解三角形角邊互化訓(xùn)練答案

PAGE第3頁共6頁1．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：∵eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，結(jié)合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).2．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，則cosA＝________.解析：由正弦定理得(eq\r(3)sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，eq\r(3)sinBcosA＝sin(A＋C)．∵0<sinB≤1，∴cosA＝eq\f(\r(3),3).3、在△ABC中，，則等于（）A．B．C．D．解析：4、在△ABC中，若則()A．B．C．D．解析：5、在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：，，或所以或6.在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，請(qǐng)判斷△ABC的形狀．7.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，則cosA＝______________8.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，且，則角B的大小是．解析:由余弦定理，得．則，即．所以B的大小是或．9．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c)．（1）求角B的度數(shù)；（2）若b＝eq\r(19)，a＋c＝5，求a和c的值．解析:（1）由題設(shè)，可得eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(sinB,2sinA＋sinC)，則－sinBcosC＝2cosBsinA＋cosBsinC．sinBcosC＋cosBsinC＋2cosBsinA＝0，sin(B＋C)＋2cosBsinA＝0，sinA＋2cosBsinA＝0．因?yàn)閟inA≠0，所以cosB＝－eq\f(1,2)，所以B＝120o．(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴19＝(a＋c)2－2ac－2accos120o，∴ac＝6又a＋c＝5，可解得eq\b\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝3,))或eq\b\lc\{(\a\al(a＝3，,c＝2．))10.在斜三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且.求角A；若，求角C的取值范圍。解：⑴∵，………………2分又∵，∴而為斜三角形，∵，∴.………………4分∵，∴.……………………6分⑵∵，∴…12分即，∵，∴.…………………14分11.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為 ()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析∵(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，∴eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·tanB＝eq\f(\r(3),2)，即cosB·tanB＝sinB＝eq\f(\r(3),2).∵0<B<π，∴角B的值為eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).12.。在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且eq\f(a,b)＝eq\r(3)，則角C的值為 ()A．45° B．60° C．90° D．120°解析由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴A＝60°.又eq\f(a,b)＝eq\r(3)，∴eq\f(sinA,sinB)＝eq\r(3)，∴sinB＝eq\f(\r(3),3)sinA＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)，∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.10．(13分)(2009·淮南調(diào)研)在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，試判斷△ABC的形狀．解由已知eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)＝eq\f(2cos2C,2cos2B)＝eq\f(cos2C,cos2B)＝eq\f(bcosC,ccosB)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c).方法一利用正弦定理邊化角．由正弦定理，得eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(sinB,sinC)，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B因?yàn)锽、C均為△ABC的內(nèi)角，所以2C＝2B或2C＋2所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．方法二由余弦定理，得eq\f(\f(a2＋b2－c2,2ab),\f(a2＋c2－b2,2ac))＝eq\f(b,c)，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)，所以a2c2－c4＝a2b2－b4即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0，所以a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0，所以b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2.11.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b2＋c2－bc＝a2和eq\f(c,b)＝eq\f(1,2)＋eq\r(3)，求角A和tanB的值．解由b2＋c2－bc＝a2，得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，即cosA＝eq\f(1,2)，又0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).又eq\f(c,b)＝eq\f(1,2)＋eq\r(3)，eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(1,2)＋eq\r(3)，C＝π－A－B＝eq\f(2π,3)－B，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\r(3)))sinB，整理得eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1,2)sinB＋eq\r(3)sinB.∴eq\f(1,2)cosB＝sinB，則tanB＝eq\f(1,2).12的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是，設(shè)向量，若，則角的大小為1.由,由正弦定理有即,再由余弦定理得13．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知，求：（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）的值.解：(Ⅰ)由余弦定理，(Ⅱ)非邊化角14.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b的值．15.已知的周長(zhǎng)為，且．（=1\*ROMANI）求邊的長(zhǎng)；（=2\*ROMANII）若的面積為，求角的度數(shù)．解：（=1\*ROMANI）由題意及正弦定理，得，，兩式相減，得．（=2\*ROMANII）由的面積，得，由余弦定理，得，所以．16,。所以△ABC為等腰三角形