江蘇專版2023-2024學年新教材高中數(shù)學第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標準方程分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊

3.2.1雙曲線及其標準方程A級必備知識基礎(chǔ)練1.［探究點二］（多選題）過點,且的雙曲線的標準方程可以是()A. B. C. D.2.［探究點三］若方程表示焦點在軸上的雙曲線,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.3.［探究點二］已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點在雙曲線的右支上,若,且雙曲線的焦距為,則該雙曲線的方程為()A. B. C. D.4.［探究點一］已知雙曲線上一點到左焦點的距離為10,則的中點到坐標原點的距離為()A.3或7 B.6或14 C.3 D.75.［探究點四］許多建筑融入了數(shù)學元素,更具神韻,數(shù)學賦予了建筑活力,數(shù)學的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致.已知圖1是單葉雙曲面（由雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)形成立體圖形）型建筑,圖2是其中截面最細附近處的部分圖象,上、下底與地面平行.現(xiàn)測得下底直徑米,上底直徑米,與間的距離為80米,與上、下底等距離的處的直徑等于,則最細部分處的直徑為()圖1圖2A.10米 B.20米 C.米 D.米6.［探究點三］若方程表示雙曲線,則實數(shù)的取值范圍是；若表示橢圓,則實數(shù)的取值范圍是.7.［探究點二］焦點在軸上的雙曲線經(jīng)過點,且與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標準方程為.8.［探究點二］已知與雙曲線共焦點的雙曲線過點,求該雙曲線的標準方程.B級關(guān)鍵能力提升練9.已知定點,,是圓上任意一點,點關(guān)于點的對稱點為,線段的中垂線與直線相交于點,則點的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓10.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點為雙曲線上一點,的內(nèi)切圓圓心為,若,則()A. B.6 C.8 D.1011.（多選題）已知方程表示的曲線為，下列說法正確的有()A.當時，曲線為橢圓B.當或時，曲線為雙曲線C.若曲線為焦點在軸上的橢圓，則D.若曲線為焦點在軸上的雙曲線，則12.（多選題）已知點在雙曲線上,,是雙曲線的左、右焦點,若的面積為20,則下列說法正確的有()A.點到軸的距離為 B.C.為鈍角三角形 D.13.數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.”事實上,有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.如:與相關(guān)的代數(shù)問題可以考慮轉(zhuǎn)化為點與點之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點,可得方程的解為.14.一動圓過定點，且與定圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程為.15.已知雙曲線,,是其兩個焦點，點在雙曲線上.（1）若,求的面積.（2）若，的面積是多少?若，的面積又是多少?C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.[2023浙江杭州模擬]如圖所示,平面直角坐標系中有兩點和.以為圓心,正整數(shù)為半徑的圓記為.以為圓心,正整數(shù)為半徑的圓記為.對于正整數(shù),點是圓與圓的交點,且,,,,都位于第二象限.則這5個點都位于()A.直線上 B.橢圓上 C.拋物線上 D.雙曲線上3.2.1雙曲線及其標準方程基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1雙曲線的定義過關(guān)自診1.×;×;×;×提示①若將“小于”改為“等于”，其余條件不變，則動點軌跡是以，為端點的兩條方向相反的射線（包括端點）；②若將“小于”改為“大于”，其余條件不變，則動點軌跡不存在;③若為零，其余條件不變，則點的軌跡是線段的中垂線.3.解因為,所以根據(jù)雙曲線的定義可知,一定在,且焦點在軸上的雙曲線上.這就是說,點的坐標一定滿足.另一方面,由可知,因此的橫坐標要大于零,從而可知的軌跡方程為.知識點2雙曲線的標準方程過關(guān)自診提示“焦點跟著正項走”，若項的系數(shù)為正，則焦點在軸上；若項的系數(shù)為正，則焦點在軸上.2.B[解析]根據(jù)雙曲線的定義知,的軌跡是以,為焦點,以8為實軸長的雙曲線,所以,,,所以雙曲線的方程為.故選.3.解橢圓的左、右頂點坐標分別為,,右焦點坐標為,因此,雙曲線的焦點坐標為,,且經(jīng)過點,可設(shè)雙曲線的標準方程為,,,所以,所以所求雙曲線的標準方程為.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一雙曲線定義的應(yīng)用【例1】（1）解設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義知，即.解得或.（2）由，得，，.由定義和余弦定理得，，所以，所以，.思路分析（1）直接利用定義求解.（2）在中利用余弦定理求.變式訓練1解在雙曲線的方程中,,,則.設(shè),.由雙曲線的定義可知，,兩邊平方，得.又,由勾股定理，得,.探究點二求雙曲線的標準方程【例2】（1）解當焦點在軸上時，設(shè)所求標準方程為，把點的坐標代入，得，不符合題意；當焦點在軸上時，設(shè)所求標準方程為，把點的坐標代入，得.故所求雙曲線的標準方程為.（2）（方法1）焦點相同，設(shè)所求雙曲線的標準方程為，，即.①雙曲線經(jīng)過點，.②由①②得，，雙曲線的標準方程為.（方法2）設(shè)所求雙曲線的方程為.雙曲線過點，，解得或（舍去）.雙曲線的標準方程為.（3）設(shè)雙曲線的方程為，.點，在雙曲線上，解得雙曲線的標準方程為.變式訓練2（1）解,,則.又焦點在軸上,所以雙曲線的標準方程為.（2）焦點為和,設(shè)方程為,且,所以.①因為經(jīng)過點,所以.②由①②解得,.所以雙曲線的標準方程為.探究點三雙曲線標準方程的應(yīng)用【例3】（1）解將所給方程化為,若該方程表示雙曲線,則有,解得或,故實數(shù)的取值范圍是.（2）將所給方程化為,若該方程表示焦點在軸上的雙曲線,則有解得,故實數(shù)的取值范圍是.思路分析根據(jù)雙曲線方程的特征建立不等式（組）求解.變式訓練3（1）D[解析]方程化為.因為,所以,故方程表示焦點在軸上的雙曲線.（2）[解析]方程化為,依題意有,即.因為,所以.探究點四雙曲線的實際生活應(yīng)用【例4】解以線段的中點為坐標原點,的方向為軸的正方向,建立平面直角坐標系（圖略）,設(shè)發(fā)出巨響的點為.由題意可知,易知點在以,為焦點的雙曲線上,即,,解得,,所以.因此發(fā)出巨響的點所在曲線的方程為.變式訓練4;[解析]如圖所示,以所在的直線為軸,的垂直平分線為軸建立直角坐標系.則,根據(jù)雙曲線定義知,軌跡為雙曲線的右支.故,,,,,故軌跡方程為.根據(jù)題意知,,當,,共線時,等號成立.本節(jié)要點歸納分層作業(yè)A級必備知識基礎(chǔ)練1.AB[解析]由于,.當焦點在軸上時,設(shè)雙曲線方程為,代入得.此時雙曲線方程為.同理,求得焦點在軸上時,雙曲線方程為.2.A[解析]方程表示焦點在軸上的雙曲線,解得.實數(shù)的取值范圍為.故選.3.C[解析]由題意得解得則該雙曲線的方程為.4.A[解析]設(shè)雙曲線的右焦點為,連接（圖略）,是的中位線,.,,或6,或3.5.B[解析]建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可知,,設(shè)雙曲線的方程為,解得.故選.6.;[解析]若方程表示雙曲線,則應(yīng)有,即；若表示橢圓,則有解得且.7.[解析]設(shè)焦點,,則由,得,,.設(shè)雙曲線的方程為,雙曲線過點,.又,,,雙曲線的標準方程為.8.解已知雙曲線,則,.設(shè)所求雙曲線的標準方程為.依題意知,故所求雙曲線方程可寫為.點在所求雙曲線上,,化簡得,解得或.當時,,不符合題意,舍去,,,所求雙曲線的標準方程為.B級關(guān)鍵能力提升練9.B[解析]如圖所示,連接,由題意可得,且為的中點,.點關(guān)于點的對稱點為,線段的中垂線與直線相交于點.由垂直平分線的性質(zhì)可得.由雙曲線的定義可得點的軌跡是以,為焦點的雙曲線.10.D[解析]由雙曲線得,,可得.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,由,可得,即.易得,由雙曲線的定義可得,則有,解得,則.11.BCD[解析]錯誤，當時，曲線為圓；正確，若為雙曲線，則，或；正確，若曲線為焦點在軸上的橢圓，則，；正確，若曲線為焦點在軸上的雙曲線，則.12.BC[解析]因為雙曲線,所以.又因為,所以,故錯誤；將代入得,即，由對稱性,不妨取點的坐標為,可知,由雙曲線定義可知,所以,故正確；對于點,在中,,則,則為鈍角,所以為鈍角三角形,故正確；由余弦定理得,,故錯誤.13.[解析],,其幾何意義為動點到定點,的距離差的絕對值為4.根據(jù)雙曲線的定義,可將原方程的解轉(zhuǎn)化為“以,為焦點,4為實軸長的雙曲線與軸交點的橫坐標”.,.,,雙曲線方程為.令,得,解得.14.[解析]設(shè)動圓圓心為點，則，即.點的軌跡是以，為焦點，且，的雙曲線的左支.又，.