2021年新高考地區(qū)數學名校押題10 基本不等式（選擇與填空）（解析版）

精選10基本不等式（選擇與填空）

i.利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等““一正''就是各項必須為正數；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大

值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值.

,,八cd,c,八、cd

2.（1）已知=m>0）,求一+—（c>0,d>0）的最值的方法是一+一=

xyxy

—1-+-|（?x+Z?y）,然后展開，結合基本不等式求得；（2）已知^+^="2

機（xyJxy

（a,b,x,y>0）,求cx+dy的最值的方法類似上面解法，即cx+cly=

]（ah\

一（CX+辦）一+—,然后結合基本不等式求解.

my）

一、單選題

12

1.已知。>0,b>0,且一+7=4,則4。+6。的最小值是

ab

A.4+百B.4+2百

C.8+273D.4+—

【答案】B

121/12、

【解析】已知。>0,/?>0,R.—+—=4,則:一+：=1，

ah4（。b）

所以‘4a+6人]|}+。4a+63寸：+￡|（2"3與出8+9+?）

^^=4+23

2

當且僅當a二火〃時，等號成立，因此，4〃+68的最小值是4+26.故選B.

2

4_

2.“Vx>O,aWx+---”的充要條件是

x+2

A.a>2B.a>2

C.a<2D.a<2

【答案】D

44I4~

【解析】因為x>0,可得x+——=x+2+-----2>2J（x+2）x-----2=2,

x+2x+2Vx+2

4

當且僅當x+2+——，即x=0時等號成立，

尤+2

4

因為x>0,所以x+——>2,

x+2

4

所以“Vx>O,a4x+---”的充要條件是。<2.故選D.

x+2

3.已知直線/:反一沖+而=0（必>0）經過點P（—1,2）.則2a+8的最小值為

A.6B.7

C.8D.9

【答案】C

12

【解析】由題意知2a+h=c活，即一+―=1,

ab

所以2a+0=（2a+0）（L+2）=4+2+網，而°〃>（）,

abab

所以2>0,”>0,則4+々+”24+2-、匕互=8當且僅當2=學時等號成立,

ababahah

所以2a+b的最小值為8.故選C

【名師點睛】由點在直線上得到工+a=1,應用"1”的代換求目標代數式的最值.

ab

4.《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問

題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之

為無字證明.現有如圖所示圖形，點F在半圓。上，點C在直徑A3上，且OFLAB,

設AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為

B

a+

A.>\/ab(a>O.b>0)B.a?+b?之2M(a>0,b>0)

2

Q1__D.哈醫(yī)心)

C.------<\[ab(a>Q.h>0)>0b>0

a+b

【答案】D

【解析】由AC=mBC=b,可得圓。的半徑，=色土

2

又OC=OB-BC=--bW

則FC2^OC2+OF2="蛆+電"匚=—+b'.

442

再根據題圖知FHFC,即巴心二/廣互，當且僅當a=b時取等號.故選D.

2V2

5.已知。＞2以%beR),函數/(幻=0?+》+28的值域為［0,+8),則￡1/4夕的最

a-2b

小值為

A.72B.2

C.4D.8

【答案】A

【解析】當。=0時，/(x)=x+3為一次函數，值域為R,不符合題意:

當時，/(x)=a^+x+28為二次函數，又值域為。，+℃),則。>0，

由題意可知△=12-4。.28=0，得則匕>0，

O

1i-

Mi]a2+4b2(a-2h)2+4ah2、以/2歷，

------Z7-=------------------=(a-2b)+>2\(a-2b)?—^—=<2

a-2ba-2ba-2b\a—2b

當且僅當Ja-2/=L時等號成立,故選A

2

4a+bh

6.設a=log23,b=log2-,貝!,ab，—的大小關系為

a

a+bba+hh,

A.ab>------>—B.------>—>ab

2a2a

a+b,b.ba+b

C.>ab>—D.ab>—>------

aa2

【答案】C

囚

【解析】易知國,Fl可,顯然成立.

所以生女＞故選c.

2a

__ab

7.已知向量a=b=（0,2）,則行T的最大值為

H

A.272B.2

C.V2D.1

【答案】D

岡

【解析】由題意可得，當國二|時，上式小于等于0,

當x＞0時,原式回

當且僅當向二|時等號成立，故最大值為1.故選D

a

8.函數/（X）=bgaXH--（。＞1）的圖象可能是

X

【答案】A

【解析】由岡，當且僅當岡時，取等號

又耳所以回，故岡

所以只有A正確，故選A

9.已知x>0,y>0,且2x+9y+6g，=9,貝ij2x+9y的最小值為

A.4B.6

C.9D.12

【答案】B

【解析】由2x+9y+6犯，=9,得|囚

因為司，所以區(qū),

即且_________________________,解得I岡或I岡I>

又|岡所以|岡|,當且僅當|.即國時取等號-故選B.

10.若函數/（幻=爐+6+36的圖象經過點（1,3）,則3"+27〃

A.有最大值6B.有最小值6

C.有最大值18D.有最小值18

【答案】B

【解析】因為函數f（x）=V+奴+3b的圖象經過點（1,3）,所以|,即目

所以|困

當且僅當目二I，即因時取等號，所以3"+27〃的最小值為6.故選B

11.設正數，%〃，〃=W，V2=m2+n2+mn，則（巴）的最大值是

11

A.-B.-

43

C.—D.1

2

【答案】B

ni-\-n

【解析】由題意，正數小,”，u=----,v2=m2+n2+mn-

2

可

則

可

當且僅當|岡卜,即fl時,等號成立，所以的最大值是為g.故選8.

12.己知x>o,y>Q,且*+丁=到一1,則

A.呼的最大值為3+20B.犯的最大值為6

C.2x+y的最小值為3+3J5D.2x+y的最小值為7

【答案】D

區(qū)|（舍），即同],岡，所以期的最小值是3+2友，

無最大值，故AB不正確;

立，所以2x+y的最小值是7,故D正確.故選D

【名師點睛】本題考查根據條件等式，利用基本不等式求最值，條件等式除了基本變形，同

時也需注意變量的范圍，比如本題中的R|等條件.

4。b

13.已知正數。、人滿足a+〃=l,則——十—的最小值是

\-a1-b

A.1B.2

C.4D.8

【答案】c

【解析】已知正數。、。滿足a+b=l,則岡

岡

4ab

林，等號成立，因此,的最小值是4.故選C.

1-a\-b

14.已知a>—2,b>0,直線4：x—(a-2)y+l=0,l2:2bx-y-2=0,且

則國的最小值為

A.1B.2

1

c.一

44

【答案】A

【解析】且____,國

a

，當岡時，即?囚忖,等號成立,

所以區(qū)的最小值為1.故選A

【名師點睛】本題的關鍵是利用"1”的變換，即構造

岡變形展開后能利用基本不等式求最值.

15.己知在|國|中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且|岡點。為其外接圓

的圓心.已知|臼則角A的最大值為

A/

【答案】A

【解析】取45的中點。，則因

16.己知正數目是關于目的方程0的兩根，則□的最小值為

A.2B.20

C.4D.可

【答案】C

【解析】由題意，正數目是關于城勺方程國

的兩根,

可得回

,當且僅當|小卜,即國二?

則a時等號成立,

經檢驗知當耳二?時，方程區(qū)］|有兩個正實數解.

所以的最小值為4.故選C.

17.材料一：已知三角形三邊長分別為。，b,吐，則三角形的面積為

0I,其中同，這個公式被稱為海倫-秦九韶公式；

材料二：阿波羅尼奧斯I區(qū)I在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內與

兩個定點回國的距離的和等于常數（大于舊D的點的軌跡叫做橢圓.

根據材料一或材料二解答：已知?岡?中,?.I，?囚I，則?囚?面積的最

大值為

A.2＞/3B.|J

C.|岡|D.6

【答案】C

【解析】用材料一：根據海倫-秦九韶公式，0，其中

囚，由題意，可知同~~|，I二I，囚，且|田],

因

故

當且僅當I3!即I習時取等號.

用材料二：以8c的中點為原點，由橢圓的定義易知，橢圓方程為岡

囚（I岡I為4至"BC的￡口離），岡

當且僅當國|時取等號.故選C.

18.設。＞0,。＞0,若|習I，則|岡|的最小值為

A.2B.4

C.6D.8

【答案】B

日

【解析】，當且僅當

即刃,印時"=”成立.故選B.

19.在矩形|岡|中,IfI，|囚I，國，國分別是AB，耳|上的動點，且滿足

囚~|，設衛(wèi)|，則|后||的最小值為

A.48B.49

C.50D.51

【答案】B

【解析】如圖，建立平面直角坐標系,

當且僅當岡，即岡，岡時取等號.故選B.

20.已知a>0,b>0,向量岡.0,若I岡卜則2a+。的最

小值為

B.8

D.5

【解析】由題意I國即岡，乂巨

所以四

，當且僅當因］,即岡

同時等號成立.

所以+〃的最小值為8.故選B.

21.設Q=log23，［7|,則mb,c的大小順序為

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】由a

s

所以與

所以I岡故選A.

【名師點睛】本題考查了對數函數的比較大小，對數函數的比較大小是高考中重點考查對象,

考查了利用中間量以及作差法比較大小，考查了變形轉化以及對數的運算能力，比較大小有

以下幾種方法:

(I)利用函數單調性比較大小;

(2)中間量法比較大小;

A.4B.9

C.山

【答案】D

【解析】由題得岡

所以0

時取等.所以|岡卜最小值為件故選D

當且僅當|反］

【名師點睛】解答本題的關鍵在于“拼湊”化簡岡

，再利用基本不等

式求解.

23.已知|岡且|臼則*1的最小值是

A.8B.6

C.4D.2

【答案】A

［解析］因為|國且臼|，

所以岡，

由岡，可得I岡I，所以I岡I，

代入I口I，得解得|岡一|，

因為耳I，所以|國—此時“等號”成立，

故所求最小值為8.故選A.

24.已知某幾何體的一條棱的長為與該棱在正視圖中的投影長為囪，在側視圖與俯視圖

中的投影長為。與。，且|囚I，則舟最小值為

A.回B.R］

C.回D.2

【答案】C

【解析】如圖：構造長方體

設|.在長方體中，OE為正視圖中投影，8￡為側視圖中投影，AC為俯視圖的投影,

則|岡|，|廚~］，設|其I，

則I岡I,岡I,

所以I岡~即I扇

-----------------I.------

由于I岡------所以山，解得I岡］,

當且僅當目二I時等號成立，故選C.

【名師點睛】解題的關鍵是構造長方體，利用三視圖的定義，得到對應的投影，再根據邊長

的關系求解，考查利用基本不等式求最值問題，綜合性較強，屬中檔題.

25.在|中,角|底］|所對的邊分別為|岡|，且點。滿足晅

若岡，則國二|的最大值為

C.回D.同

【答案】A

［解析］因為|岡所以回L所以岡

所以岡岡

所以岡，整理得面

所以岡

因為|岡|,所以岡

所以岡，解得國

所以國二二I的最大值為故選A

【名師點睛】將向量條件I網化為岡，利用向量數量積的運算律運

算得到I.I是解題關鍵.

岡

26.已知a□，則耳二1的

B.

D.

如下圖所示:

（當且僅當國|時取等號）,

【名師點睛】本題解題關鍵是能夠將耳大小的比較轉化為函數因與|岡|交

點橫坐標的比較問題，利用數形結合的方式可得大小關系.

27.已知函數|岡且百二|）的圖象恒過定點與若點邱橢圓囚上,

則廠?。莸淖钚≈禐?/p>

A.12B.10

C.8D.9

【答案】D

【解析】由于函數岡，且國二I）向右平移兩個單位得岡，且同

即為函數I網且國|）,所以定點困

由于點中橢圓岡,所以口

所以回，

當且僅當岡，即|岡|時取等號.故選D

【名師點睛】本題考查指數函數過定點問題，基本不等式求最值等，考查運算求解能力，中

檔題.本題解題的關鍵在于將函數目|,且同"|）變形為岡，且

~g~|）,再根據函數平移變換即可得憫一.

28.目前，我國的水環(huán)境問題已經到了刻不容緩的地步，河道水質在線監(jiān)測CO。傳感器針

對水源污染等無組織污染源的在線監(jiān)控系統(tǒng)，進行24小時在線數據采集和上傳通訊，并具

有實時報警功能及統(tǒng)計分析報告，對保護環(huán)境有很大幫助.該傳感器在水中逆流行進時，所

消耗的能量為同一其中年為傳感器在靜水中行進的速度（單位：氏ZJ），□為行進的時

間（單位：國，目為常數，如果待測量的河道的水流速度為同一"],則該傳感器在水中逆

流行進[7]悄耗的能量的最小值為

A.[^]B.]習]

c.|目ID.|目I

【答案】B

【解析】由題意，該傳感器在水中逆流行進同所用的時間岡，則所消耗的

能量s

方法一：

a

岡，當且僅當S,即國二|時等號成立，此

時岡取得最小值120［立

方法二：

岡，求導得岡，令岡，得向二I，

當IfI時,國二］，|岡單調遞減;當可時,國口］，|岡單調

遞增，所以當同一］時,1岡取得最小值,為岡.故選B.

29.《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數學的基本框架，其中卷

第九勾股中記載：”今有邑，東西七里，南北九里，各中開門.出東門一十五里有木.問出

南門幾何步而見木?”其算法為東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數,

以樹距離東門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門陰見到樹，則

.若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到

此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）

A.里B.岡里

C.岡里D.里

【答案】D

【解析】因為1里=300步，則由圖知步=4里,步=2.5里.

由題意,a,則

所以該小城的周長為同

當且僅當|岡|時等號成立.故選D.

【名師點睛】本題以數學文化為背景考查基本不等式，解題的關鍵在于根據題意，得出對應

的邊長關系，即岡，再代入數據，結合基本不等式求解，同時，在應用基本不

等式時，還需要注意“一正”、"二定”、“三相等

30.設正實數滿足|岡則當岡取得最小值時，?反］?的最

大值為

A.日B.J

C.2D.甘

【答案】C

【解析】囚當且僅當［7］時成立,

因此|岡一

所以|岡」五|時等號成立.故選C.

【名師點睛】本題考查基本不等式的應用，考查運算求解能力、推理論證能力和轉化思想、

函數和方程思想.基本不等式的使用價值在于簡化最值確定過程，而能否使用基本不等式的

關鍵是|岡―I中的a"是否為定值，本題通過日得

以實現.

二、多選題

31.已知|岡―I，且a+人=1，則.

A.|岡B,岡

U舊ID.|/一

【答案】ACD

【解析】對于A中，由|岡-且。+人=1,可得|叵］-1，|岡卜

由對數函數性質可知區(qū)，岡I為單調減函數,

因為岡|，岡舊所以|岡所以A正確;

對于B中，由|臼a+b=\,

所以B錯誤;

因為指數函數性質可知|岡|岡|都是單調遞減函數,|因

所以|.，所以C正確;

對于D中，令叵］,是單調遞增函數，因為,所以D正確.故

選ACD.

32.已知。>0,Z?>0,且2々+人=?！ǎ?/p>

A.I短?

CI回I

【答案】ACD

【解析】對于A,

當且僅當國」國時，等號成立.

對于B,2。+人=。匕變形得兇

囚

所以,當且僅當

即且時，等號成立，故B錯誤.

對于C,因為岡即I岡1則目二!?

對于D,由2a+h=帚可得因

a

fxl|1

口a

當且僅當I區(qū)I，即|岡I，臼|時等號成立.故選ACD.

【解析】因為i岡i，所以

a

當且僅當同L岡，即因時取等號，故A正確;

因為，所以回“周百單調遞增,

所以岡，故8正確;

因為|因,1所以叵］，

當且僅當|國即國二|或g時取等號.

因為國二I，所以等號取不到，故C錯誤；

因為|兇所以或中號.當國生負時，顯然|而故。錯誤，故選AB.

34.已知。>0,b>0,司,則下列不等式恒成立的是

A.舊B.|W

C.舊—|D.|臼

【答案】AC

岡

【解析】由題可得,即,即，當且僅當時取

等號.對于A,,故A正確;

對于B,取，則舊,即|岡|不是恒成立的,故B錯誤;

對于C,岡，即向

當且僅當時取等號，故c正確;

對于D,取—時,則|國，即|田不是恒成立的，故D錯

,則下列不等式成立的是

c.a

【答案】CD

【解析】本題考查利用不等式的性質與函數的性質比較大小.由!，知

則a

［名師點睛】本題考查不等式與函數的性質，一般比較大小，I.可以用作差法比較大小，2.構

造函數，利用單調性比較大小，3.與特殊值比較大小，或是利用不等式的傳遞性比較大

小.4.基本不等式比較大小.

36.|.仲,。為邊同上的一點，且滿足岡，若耶邊耳上的一點，且滿

足|國］,則下列結論正確的是

A.||B.與］的最大值為乂

C.1岡卜最小值為|岡|D.g|的最小值為千

【答案】BD

［解析］對于A,|岡

三點共線,，A錯誤;

岡

對于B,（當且僅當國時取等

號），B正確;

對于C,a（當且僅當

|岡|，即叵

時取等號），c錯誤;

對于D,（當且僅當向二I時取等號），D正確.故選BD.

37.設x〉0,y>0,則下列結論正確的是

A.不等式?恒成立

B.函數|國.|的最小值為2

C.函數a的最大值為

岡

D.若兇|,則的最小值為6

【答案】AC

【解析】因為x>0，y>0,

由于因a,當且僅當耳口時，等號同時成立,

故a恒成立，所以4正確;

由|岡I.當且僅當|反］即1=0時取等號,

由于因，所以向!，所以8不正確;

因為％>0,所以S,當且僅當|岡|時取等號,

S

乂由

即函數a的最大值為甲所以c正確;

因為目

]?則a

a

s,所以。不正確.故選AC.

38.已知,且

A.

C.

【答案】ACD

【解析】因為；且I岡I，對A,,故A正確；對

可同

B,取，所以，故B錯誤；對C,

，當且僅當|岡|取等號,因為［7］,當且僅當

國I取等號,所以I國I，當且僅當I臼I取等號,因為I區(qū)|,

所以不能取等號，故c正確；對D,當I臼I，回I，所以

岡；當I』I，|岡|,所以

當且僅當I岡取等號，因為

|岡|,所以不能取等號，故D正確.故選ACD.

39.下列說法正確的是

C.若問I，|囚I,則岡

D.若曲>0,則囚

【答案】BCD

【解析】對于A,令|回|,則岡,函數回］在亙］上單調遞減,

所以回|，即網，當且僅當|—一等號成立，故A錯誤;

對于B,若|岡I，則,即時，等號成立，所以

國一，故B正確;

對于c,耳I，|7=j"|,則|臼|岡所以|兇|成立,當且僅

，所以岡

對于D,若ab>0,則

時，等號成立，故D正確，故選BCD.

40.己知x>0,y>0,g，則下列結論正確的是

A.a的最小值為4

B.若閆I，則|臼|的最小值為8

C.不等式|囚阿成立的一個充分條件是|國

D.若|qL則的最小值為2J5

【答案】ABD

【解析】對于A,a

當且僅當|田|時取等號,故A正確.

對于B：由題意知|岡所囪

當且僅當|國|時,等號成立，故B正確.

對于|區(qū)］］當且僅當同岡時等號成

立，則由|國|恒成立可得|岡:即|岡|是|叵］恒成立

的充要條件，故C不正確.

對于D：若Fp，則|臼［，所以

0

當且僅當國，即岡，岡時等號成立，故D正確.故選

ABD.

三、填空題

41.已知點|國|在線段區(qū)上運動，則孫的最大值是

【解析】由題設區(qū)可得區(qū)］即1*1

所以,當且僅當0時取“=",

故答案為［艮|.

42.正的邊長為1,中心為0,過。的動直線/與邊AB,AC分別相交于點M、N,

］，岡

,I岡.給出下列四個結論:

①可

②若E,則

q岡|不是定值，與直線/的位置有關

@囚—I的面積之比的最小值為甘

其中所有正確結論的序號是

【答案】①④

【解析】對于①，由0,故①正確;

對于②,0,故②錯誤;

對于③，由①因.因為|臼三點共線,

a

對于④,

又口El，故④_正確.

故答案為①④

43.已知a>0，b>Q,則岡的最小值為

【答案】2

【解析】因為。>0,b>o,所以g

同

當且僅當I網附等號成立，所以因最小值為2.

故答案為2.

44.已知|岡~|，若不等式岡恒成立，則日的最大值為

【答案】目

【解析】由題意，不等式囚恒成立，且g|，即為岡

恒成立，即因成立,

由國

當且僅當1國~|，

即國二|，取得等號，即有向二1，則口f勺最大值為目

故答案為嗎

45.已知正實數星邯足|團則國二|的最小值為

【答案】6

【解析】由題可得囚

所以|叵］卜印|囚I，因為x>0，y>0,所以

,當且僅當|7時取等號，所以岡1的最小值為6.

故答案為6.

46.已知a>0,b>Q,且|囚I,則|岡|的最小值為

【答案】岡

【解析】|囚I，b>0,

47.在邊長為1的正方體|岡|中，球圖同時與以耶公共頂點的三個面相切,

球國同時與以國為公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點與若球回，國半徑分別為

B3則P~j的最小值為.

［答案］］岡

【解析】由己知得國，

0

J,故最小值為|故答案為畫

【名師點睛】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.解題時要認真分析圖形,

明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正

方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體

的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

48.設。>0,b>0,且|7］|，則|回|的最小值為

【答案】

【解析】因為?國,所以a

所以a

當且僅當曰等號成立，所以直做最小值為升故答案為甘

49.已知a>0,b>0,,則S的最大值是.

【答案】國

【解析】因為向，所以|EI

即0（當且僅當時取等號）,

因此有a（當且僅當后|時取等號）,所以a的最大值是回.

故答案為

【名師點睛】本題的關鍵?是通過已知等式對代數式a進行消元變形；二是通過

重要不等式而|,得到岡，進而應用基本不等式進行解題.

50.若|7]間岡則岡的最小值為

【答案】國

【解析】因為,所以g

0

因為同,所以

S

解得（舍去，因為|岡),即|一|,

因此回

當且僅當|岡時取等號.故答案為國

51.己知|I，|V]|,當X>0時:岡恒成立，則國二]的最

小值是

【答案】岡

0

【解析】當時，國,即岡恒成立,

a囚上的增函數，所以岡

s時,,即a恒成立,

a岡上的增函數，所以岡

所以s,所以岡

-I囚時等號成立.故答案為?困.

52.已知耳|均為正實數，且則