弦-切角等于所夾弧對的圓周角

弦-切角等于所夾弧對的圓周角平面幾何中，“圓”是極其重要的。圓涉及的知識面廣，綜合性強。幾乎可以把其它平面中的內(nèi)容都結(jié)合到有關(guān)圓的題目中去，證明有關(guān)圓的題目，常用到重要定理，圓冪定理就是。圓冪定理包括：“相交弦定理”及推論；“切割線定理”及推論；熟悉圓冪定理的內(nèi)容，深刻領(lǐng)會它的作用，靈活地應(yīng)用這些定理，與圓有關(guān)的比例線段問題的前提和基礎(chǔ)，希望同學(xué)們重視。弦切角定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。滿足三個條件：（1）頂點在圓上；（2）一邊和圓相交；（3）一邊和圓相切。判斷下列圖形中的∠

BAC是不是弦切角：圖A中，缺少“頂點在圓上”的條件；圖B中，缺少“一邊和圓相交”的條件；圓C中，缺少“一邊和圓相切”的條件；圓D中，缺少“頂點在圓上”和“一邊和圓相切”兩個條件。所以，圖中的∠BAC都不是弦切角。分類（以圓心的位置分）：（1）圓心在角的外部；（2）圓心在角的一邊上；（3）圓心在角的內(nèi)部。弦切角的度理定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。推論1：弦切角定理，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。推論2：在同圓或等圓中，如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。必刷好題如圖1（4），

有PA=PC·PD當(dāng)點P從圓內(nèi)運動到圓上、圓外時（從圖1（1）到圖1（3）），

總有PA·PB＝PC·PD，圖1（2）中，點B、D與點P重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD同樣成立。當(dāng)割線PBA繞著點P旋轉(zhuǎn)到切線PA的位置時，點B與A重合，結(jié)論不變，仍有PA·PB＝PC·PD，此時PA=PB，所以PA=PC·PD當(dāng)割線PDC也變?yōu)榍芯€PC時，總有PA·PB＝PC·PD，因為PC＝PD，PA＝PB，所以PA=PC，即PA＝PC，此為切線長定理。當(dāng)圖1（1）中的兩條相交弦的位置調(diào)整為：其中一條為直徑，另一條弦與直徑垂直，根據(jù)相交弦定理，同樣有PA·PB＝PC·PD又根據(jù)垂徑定理，2＝PC·PD。當(dāng)圖1（1）中的兩條相交弦的位置調(diào)整為：其中一條為直徑，另一條弦與直徑垂直，根據(jù)相交弦定理，同樣有PA·PB＝PC·PD，又根據(jù)垂徑定理，有PA=PB，所以PA＝PC·PD。在上面的圖形變化中，點P的位置和AB、CD的位置在不斷地變化，而變化中有不變量，即PA·PB＝PC·PD的關(guān)系是不變的。我們應(yīng)抓住圖形的本質(zhì)特征，我們把相交弦定理、割線定理、切割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理?？键c一弦切角1.如圖，AB

是⊙O的直徑，C為圓周上一點，BD

是⊙O的切線，B為切點．（1）在圖（1）中，∠

BAC＝30°，求∠

DBC

的度數(shù)；（2）在圖（2）中，∠

BA1C＝40°，求∠

DBC

的度數(shù)；（3）在圖（3）中，∠

BA2C＝α，求∠

DBC

的度數(shù)；（4）通過（1）（2）（3）的探究你發(fā)現(xiàn)了什么？用你自己的語言敘述你的發(fā)現(xiàn)．2.如圖，已知

AB

是圓O的弦，AC

是圓O的切線，∠

BAC

的平分線交圓O于D，連

BD并延長交

AC

于點C，若∠

DAC＝40°，則∠

B＝（）度，∠

ADC＝（）度。3．如圖為△ABC

和一圓的重迭情形，此圓與直線

BC

相切于C點，且與

AC

交于另一點D。若∠

A＝70°，∠

B＝60°，則CD的度數(shù)為（）．4．如圖，割線

PAB

過圓心O，PD

切⊙O于D，C是BD上一點，∠

PDA＝20°，則∠

C的度數(shù)是（）度。5．如圖，已知

AB

是⊙O的直徑，PC

切⊙O于點C，∠

PCB＝35°，則∠

B等于

度。6．定義：由圓的切線和過切點的弦所組成的角叫做弦切角，如圖

1，已知

AB

切⊙O于

D點，CD

是⊙O的弦，則圖中∠

BCD

與∠

ADC

都是弦切角。（1）如圖2，作∠

BCD

所夾弧

CD

所對的圓周角∠

M，求證：∠

BCD＝∠

M；（2）請用文字語言總結(jié)（1）中的結(jié)論；（3）如圖

3，PB

切⊙O于

B點，PAB

交⊙O于A、B兩點，利用（2）中的結(jié)論，求證PC＝PAPB．重點關(guān)注題李華是個愛動腦筋的孩子，學(xué)完與圓有關(guān)的角圓周角、圓心角后，意猶未盡，又查閱到了與圓有關(guān)的另一種角：弦切角。請同學(xué)們先仔細閱讀下面的材料，再完成后面的問題。材料：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫做弦切角。如圖1，弧AMB是弦切角∠

PAB

所夾的弧，他發(fā)現(xiàn)弦切角與它所夾的弧所對的圓周角有關(guān)系。問題1：如圖2，直線

DB

切⊙O于點A，∠

PCA

是圓周角，當(dāng)圓心O位于邊

AC

上時，求證：∠

PAD＝∠

PCA，請你寫出這個證明過程。問題拓展：問題1：如果圓心O不在∠

PCA

的邊上，∠

PAD＝∠

PCA

還成立嗎？如圖3，當(dāng)圓心O在∠

PCA

的內(nèi)部時，李華證明了這個結(jié)論是成立的。他的思路是：作直線

AE，聯(lián)結(jié)

PE，由問題1結(jié)論知∠

PAD＝∠

PEA，而∠

PCA＝∠

PEA，從而證明∠

PAD＝∠

PC。問題2：如圖4，當(dāng)圓心O在∠

PCA

的外部時，∠

PAD

＝∠

PCA

仍