2010-8水文統(tǒng)計(jì)相關(guān)專題簡介

1/35《水文統(tǒng)計(jì)》梁川C.Liang2010年9～11月2/35§8水文統(tǒng)計(jì)中的幾個(gè)專題簡介

8.1水文時(shí)間序列分析

8.2極差分析

8.3輪次分析

8.4風(fēng)險(xiǎn)分析

8.5水文隨機(jī)過程3/358.1水文時(shí)間序列分析

“分析在時(shí)刻t1<t2<…<tn所對(duì)應(yīng)隨機(jī)過程x(t)的采樣值x1,x2,…,xn的變化特征?！睍r(shí)間序列分析方法——“時(shí)域法”&“頻域法”水文時(shí)間序列確定性成分隨機(jī)性成分周期的非周期的單諧波復(fù)合周期殆周期趨勢或突變平穩(wěn)的非平穩(wěn)的廣義的或狹義的非平穩(wěn)序列獨(dú)立的或相依的成分特殊類型4/35

水文時(shí)間序列的構(gòu)成與特點(diǎn)——

隨機(jī)變化：趨勢變化：突變：x(t)ttx(t)5/35

式中，Xt線性疊加的水文過程；Ct暫態(tài)的趨勢成分；St波動(dòng)的周期性成分；Wt各態(tài)歷經(jīng)的相依成分；εt純隨機(jī)成分；a0常數(shù)系數(shù)；Ak隨機(jī)變量；Sin(ωk+φk)周期函數(shù)。

水文時(shí)間序列分析方法與模型——

方法：平穩(wěn)性檢驗(yàn)與趨勢提取、周期性檢驗(yàn)及其分量提取、正態(tài)性檢驗(yàn)、獨(dú)立性檢驗(yàn)、…

常用模型：AR、MA、MRMA、…6/358.2極差分析

“研究水文特征值累計(jì)量的隨機(jī)序列?！?/p>

例：一個(gè)水庫從tj時(shí)刻開始，Δt時(shí)段內(nèi)流入的平均入流量為xj，相應(yīng)的出流量為yj，水庫在時(shí)段末tj＋Δt時(shí)獲得的水量為ΔSj，即ΔSj＝xjΔt－yjΔt＝(xj－yj)Δt

如果每個(gè)時(shí)段的出流量是固定的yj≡x0，則有Δxj=xj－x0，n個(gè)時(shí)段后水庫蓄水量為這里，累計(jì)量{Sj，j＝1,2,…,n}為一個(gè)新的隨機(jī)序列。7/35

過剩

極差

不足

Hurst(1957)建立了Rn～n關(guān)系為，其中k稱為Hurst系數(shù)，0.5<k<1.0。

Rn是反映水文時(shí)間序列“持續(xù)”特性的參數(shù)，與系列的容量有關(guān)。*高階累積過程——Sn+0Sn－TnSjRn8/35

8.3輪次分析

“研究同類事件的事件流之變化規(guī)律?！?/p>

x0以上為正輪S，正輪長m，正輪和平均正輪強(qiáng)S/m：

x0以下為負(fù)輪D，負(fù)輪長n，負(fù)輪和平均負(fù)輪強(qiáng)S/n：

全輪程為：

r＝m＋nmnDSx0txt9/35

輪次分布及其參數(shù)——

若q＝P(xt＜x0)或p＝1－q＝P(xt≥x0)，當(dāng)N→∞時(shí)，則有

f(m)＝qpm-1，f(n)＝pqn-1，

f(r)＝(pqr－qpr)/(q－p)E(m)＝1/q，E(n)＝1/p，E(r)＝1/qpD(m)＝p/q2，D(n)＝q/p2，E(r)＝(1－3qp)/(p2－q2)

式中，m,n,r＝1,2,…,N

水文系列的輪次分布用于檢驗(yàn)隨機(jī)生成水文序列的持續(xù)特性。10/35

8.4風(fēng)險(xiǎn)分析“考察隨機(jī)事件大于設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)而遭受破壞的可能性?！?/p>

如果在任何一年發(fā)生設(shè)計(jì)值xp對(duì)應(yīng)的超過概率p值是確知的，則有

在任一年內(nèi)不發(fā)生的概率為：(1－p)

在n年內(nèi)不發(fā)生的概率為：(1－p)n

在n年內(nèi)要發(fā)生的概率為：1－(1－p)n

于是11/35

定義：工程在n年運(yùn)行期內(nèi)，風(fēng)險(xiǎn)R與概率P的關(guān)系為R＝1－(1－P)n

或R＝P{ξ≥η丨已知分布F(η)}“概率之概率”或“基本風(fēng)險(xiǎn)＋附加風(fēng)險(xiǎn)”橫標(biāo)適線縱標(biāo)適線p0p0xp(x)f(x/p0)x0p0xp(x)f(p/x0)12/35

抗洪能力為常值的風(fēng)險(xiǎn)分析——

假如某工程設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為p＝1％時(shí)，考慮未來100年內(nèi)至少有一年的洪水超過設(shè)計(jì)值的概率為

由此可見，在設(shè)計(jì)重現(xiàn)期期間，設(shè)計(jì)值幾乎很可能被超過。事實(shí)上，當(dāng)運(yùn)行期n≈T時(shí)，則工程的風(fēng)險(xiǎn)為因此，只有當(dāng)n<<T時(shí)風(fēng)險(xiǎn)才較小，故需要選擇非常大的重現(xiàn)期或非常小的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)p值。13/358.5水文隨機(jī)過程

1）水文現(xiàn)象確定性成分——有成因聯(lián)系的周期變化和趨勢變化隨機(jī)性成分——指純隨機(jī)和相依性的變化

2）水文過程Xt

用t表示時(shí)間，當(dāng)t取全體實(shí)數(shù)時(shí)，稱連續(xù)過程；當(dāng)t只取整數(shù)時(shí)，稱離散過程，也稱為水文時(shí)間序列。

14/353）隨機(jī)序列的模擬對(duì)于年最大(小)流量和年降水量序列而言，一般來說，是一個(gè)純隨機(jī)序列。隨機(jī)序列的模擬是以純隨機(jī)變量的模擬為基礎(chǔ)的，或稱為M-C統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法。譬如：某站P-III型分布的Qm序列的隨機(jī)模擬（1）先由實(shí)測的Qm序列確定其頻率曲線Qm～P；（2）用適當(dāng)方法隨機(jī)地模擬頻率Pi(i=1,2,…)，再由Pi通過Qm～P曲線查出Qmi，即為所求。15/354）隨機(jī)數(shù)及其轉(zhuǎn)化隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)化方法有兩類：變換法&舍選法用變換法模擬正態(tài)分布純隨機(jī)序列——

變換公式：

式中，ξ1、ξ2為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的變量；μ1、μ2為利用(0,1)均勻分布抽取的隨機(jī)數(shù)。因?yàn)棣危?xi－x)/σ，故有正態(tài)分布的變量xi

＝x＋ξiσ(i=1,2,…)

特點(diǎn)：計(jì)算工作量小，精度較高，常被采用。16/35

用舍選法模擬P-III型分布純隨機(jī)序列——

計(jì)算步驟：（1）由實(shí)測系列{xi}，適線估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)X、Cv、Cs；（2）模擬公式式中，α0＝x(1－2Cv/Cs)，β=2/(xCvCs)，α＝4/Cs2；參數(shù)Bi為按下式計(jì)算其中r＝a－[a]和s＝1－r

式中，[a]表示取整數(shù)，如a＝3.14時(shí)，[a]＝3；μ1和μ2為一對(duì)隨機(jī)數(shù)。舍選條件必須是。17/35

（3）模擬程序框圖當(dāng)a＝3.14，[a]＝3，令a＝[a]＝3，則r＝0.14，s＝0.86。把抽取的隨機(jī)數(shù)每3個(gè)分為一組，模擬過程見下圖所示18/35

8.5.1隨機(jī)過程隨機(jī)過程的基本概念：指當(dāng)系統(tǒng)變量(時(shí)間t、特征量

)受到隨機(jī)因素影響的過程(狀態(tài)發(fā)生變化)。

有四種情況：

①當(dāng)t固定、

改變——為隨機(jī)變量系列,如Qi，i＝1,2,3,…；②當(dāng)t改變、

固定——為確知的時(shí)間函數(shù)，如Q(t)；③當(dāng)t、

均固定——為確定的值，如Q＝300m3/s；④當(dāng)t、

均改變——為時(shí)間函數(shù)族(組)，如Fn(Qi,ti)，i,n＝1,2,3,…。①t1t00t④③②19/358.5.2隨機(jī)過程及其分類

確定/不確定隨機(jī)過程：未來的值可能由過去的值準(zhǔn)確預(yù)測/未來的值不能由過去的值準(zhǔn)確預(yù)測。

連續(xù)/離散隨機(jī)過程：t和

同時(shí)為連續(xù)變量/t和

不同時(shí)為連續(xù)變量。

獨(dú)立隨機(jī)過程：由n個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量組成的隨機(jī)過程，即Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)n＝1,2,3,…

馬爾可夫過程：具有無后效性的條件分布函數(shù)的隨機(jī)過程，即

F(xn;tn丨xn-1,xn-2,…,x1;tn-1,tn-2,…,t1)

＝F(xn;tn丨xn-1;tn-1)

20/35

獨(dú)立增量過程：任何時(shí)間間隔上，其狀態(tài)的改變不會(huì)影響未來任一時(shí)間間隔上其他狀態(tài)的改變的隨機(jī)過程，是一種特殊的馬爾可夫過程。

F(xn;tn丨xn-1,xn-2,…,x1;tn-1+△t,tn-2+△t,…,t1+△t)

＝F(xn;tn丨xn-1;tn-1+△t)

平穩(wěn)隨機(jī)過程：系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分布特性不會(huì)隨時(shí)間的平移而改變的隨機(jī)過程。Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)＝Fn(x1,x2,…,xn;t1+ε,t2+ε,…,tn+ε)*白噪聲序列——獨(dú)立平穩(wěn)隨機(jī)過程21/35

8.5.3馬爾柯夫過程簡言之：“條件轉(zhuǎn)移概率分布”

F(xn;tn丨xn-1,xn-2,…,x1;tn-1,tn-2,…,t1)=F(xn;tn丨xn-1;tn-1)

其中，時(shí)間參數(shù)集T=(-∞,+∞)，狀態(tài)空間I=(-∞,+∞)。滿足：無后效性、獨(dú)立增量過程。當(dāng)“時(shí)間和狀態(tài)均為離散的馬爾柯夫過程”，即為馬爾柯夫鏈

P(xm+k=ai,m+k丨xm=ai,m,xm-1=ai,m-1,…,x1=ai,1)=P(xm+k=ai,m+k丨xm=ai,m)22/351）馬爾可夫鏈及其基本特性

馬爾可夫鏈：指狀態(tài)

和時(shí)間t均為離散的馬爾可夫過程。其基本特性有：

無后效性——當(dāng)過程在時(shí)刻tk所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時(shí)刻tk+1(tk+1＞tk)所處的狀態(tài)與過程tk時(shí)刻以前無關(guān)。x0x1x2……xkxk+1

狀態(tài)

012……kk+1過程

特點(diǎn)：從現(xiàn)在來看，將來與過去無關(guān)。23/35

遍歷性——系統(tǒng)從現(xiàn)在狀態(tài)ri，經(jīng)過t→∞(或n→∞)時(shí)，存在一個(gè)與ri無關(guān)的極限概率pj(系統(tǒng)處于rj的概率)，稱為轉(zhuǎn)移概率的各態(tài)歷經(jīng)性。

2）轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)從現(xiàn)在狀態(tài)ri，經(jīng)過t時(shí)間(n步)之后，轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)rj的概率，用pij表示。Pij(m,m+k)=P(xm+k=ai丨xm=ai)24/35

1步轉(zhuǎn)移概率：從第k步的狀態(tài)xk=ri，經(jīng)過1步轉(zhuǎn)移到新的狀態(tài)xk+1=rj的概率，即兩個(gè)相鄰時(shí)刻狀態(tài)變化的概率。當(dāng)k=1時(shí)，pij=p(xk+1=rj丨x0,x1,x2,…,xk-1,xk)=p(xk+1=rj丨xk=ri)=Const.

與過去的狀態(tài)x0,x1,x2,…,xk-1無關(guān)，僅與xk有關(guān)。時(shí)間齊次性——從第k步的狀態(tài)xk=ri，經(jīng)過1步轉(zhuǎn)移到新的狀態(tài)xk+1=rj的概率pij與k無關(guān)，也就是第n次轉(zhuǎn)移對(duì)pij都沒有影響，即pij=p(xk+1=rj丨xk=ri)=p(x1=rj丨x0=ri)=Const.

25/35

此時(shí)的pij也稱為隨機(jī)過程的一步平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率，即馬氏轉(zhuǎn)移概率矩陣：

特點(diǎn)：各個(gè)狀態(tài)每一行元素之和為1，且各元素非負(fù)，即（j）

狀態(tài)

012……m

↗

（i）0

p00p01p02……p0m

＝1P＝1

p10p11p12……p1m

＝12

p20p21p22……p2m

＝1：：：

：：：：：：：：：……：：：

：：：m

pm0pm1pm2……pmm

＝126/35

n步轉(zhuǎn)移概率：從第k步的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到第k＋n(共n步)，則稱為隨機(jī)過程的n步平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率。經(jīng)n步后，有

P(2)＝P(1)P(1)＝