江蘇省無錫市宜興市和橋二中2015-2016學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試卷（含解析）蘇科版

PAGE2016學(xué)年江蘇省無錫市宜興市和橋二中八年級(jí)（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．下面的圖形都是常見的安全標(biāo)記，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°3．如圖，是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有4個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)黑色部分圖形構(gòu)成軸對稱圖形，這樣的白色小方格有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠EDC的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°5．如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE．若∠B=82°，∠BAE=26°，則∠EAD的度數(shù)為（）A．28° B．30° C．36° D．45°6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)7．在聯(lián)合會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊中垂線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)8．如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（其中P、Q不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，下列結(jié)論：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度數(shù)始終等于60°；（4）當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，△PBQ為直角三角形．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題9．正方形是軸對稱圖形，它共有條對稱軸．10．等腰三角形的頂角是80°，一腰上的高與底邊的夾角是°．11．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，AB=b，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足為E，則△DEB的周長為．（用a、b代數(shù)式表示）12．若一個(gè)等腰三角形兩邊長分別為4cm和2cm，則它的周長為．13．等腰三角形的一條邊長為6cm，周長為14cm，它的底邊長為．14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，∠CBE：∠A=1：2，則∠AED=°．15．一直角三角形的兩條直角邊長分別為12，5，則斜邊長是，斜邊上的中線是．16．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為．17．平面上有A、B兩個(gè)點(diǎn)，以線段AB為一邊作等腰直角三角形能作個(gè)．18．如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AB，BD=AB，則∠DCB=．19．如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC分別交DE、BE于點(diǎn)G、H，則∠EFC=，圖中共有個(gè)等腰三角形．三、解答題20．如圖，銳角三角形ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，且OB=OC（1）求證：AB=AC；（2）求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．21．如圖，在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D在AB的延長線上．（1）利用尺規(guī)按要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．①作∠CBD的平分線；②作BC邊的中垂線交BC邊于點(diǎn)E，連接AE并延長交∠CBD的平分線于點(diǎn)F．（2）由（1）得：BF與邊AC的位置關(guān)系是．22．如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）若∠A=40°，求∠DCB的度數(shù)．（2）若AE=4，△DCB的周長為13，求△ABC的周長．23．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長．24．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE=CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，請判斷ME、BD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．25．幾何模型：條件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小．方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最?。ú槐刈C明）．模型應(yīng)用：（1）如圖2，正方形是大家喜愛的一種軸對稱圖形，它的對角線所在的直線就是對稱軸．現(xiàn)在有一個(gè)邊長為2的正方形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．請求出EP+PB的最小值．（2）如圖3，∠AOC=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．

2015-2016學(xué)年江蘇省無錫市宜興市和橋二中八年級(jí)（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．下面的圖形都是常見的安全標(biāo)記，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】分類討論．【分析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論求解．【解答】解：①80°角是頂角時(shí)，三角形的頂角為80°，②80°角是底角時(shí)，頂角為180°﹣80°×2=20°，綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．3．（2015秋?睢寧縣期中）如圖，是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有4個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)黑色部分圖形構(gòu)成軸對稱圖形，這樣的白色小方格有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案．【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：藍(lán)色正方形位置都能使此圖形是軸對稱圖形，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠EDC的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】可以設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y，根據(jù)∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，從而求解．【解答】解：設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因?yàn)锳D=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，則∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因?yàn)椤螦DC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15，所以∠EDC的度數(shù)是15°．故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角．正確確定相等關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2014秋?崇安區(qū)校級(jí)期中）如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE．若∠B=82°，∠BAE=26°，則∠EAD的度數(shù)為（）A．28° B．30° C．36° D．45°【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）．【分析】求出∠AEC的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到∠EAD=∠C，即可解決問題．【解答】解：由題意得：∠EAD=∠C；∵∠AEC=∠B+∠BAE=82°+26°=108°，∴∠EAD==36°，故選C．【點(diǎn)評】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)找出圖形中隱含的等量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．6．（2015?淄博模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理．【專題】證明題．【分析】根據(jù)已知條件和等腰三角形的判定定理，對圖中的三角形進(jìn)行分析，即可得出答案．【解答】解：共有5個(gè)．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可證△CDE和△BCD是等腰三角形．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形判定和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，屬于中檔題．7．（2013秋?龍崗區(qū)期末）在聯(lián)合會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊中垂線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到中間的凳子的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng)．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個(gè)人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．8．（2014秋?忠縣校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（其中P、Q不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，下列結(jié)論：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度數(shù)始終等于60°；（4）當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，△PBQ為直角三角形．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】易證△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易證∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根據(jù)t的值易求BP，BQ的長，即可求得PQ的長，即可解題．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，根據(jù)題意得：AP=BQ，在△ABQ和△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正確；∴∠AQB=∠CPA，∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，∴∠AMP=∠B=60°，∴∠QMC=60°，（3）正確；∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，∴∠CQM≠60°，∴CQ≠CM，∵BP=CQ，∴CM≠BP，（1）錯(cuò)誤；當(dāng)t=時(shí)，BQ=，BP=4﹣=，∵PQ2=BP2+BQ2﹣2BP?BQcos60°，∴PQ=，∴△PBQ為直角三角形，同理t=時(shí)，△PBQ為直角三角形仍然成立，（4）正確；故選C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ABQ≌△CAP是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2013秋?撫州期末）正方形是軸對稱圖形，它共有4條對稱軸．【考點(diǎn)】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)對稱軸的定義，直接作出圖形的對稱軸即可．【解答】解：∵如圖所示，正方形是軸對稱圖形，它共有4條對稱軸．故答案為：4．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)定義得出個(gè)正多邊形的對稱軸條數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．10．（2014秋?崇安區(qū)校級(jí)期中）等腰三角形的頂角是80°，一腰上的高與底邊的夾角是40°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】從已知條件根據(jù)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半進(jìn)行解答即可．【解答】解：因?yàn)榈妊切蔚捻斀鞘?0°，根據(jù)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半得所求的角為40°．故答案為：40．【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半的理解及運(yùn)用．11．（2014秋?江陰市期中）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，AB=b，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足為E，則△DEB的周長為b．（用a、b代數(shù)式表示）【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】由題目的已知條件應(yīng)用AAS易證△CAD≌△EAD．得到DE=CD，于是BD+DE=BC=AC=AE，則周長可利用對應(yīng)邊相等代換求解．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED．在△CAD和△EAD中，，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴AC=AE，CD=DE．∵AC=BC，∴BC=AE．∴△DEB的周長為DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=AB=b．故答案為：b．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是利用全等把所求的三角形的周長的各邊整理到已知的線段上．12．若一個(gè)等腰三角形兩邊長分別為4cm和2cm，則它的周長為10cm．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論，當(dāng)腰長為2cm或腰長為4cm兩種情況．【解答】解：當(dāng)腰長是2cm時(shí)，則三角形的三邊是2cm，2cm，4cm，2cm+2cm=4cm不滿足三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)腰長是4cm時(shí)，三角形的三邊是4cm，4cm，2cm，4cm+2cm=6cm＞4cm，能構(gòu)成三角形，此時(shí)三角形的周長=4+4+2=10（cm），故答案為：10cm．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．13．（2014秋?江陰市校級(jí)期中）等腰三角形的一條邊長為6cm，周長為14cm，它的底邊長為6cm或2cm．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【分析】根據(jù)題意得出兩種情況，分別求出即可．【解答】解：①當(dāng)腰為6cm時(shí)，底邊為14cm﹣6cm﹣6cm=2cm；②底邊為6cm；故答案為：6cm或2cm．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：等腰三角形的兩腰相等，題目比較好，難度不是很大．14．（2014秋?江陰市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，∠CBE：∠A=1：2，則∠AED=54°．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】由DE垂直平分AB，可得AE=BE，又由在△ABC中，∠C=90°，∠CBE：∠A=1：2，可設(shè)∠A=2x°，即可得方程：2x+3x=90，繼而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠CBE：∠A=1：2，設(shè)∠A=2x°，則∠ABC=∠ABE+∠CBE=2x+x=3x°，∴2x+3x=90，解得：x=18，∴∠A=36°，∴∠AED=90°﹣∠A=54°．故答案為：54．【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．（2015秋?邗江區(qū)期中）一直角三角形的兩條直角邊長分別為12，5，則斜邊長是13，斜邊上的中線是6.5．【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長，再根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【解答】解：根據(jù)勾股定理，斜邊長為=13，斜邊上的中線為13×=6.5，故答案為13，6.5．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的計(jì)算，同事要注意斜邊上的中線等于斜邊的一半．16．（2012?舟山）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為4．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，解答出即可；【解答】解：如右圖，過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE即為所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，∴CD=DE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．17．（2013秋?興化市期中）平面上有A、B兩個(gè)點(diǎn)，以線段AB為一邊作等腰直角三角形能作6個(gè)．【考點(diǎn)】等腰直角三角形．【分析】如圖，以AB為斜邊可以作兩個(gè)等腰直角三角形，以AB為直角邊可以作4個(gè)等腰直角三角形．通過作圖可以得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，作出圖形．以AB為斜邊可以作兩個(gè)等腰直角三角形：△ABC，△ABD，以AB為斜邊可以作出4個(gè)等腰直角三角形：△ABE，△ABF，△ABG，△ABH．∴以線段AB為一邊作等腰直角三角形能作6個(gè)．故答案為6．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，作圖在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，解答時(shí)弄清等腰直角三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．18．（2015秋?鹽都區(qū)期中）如圖，△ABC為等邊三角形，BD⊥AB，BD=AB，則∠DCB=15°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】首先根據(jù)等邊三角形和等腰直角三角形求得∠DBC的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠DCB的度數(shù)即可．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，BD⊥AB，∴∠DBC=90°+60°=150°，∵BD=AB，∴DB=CB，∴∠DCB=（180°﹣150°）=15°，故答案為：15°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得∠DBC的度數(shù)．19．（2014秋?江陰市期中）如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC分別交DE、BE于點(diǎn)G、H，則∠EFC=45°，圖中共有8個(gè)等腰三角形．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．【分析】由已知條件，根據(jù)等邊對等角，線段的垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到等腰三角形，根據(jù)等邊對等角，利用三角形的內(nèi)角和定理得出∠EFC的度數(shù)．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵DE垂直平分AB，∴AE=BE．∴△ABE是等腰三角形；∵BE⊥AC，∴∠△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45°，∴△ADE和△BDF是等腰直角三角形；∵AF⊥BC，∴BF=FC，∴在RT△BEC中，EF=BF，EF=FC，∴△BEF和△EFC是等腰三角形．∵∠1=∠2，∠BAE=∠AED=45°，∴∠EGH=∠AHE，∴△GEH是等腰三角形，∵∠EBC=∠FAC，∠EBF=∠BEF，∴∠GEF=45°+∠BEF=∠ABF=∠FGE，∴△GEF是等腰三角形，∴圖中共有8個(gè)等腰三角形，∵△EFC是等腰三角形，∴∠C=∠FEC，∴∠EFC+2∠C=180°，∵∠BAC+2∠C=180°，∴∠EFC=∠BAC=45°．故答案為45°，6．【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題20．（2015秋?工業(yè)園區(qū)期中）如圖，銳角三角形ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，且OB=OC（1）求證：AB=AC；（2）求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）先根據(jù)條件可以得出∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°就可以得出△BCD≌△CBE，則∠DBC=∠ECB，故AB=AC．（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)得到：BD=CE，就可以得出OE=OD，再證明△ODA≌△OEA就可以得出∠DAO=∠EAO而得出結(jié)論．【解答】證明：如圖，連接AO．（1）∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．∵OB=OC，∴∠DBC=∠ECB．在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（AAS），∴∠DBC=∠ECB，故AB=AC．（2）∵由（1）知，△BCD≌△CBE，∴BD=CE．∵OB=OC，∴BD﹣OB=EC﹣OC∴OD=OE．在Rt△ODA和Rt△OEA中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠DAO=∠EAO，∴OA平分∠BAC．【點(diǎn)評】本題考查了垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，AAS，HL證明三角形全等的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的判定的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形是關(guān)鍵．21．（2014秋?忠縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D在AB的延長線上．（1）利用尺規(guī)按要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．①作∠CBD的平分線；②作BC邊的中垂線交BC邊于點(diǎn)E，連接AE并延長交∠CBD的平分線于點(diǎn)F．（2）由（1）得：BF與邊AC的位置關(guān)系是平行．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】（1）①利用角平分線的作法得出BM；②首先作出BC的垂直平分線，進(jìn)而得出BC的中點(diǎn)，進(jìn)而得出邊BC上的中線AE；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）①如圖所示：BM即為所求；②如圖所示：AF即為所求；（2）∵AB=BC，∴∠CAB=∠C，∵∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，∴∠C=∠CBM，∴BF∥AC．故答案為：平行．【點(diǎn)評】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確利用角平分線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．22．（2014秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）若∠A=40°，求∠DCB的度數(shù)．（2）若AE=4，△DCB的周長為13，求△ABC的周長．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ACB的度數(shù)，又由線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD=CD，即可求得∠ACD的度數(shù)，繼而求得答案；（2）由AE=4，△DCB的周長為13，即可求得△ABC的周長．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB==70°，∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴在△DAC中，∠DCA=∠A=40°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=30°；（2）∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，EC=EA=4，∴AC=2AE=8，∴△ABC的周長為：AC+BC+BD+DA=8+BC+BD+DC=8+13=21．【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．（2014秋?江陰市期中）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）連接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD=CD，繼而可證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得BE=CF；（2）首先證得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后設(shè)BE=x，由AB﹣BE=AC+CF，即可得方程5﹣x=3+x，解方程即可求得答案．【解答】（1）證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，設(shè)BE=x，則CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．【點(diǎn)評】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．24．（2014秋?濱湖區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE=CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，請判斷ME、BD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）易證BD=AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD=∠BCD=45°即可解題．（2）連接MC，易證△MCD為等邊三角形，即可證明△