，分別過點作于點于點，則點運動時，與全等．

【答案】或【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出關于t的程，求出即可．【詳解】解：由題意得分為兩種情況，如圖1，P在上，Q在上，

∵，∴，∵，∴，∴，則，∴，即，解得；當P、Q均在上的時候，此時，如圖2：

，∴，解得；故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應邊相等．三、解答題38．（2023秋·江蘇·八年級校考周測）如圖，在中，，，是邊上的中線，過C作，垂足為F，過B作交的延長線于D．(1)試說明；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意可得，，即，根據(jù)“”可證，可得；（2）先求出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，∴．∵是邊上的中線，∴．∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵．39．（2023秋·云南昆明·八年級數(shù)據(jù)測試校2017112校考開學考試）如圖，已知點、、、在同一直線上，，，．

(1)求證：；(2)，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換可得，再利用證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再利用外角的性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）解：，，，，即．在和中，，．（2），，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解決此題的關鍵．40．（2023秋·湖南長沙·八年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？奸_學考試）如圖所示，在中，于D，于E，與交于點F，且．

(1)求證：；(2)已知，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得出，再根據(jù)同角的余角相等得出，然后由證明即可；（2）由全等三角形