專題2.4 全等三角形經(jīng)典模型一線三等角模型（四大類型）2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)考點(diǎn)歸納與解題策略（人教版）（解析版）

第第頁專題2.4全等三角形經(jīng)典模型一線三等角模型（四大類型）【題型一：標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖】【題型二：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】【題型三：“K”型圖與平面直角坐標(biāo)綜合】【題型四：特殊“K”型圖】【方法技巧】模型一一線三垂直全等模型如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一線三等角全等模型如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA圖一圖二應(yīng)用：①通過證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問題；②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點(diǎn)的坐標(biāo)的求解【類型一：標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【變式1-1】（2023春?城陽區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．過點(diǎn)B作BE⊥CA，垂足為點(diǎn)E．若CD＝2，CE＝6，則四邊形ABCD的面積是40．【答案】40．【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD＝AB，∴△ADC≌△BAE（AAS），∴AC＝BE，DC＝AE＝2，∵CE＝6，∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8，∴四邊形ABCD的面積＝△ADC的面積+△ABC的面積＝DC?AC+AC?BE＝×2×8+×8×8＝8+32＝40，故答案為：40．【變式1-2】（2022秋?南陵縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，若AD＝8cm，BE＝3cm，則DE＝5cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝8cm，BE＝3cm，∴DE＝5cm，故答案為：5．【變式1-3】（高陽縣校級(jí)期中）如圖，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，則△ABC的面積是15．【答案】15．【解答】解：∵AE⊥AB，EP⊥AC，∴∠EAP+∠BAG＝90°，∠EAP+∠AEP＝90°，∴∠BAG＝∠AEP，在△AEP和△BAG中，，∴△EPA≌△AGB（AAS），同理△BGC≌△CHD（AAS），∴EP＝AG＝6，GC＝DH＝4，∴AC＝AG+GC＝6+4＝10，∴S△ABC＝AC?BG＝×10×3＝15，故答案為：15．【變式1-4】（2023春?大竹縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB邊上的高AD，CE相交于點(diǎn)F，且AE＝CE．（1）求證：△AEF≌△CEB；（2）若AF＝12，求CD的長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）6．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠EAF＝∠ECB，在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（ASA）．（2）解：∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，BC＝2CD，∴AF＝2CD，∴CD＝AF＝×12＝6．【變式1-5】（2023春?紫金縣期末）為了測量樓AB的高度，在旗桿CD與樓AB之間選定一點(diǎn)P，測得旗桿頂C的視線PC與地面的夾角∠DPC＝17°，樓頂A的視線PA與地面的夾角∠APB＝73°，點(diǎn)P到樓底的距離BP與旗桿CD的高度均為8m，旗桿CD與樓AB之間的距離DB為33m，求樓AB的高度．【答案】樓AB的高度是25m．【解答】解：由題意得：CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDP＝∠PBA＝90°，∵∠DPC＝17°，∴∠DCP＝90°﹣∠DPC＝73°，∵∠APB＝73°，∴∠PCD＝∠APB＝73°，在△CPD和△PAB中，，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴PD＝AB，∵DB＝33m，BP＝8m，∴AB＝PD＝DB﹣BP＝33﹣8＝25（m），∴樓AB的高度是25m．【變式1-6】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B、C分別作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）特例體驗(yàn)：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)偬骄€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點(diǎn)F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【類型二：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】【典例2】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長線上一點(diǎn)，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數(shù)；（2）求證：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為．（用含a，b，c的式子表示）【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，∴∠BAD＝40°，∵AD＝AB，∴∠D＝∠DBA＝70°，又∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）證明：過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，又∵AD＝BC＝AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB＝∠DAB＝∠CAE，∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，在△BAF和△CBG中，，∴△BAF≌△CBG（AAS），∴AF＝BG，BF＝CG，∵∠CBG＝∠CAE，∴∠AEF＝∠ACB＝45°，∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，∴BF＝EG＝CG，∴∠CEG＝∠AEF＝45°，∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，∴S△ABC＝BE?CG＝BE?（AF﹣BE）＝．故答案為：．【變式2-1】（2022秋?香坊區(qū)期末）如圖，等邊△ABC中，CH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，連接DE，點(diǎn)F在CH上，連接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，則DH＝1．【答案】1．【解答】解：在BC上取點(diǎn)G，連接GF，使GC＝GF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝×10＝5，∠BCH＝∠ABC＝30°，∵GF＝GC，∴∠GFC＝∠BCH＝30°，∴∠EGF＝∠GFC+∠BCH＝60°，∴∠B＝∠EGF，∵∠DEF＝60°，∴∠BED+∠GEF＝120°，∵∠BED+∠BDE＝120°，∴∠BDE＝∠GEF，又∵DE＝EF，∴△BDE≌△GEF（AAS），∴BE＝CG＝2，BD＝EG＝10﹣2﹣2＝6，∴DH＝BD﹣BH＝6﹣5＝1．故答案為：1．【變式2-2】（2023春?平陰縣期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為BD＝AE，BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系為BD+CE＝DE．（2）如圖②，當(dāng)AB不垂直于AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t與x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．?【答案】（1）BD＝AE，BD+CE＝DE；（2）成立，理由見解析；（3）存在x，使得△ABD與△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE+AD＝DE，∴BD+CE＝DE，故答案為：BD＝AE，BD+CE＝DE；（2）成立，BD+CE＝DE，理由如下：同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∵AE+AD＝DE，∴BD+CE＝DE；（3）存在，理由如下：當(dāng)△DAB≌△ECA時(shí)，AD＝CE，BD＝AE＝7cm，∵AD+AE＝DE＝10cm，∴CE＝AD＝DE﹣AE＝3cm，∴t＝＝，∴x＝3÷＝2；當(dāng)△DAB≌△EAC時(shí)，∴AD＝AE＝DE＝5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝＝，x＝7÷＝，綜上所述，存在x，使得△ABD與△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝．【變式2-3】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．連接BD、CE，過點(diǎn)A作AH⊥CE于點(diǎn)H，反向延長線段AH交BD于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)AB＝AD時(shí)①請(qǐng)直接寫出BF與DF的數(shù)量關(guān)系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：CE＝2AF（2）如圖2，當(dāng)AB≠AD時(shí)，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①＝；②證明見解答過程；（2）成立，證明見解答過程．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，∴AC＝AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAF，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，故答案為：＝；②∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝EH＝CE，∴CE＝2CH，∵∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠BAF＝∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠AFB＝∠CHA，在△AFB和△CHA中，，∴△AFB≌△CHA（AAS），∴AF＝CH，∴CE＝2AF；（2）成立，證明如下：作BM⊥AF于點(diǎn)M，作DN⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)N，∴∠BMA＝∠N＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，∵AH⊥CE，∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，在△AMB和△CHA中，，∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB＝AH，同理可證△AND≌△EHA（AAS），∴DN＝AH，∴BM＝DN，在△BMF和△DNF中，，∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF＝DF，MF＝NF，∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM＝CH，AN＝EH，∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，∵CE＝CH+EH，∴CE＝2AF，即BF＝DF，CE＝2AF．【變式2-4】直線l經(jīng)過點(diǎn)A，△ABC在直線l上方，AB＝AC．（1）如圖1，∠BAC＝90°，過點(diǎn)B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，D，A，E三點(diǎn)在直線l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α為任意銳角或鈍角），猜想線段DE、BD、CE有何數(shù)量關(guān)系？并給出證明；（3）如圖3，∠BAC＝90°過點(diǎn)B作直線l上的垂線，垂足為F，點(diǎn)D是BF延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，連結(jié)DE，CE．直線l與CE交于點(diǎn)G．求證：G是CE的中點(diǎn)．【答案】（1）證明過程見解析；（2）DE＝BD+CE；證明過程見解析；（3）證明過程見解析．【解答】（1）證明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD與△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD與△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）證明：分別過點(diǎn)C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG與△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G為CE的中點(diǎn)．【變式2-5】問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADE＝60°，DE與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)E，求證：∠BAD＝∠CDE．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請(qǐng)你解答．“如圖2，過E作EF⊥AC于F，探究線段AF，AC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．“問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)改變點(diǎn)D的位置，提出下面問題，請(qǐng)你解答．“如圖3，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在CB延長線上，∠ADE＝60°，DE與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)E，過E作EF⊥AC，交AC延長線于F，探究線段AF，AC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．”【答案】（1）證明見解答過程；（2）AC+CD＝2AF，證明見解答過程；（3）AC+CD＝2AF，證明見解答過程．【解答】（1）證明：方法一：∵∠ADM是△ABD的外角，∴∠ADM＝∠B+∠BAD，∵∠B＝∠ADE＝60°，∠ADM＝∠CDE+∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE；方法二：∵CE是∠ACB的外角平分線，∴∠ACE＝60°，∠DCE＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝120°，∵∠BAD+∠ADB＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，（2）解：結(jié)論：AC+CD＝2AF．理由：如圖2中，連接AE，作EN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BQ＝BD，∴△BDQ是等邊三角形，AQ＝DC，∴∠BQD＝60°，∴∠AQD＝120°，∵CE是∠ACB的外角平分線，∴∠ACE＝60°，∠DCE＝120°，∴∠AQD＝∠DCE，由（1）得∠QAD＝∠CDE，∴△AQD≌△DCE（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AE＝DE，∵EF⊥C，EN⊥CM，CE平分∠ACM，∴EF＝EN，∠EFC＝∠ENC＝90°，∵CE＝CE，∴Rt△CEF≌Rt△CEN（HL），Rt△AEF≌Rt△DEN（HL），∴CF＝CN，AF＝DN，∴AC+CD＝AF+CF+DN﹣CN＝2AF，即AC+CD＝2AF；（3）解：AC+CD＝2AF，證明：連接AE，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，在CD上取CG＝GE＝DB，∵△ABC是等邊角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝120°，∵CE是∠ACB外角平分線，∴∠BCE＝∠FCE＝60°，∴∠ACE＝120°，∴∠ABD＝∠ACE＝120°，∵∠DAB+∠ADB＝180°﹣120°＝60°，∠ADE＝∠ADB+∠CDE＝60°，∴∠DAB＝∠CDE，∵CG＝GE，∠GCE﹣60°，∴∠CGE＝60°，∵∠DGE＝120°，∴在△ADB和△DEG中，，∴△ADB≌△DEG（AAS），∴AD＝DE，∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE＝DE，在Rt△EHC和Rt△EFC中，，∴Rt△EHC≌Rt△EFC（AAS），∴CH＝CF，HE＝FE，在Rt△AFE和Rt△DHE中，，∴Rt△AFE≌Rt△DHE（HL），∴DH＝AF，∴AC+CD＝AF﹣CF+DH+CH＝AF﹣CF+AF+CF＝2AF，即AC+CD＝2AF．【類型三：“K”型圖與平面直角坐標(biāo)綜合】【典例3】（2022秋?葫蘆島期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)B在第四象限．（1）如圖1，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若AB交x軸于點(diǎn)D，BC交y軸于點(diǎn)M，N是BC上一點(diǎn)，且BN＝CM，連接DN，求證CD+DN＝AM；（3）如圖3，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以AC，OC為直角邊在第二、第三象限作等腰直角△ACE與等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，連接EF交x軸于P點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí)，CP的長度是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由，若不變化，請(qǐng)求出其長度．【答案】（1）（3，﹣2）；（2）證明見解析；（3）．【解答】（1）解：如圖1，過B作BF⊥x軸于F，則∠BFC＝90°，∵點(diǎn)A（0，5），點(diǎn)C（﹣2，0），∴OA＝5，OC＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OAC＝∠FCB，∵∠COA＝∠BFC＝90°，∴△CFB≌△AOC（AAS），∴FB＝OC＝2，F(xiàn)C＝OA＝5，∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣2）；（2）證明：如圖2，過B作BE⊥BC交x軸于E，則∠CBE＝90°＝∠ACM，由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴CE＝AM，BE＝CM，∵BN＝CM，∴BE＝BN，∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBN＝45°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDN（SAS），∴DE＝DN，∵CD+DE＝CE，∴CD+DN＝CE，∴CD+DN＝AM；（3）解：CP的長度不變化，CP＝，理由如下：如圖3，過E作EG⊥x軸于G，則∠EGC＝90°＝∠COA，∴∠GEC+∠GCE＝90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，∴∠GEC＝∠OCA，∴△GEC≌△OCA（AAS），∴GC＝OA＝5，GE＝OC，∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，∴OC＝CF，∠FCP＝90°，∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，又∵∠EPG＝∠FPC，∴△EPG≌△FPC（AAS），∴GP＝CP＝GC＝．【變式3-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），把線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）【答案】D【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，∴∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋轉(zhuǎn)得：CB＝BA，∠CBA＝90°，∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BOA≌△CDB（AAS），∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，∴DO＝DB+OB＝4+3＝7，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，7），故選：D．【變式3-2】問題背景：（1）如圖①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E，請(qǐng)直接寫出BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系．拓展延伸：（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC請(qǐng)寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，3），求B點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）BD+CE＝DE；（2）BD+CE＝DE，理由見解析；（3）（1，4）．【解答】解：（1）BD+CE＝DE，理由如下：∵BD⊥AD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（2）BD+CE＝DE，理由如下：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（3）如圖③，過A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過BBF⊥x軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，3），∴OC＝2，OE＝6，AE＝3，∴CE＝OE﹣OC＝6﹣2＝4，由（1）可知，△AEC≌△CFB（AAS），∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝4，∴OF＝CF﹣OC＝3﹣2＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）．【變式3-3】（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點(diǎn)C作直線DE，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，求證：△ADC≌△CEB；（2）如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點(diǎn)C作直線CE，AD⊥CE于點(diǎn)D，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長；（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求點(diǎn)B坐標(biāo)．【答案】（1）證明見解析；（2）0.8cm；（3）（4，1）．【解答】（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CBE+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的長為0.8cm；（3）解：如圖3，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，交y軸于點(diǎn)G，過A作AE⊥l于點(diǎn)E，過B作BF⊥l于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，則∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，∵A（﹣1，0），C（1，3），∴EG＝OA＝1，CG＝1，F(xiàn)H＝AE＝OG＝3，∴CE＝EG+CG＝2，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）．【變式3-4】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B是第二象限內(nèi)任意一點(diǎn)（如圖所示）．線段AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后的圖形為AC，連接BC．（1）當(dāng)線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，①如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），過點(diǎn)B作BH⊥OA，垂足為點(diǎn)H，直接寫出線段AH的長；②如果點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a，且BC∥OA，求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)；（用含a的代數(shù)式表示）（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】（1）①AH＝4；②點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3﹣a；（2）點(diǎn)C坐標(biāo)為（3+n，3﹣m）或（3﹣n，m﹣3）．【解答】解：（1）①如圖，過點(diǎn)B作BH⊥OA，垂足為點(diǎn)H，，∵B（﹣1，2），A（3，0），∴OH＝1，∴AH＝4．②如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC交于點(diǎn)D，，∵BC∥OA，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BD＝AD＝DC，∵B的橫坐標(biāo)為a，∴BD＝3﹣a，∴AD＝3﹣a，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3﹣a．（2）①當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖，點(diǎn)C落在第一象限，過點(diǎn)B作BE⊥OA交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥OA交于點(diǎn)F，，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，在Rt△BAE中，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE＝n，CF＝AE＝3﹣m，∴OF＝3+n，∴C（3+n，3﹣m）．②當(dāng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)C落在第三象限，過點(diǎn)B作BE⊥OA交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥OA交于點(diǎn)F，，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，在Rt△BAE中，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴CF＝AE＝3﹣m，AF＝BE＝n，∴OF＝3﹣n，∵點(diǎn)C在第三象限，∴C（3﹣n，m﹣3）．綜上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3+n，3﹣m）或（3﹣n，m﹣3）．【變式3-5】（2023春?紅安縣期末）【建立模型】如圖①，等腰直角三角形△ABC的直角頂點(diǎn)B在線段EF上，過點(diǎn)A作AE⊥EF于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥EF于點(diǎn)F，可以得到結(jié)論：△ABE≌△BCF．【運(yùn)用模型】請(qǐng)利用這一結(jié)論解決下列問題：（1）如圖①，請(qǐng)證明△ABE≌△BCF；（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），C（﹣1，4），過點(diǎn)A作AB⊥AC，使AB＝AC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，6），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2），第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）證明見解析；（2）（5，2）；（3）第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，14）或（10，10）或（4，8）．【解答】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∠ABE+∠CBF＝90°，又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS）；（2）解：如圖②，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，同（1）得：△ABE≌△CAF（AAS），∴BE＝AF，AE＝CF，∵A（1，0），C（﹣1，4），∴OA＝1，OF＝1，CF＝4，∴AF＝OA+OF＝1+1＝2，OE＝AE+OA＝CF+OA＝4+1＝5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，2）；（3）解：第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形，理由如下：分三種情況：①當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，AP＝AB，如圖③，分別過點(diǎn)B、點(diǎn)P作y軸的垂線交過點(diǎn)A作y軸的平行線于點(diǎn)E、點(diǎn)F，同（1）得：△ABE≌△PAF（AAS），∴BE＝AF，AE＝PF，∵A（﹣2，6）、B（6，2），∴BE＝2+6＝8，AE＝6﹣2＝4，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：4﹣2＝2，縱坐標(biāo)為：8+6＝14，∴P（2，14）；②當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，AB＝BP，如圖④，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)P作x軸的垂線交過點(diǎn)B作x軸的平行線于點(diǎn)E、點(diǎn)F，同（1）得：△ABE≌△BPF（AAS），∴BE＝PF，AE＝BF，∵A（﹣2，6）、B（6，2），∴BE＝2+6＝8，AE＝6﹣2＝4，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：8﹣2+4＝10，縱坐標(biāo)為：8+2＝10，∴P（10，10）；③當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，AP＝BP，如圖⑤，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作x軸的垂線交過點(diǎn)P作x軸的平行線于點(diǎn)E、點(diǎn)F，同（1）得：△APE≌△PBF（AAS），∴PE＝BF，AE＝PF，設(shè)P（x，y），∵A（﹣2，6）、B（6，2），∴x+2＝PE，y﹣2＝BF，y﹣6＝AE，6﹣x＝PF，∴，解得：，∴P（4，8），綜上所述，第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△ABP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，14）或（10，10）或（4，8）．【變式3-6】點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如圖一，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣3），連接AC、OD．①求證：AC＝OD；②求D點(diǎn)坐標(biāo)．（2）如圖二，連接CD，與y軸交于點(diǎn)E，試求BE長度．【解答】（1）①證明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如圖一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如圖二、過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F，則∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【類型四：特殊“K”型圖】【典例4】（1）猜想：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出；（2）探究：如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α為任意銳角或鈍角）如果成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）解決問題：如圖3，F(xiàn)是角平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，D、E分別是直線m上A點(diǎn)左右兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，D、E、A互不重合，在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長度始終為n，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△D