新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章計(jì)數(shù)原理本章總結(jié)提升課件湘教版選擇性必修第一冊(cè)

第4章本章總結(jié)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升專題一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是求解排列組合問題的基礎(chǔ),主要通過對(duì)問題進(jìn)行分類或者分步進(jìn)行分析求解.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理主要是提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例1】某市開展“學(xué)生體質(zhì)健康提升工程”系列活動(dòng),舉行一年一度的春季中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì).某校決定從6名運(yùn)動(dòng)員(含甲、乙運(yùn)動(dòng)員)中選4人參加4×100米接力賽,在下列條件下,各有多少種不同的排法?(1)甲、乙兩人都不入選;(2)甲、乙兩人必須入選,且跑中間兩棒;(3)甲不跑第一棒,且乙不跑第四棒.分析本題中是含特殊位置與特殊元素的排列問題,求解時(shí),可根據(jù)題目要求,恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類與分步.解

(1)甲、乙兩人都不入選,則剩下的4人參加,對(duì)這4個(gè)排列進(jìn)行全排列,則共有

=24種排法.(2)根據(jù)題意,分兩步進(jìn)行:第一步,甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒,則甲、乙兩人的排法有

=2種;第二步,在剩下的4人選2人,跑第一棒和第四棒,有

=12種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得甲、乙兩人必須入選,且跑中間兩棒共有2×12=24種不同的排法.(3)根據(jù)題意分兩類進(jìn)行:第一類,若甲跑第四棒,此時(shí)只需在剩下的5人中任選3人,安排在第一、根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有60+192=252種安排方法.規(guī)律方法

應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的方法(1)選擇使用兩個(gè)原理解決問題時(shí),要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定,確定是分類還是分步,要抓住兩個(gè)原理的本質(zhì).(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”,而分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”,分步時(shí)首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn);其次,分步時(shí)還要注意滿足完成一件事必須只有連續(xù)完成這n個(gè)步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計(jì)數(shù)原理.(3)對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題,要注意分類中含分步,分步中含分類.變式訓(xùn)練1如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)區(qū)域,現(xiàn)給這5個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,求不同著色方法共有多少種.(以數(shù)字作答)解

因區(qū)域1與其他四個(gè)區(qū)域都相鄰,宜先考慮,區(qū)域1有4種涂法.若區(qū)域2,4同色,有3種涂法,此時(shí)區(qū)域3,5均有2種涂法,共有4×3×2×2=48種涂法;若區(qū)域2,4不同色,先涂區(qū)域2有3種方法,再涂區(qū)域4有2種方法,此時(shí)區(qū)域3,5都只有1種涂法,共有4×3×2×1×1=24種涂法,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,可得不同的涂法共有48+24=72種.專題二排列組合的綜合應(yīng)用排列組合的綜合應(yīng)用是本章的核心內(nèi)容,求解排列組合應(yīng)用題時(shí),應(yīng)明確分類與分步的標(biāo)準(zhǔn),按照元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按照事件發(fā)生的過程分步,對(duì)于含限制條件較復(fù)雜的問題,應(yīng)將問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本問題后結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.排列組合的綜合應(yīng)用主要是提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【例2】在高三一班元旦晚會(huì)上,有6個(gè)演唱節(jié)目、4個(gè)舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序?(2)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序?(3)若已定好節(jié)目單,后來情況有變,需加上詩朗誦和快板2個(gè)欄目,但不能改變?cè)瓉砉?jié)目的相對(duì)順序,有多少種不同的節(jié)目演出順序?分析按照“特殊元素先排法”分步進(jìn)行,先特殊后一般.解

(1)第一步,先將4個(gè)舞蹈節(jié)目進(jìn)行排序,有

種方法;第二步,將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來,看成1個(gè)節(jié)目,與6個(gè)演唱節(jié)目一起排列,有

=5

040種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5

040×24=120

960種不同的排法.(2)第一步,將6個(gè)演唱節(jié)目進(jìn)行排列,共有

=720種方法;第二步,再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在演唱節(jié)目產(chǎn)生的7個(gè)空隙中,則共有

=7×6×5×4=840種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有720×840=604

800種不同的排法.規(guī)律方法

求解排列問題的六種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中定序問題除法處理對(duì)于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法變式訓(xùn)練2現(xiàn)有7位高中畢業(yè)生,其中4名男生、3名女生,(1)他們準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校,每人報(bào)且只報(bào)一所,不同的報(bào)名方法共有多少種?(2)他們準(zhǔn)備報(bào)考6所高等院校,每人報(bào)且只報(bào)一所,且要求每所院校都有學(xué)生報(bào)考,不同的報(bào)名方法共有多少種?(3)7人站成一排合影留念,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法?(4)7人站成一排合影留念,要求女生按從左到右由高至矮排列,共有多少種不同的排法?(5)從7人中選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,要求至少有一名女生,共有多少種不同的選法?解

(1)每一個(gè)人都有3種選擇,故可知共有37種報(bào)名方法.(3)先把甲乙,丙丁分別捆綁在一起看作兩個(gè)元素,再和另外的3人進(jìn)行全排列,故有

=480種不同的排法.(4)先把7人全排列,再除以3名女生的順序,故有

=840種不同的排法.(5)利用間接法,從7人中選3人,再排除全是男生的情況,有

=35-4=31種不同的選法.專題三二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理的核心內(nèi)容是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

(0≤r≤n,r∈N,n∈N+),它主要體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化,它在求展開式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.利用二項(xiàng)式定理求解實(shí)際問題,主要是提升數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例3】已知(+3x)n展開式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中含有x4的項(xiàng);(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).分析(1)根據(jù)題意,得到各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和,求得n,化簡(jiǎn)得到通項(xiàng)Tr+1,結(jié)合通項(xiàng),即可求解;(2)由n可得到二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng),結(jié)合(1)中的通項(xiàng),即可求解;(3)設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,列出不等式組,求得r,代入通項(xiàng),即可求解.解

(1)令x=1,可得二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為4n,又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,則可得4n-2n=992,解得n=5,即展開式中含有x4的項(xiàng)為90x4.(2)因?yàn)閚=5,所以展開式共6項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第三、四項(xiàng),規(guī)律方法

應(yīng)用二項(xiàng)式定理解題的方法(1)求(a+b)n展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)、特定項(xiàng)等常借助二項(xiàng)式的通項(xiàng);(2)求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和用“賦值法”,而求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和是一個(gè)定值2n;(3)展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

與第r+1項(xiàng)的系數(shù),在一般情況下是不相同的,在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),一般先處理符號(hào),對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心,以防出差錯(cuò);(4)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值只與n有關(guān),而展開式的系數(shù)的最大值要利用