2021年新疆高考數(shù)學(xué)第二次診斷性測(cè)試試卷（理科）（問(wèn)卷）

2021年新疆高考數(shù)學(xué)第二次診斷性測(cè)試試卷（理科）（問(wèn)卷）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.（5分）復(fù)數(shù)*if的值是（）

A,走，B.1-A-

C+ZD

2222-4T.李？

2.（5分）設(shè)集合A={x|f一21一乂0},6={xwZ|-2領(lǐng)k2}.則4n8的元素個(gè)數(shù)為（

C.4D.5

C.3e}-2e2D.-3e}4-2e2

4.（5分）若實(shí)數(shù)加，〃滿(mǎn)足相＞〃，且nrnoO,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.毋_〃3＞0B.（1）?＞（1）?c.lg（m-n）＞0D.-＜-

22mn

5.（5分）秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，他在1247年完成的著作《數(shù)書(shū)九章》中提出的

多項(xiàng)式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶

算法求多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入的〃，x的值分別是4,3,則輸出的v的值為（）

A.29B.88C.264D.791

6.（5分）下列命題中正確的是（

A.有兩個(gè)平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

B.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

C.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線

22

7.（5分）以橢圓C:f+馬=1（。＞人＞0）的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等

a2tr

邊三角形，且橢圓C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為6,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

,x2y2._x2y2.

A.—+—=1B.—+—=1

4384

C.-----1-----=1D.------1-----=1

16126448

8.（5分）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理.假定在水

流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心。到

水面的距離為15〃，筒車(chē)的半徑r為25〃，筒車(chē)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)匹md,如圖1所示，盛水桶M

12

在幾處距水面的距離為3.5相，則9s后盛水桶M到水面的距離近似為（）（取正”1.4）

T”洪I

圖2

A.1.20/7：B.1.15mC.0.35加

9.（5分）已知?！辏?,乃），1+sin20-cos20=sin0,則sin26=（）

3333

A.--B.-C.--D.-

4488

10.（5分）某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答

出2個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.7,且

每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于（

）

A.0.2646B.0.147C.0.128D.0.0441

V2V2

11.（5分）已知雙曲線=的右焦點(diǎn)為尸.點(diǎn)M（0,⑼，其漸近線上

a~b-

一點(diǎn)N滿(mǎn)足成=2麗"，且時(shí)?麗=0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線。的離心率為（）

A.---B.A/2C.A/3D.2

2

12.（5分）定義在（一8,0）U（0,+00）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（—x）=/（x）,且尢＞0時(shí)，

〃?=蛆二1.若關(guān)于X的方程f（x）="-L有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)★的取值范圍

xe

是（）

A.（-00,」）50，-）B.0）50，-）

(—8，----)(0,,0）5。，

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.（5分）在（x+2）5展開(kāi)式中，x的系數(shù)為

.（用數(shù)值表示）

14.(5分)若函數(shù)/(x)滿(mǎn)足當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=log2—,當(dāng)x>0時(shí)，,f(x)=.f(x-2),則

/（1）

jrI

15.（5分）如圖，在直角AA8C中，ZC=-,BC=2,M是8c的中點(diǎn)，若sin/54",

貝=

人

16.（5分）將一邊長(zhǎng)為4的正方形紙片按照?qǐng)D中的虛線所示的方法剪開(kāi)后拼接為一正四棱

錐，則該正四棱錐外接球的表面積為一.

三、解答題：第17-21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，說(shuō)明過(guò)程

或演算步驟。

31

17.（12分）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知4=2,S?=^n2+^n,“eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛—?—｝的前〃項(xiàng)和為7；,若7；“=3,求〃的值.

%%-61

18.（12分）2021年1月1日新中國(guó)成立以來(lái)第一部以“法典”命名的法律《中華人民共和

國(guó)民法典》頒布施行，我國(guó)將正式邁入“民法典”時(shí)代.為深入了解《民法典》，大力營(yíng)造

學(xué)法守法用法的良好氛圍，高三年級(jí)從文科班和理科班的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)參加

學(xué)校舉辦的“民法典與你同行”知識(shí)競(jìng)賽，將他們的比賽成績(jī)分為6組：[40,50）,[50,

60）,|60,70）,|70,80）,[80,90）,|90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求“的值；

（2）估計(jì)這100名學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)（同-組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績(jī)低于80

分為“非優(yōu)秀”，請(qǐng)將下面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“比賽成

績(jī)是否優(yōu)秀與文理科別有關(guān)”？

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

文科生30

理科生55

合計(jì)100

參考公式及數(shù)據(jù)：K?=--------------------------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（六.人）0.100.050.0250.0100.0050.001

即2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）已知拋物線丁=22田（0<2<4）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)「在拋物線上，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)

為6,且|P尸|=10.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若A,8為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于P點(diǎn)）且心，45,求點(diǎn)8縱坐標(biāo)的取值范圍.

20.（12分）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，R41.菱形ABCQ所在的平面，ZABC=60°,

點(diǎn)E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，M是線段PD上的點(diǎn).

（1）求證：平面平面必。；

（2）當(dāng)謖=4>時(shí)，是否存在點(diǎn)M,使直線與平面4;尸所成角的正弦值為g?若

存在，請(qǐng)求出也的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

PD

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=-X-1,kwR.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間：

（2）設(shè)關(guān)于x的不等式/（x）,,xe?-,+機(jī)對(duì)任意xe[0,1]恒成立時(shí)*的最大值為“，其中

/ne11,2],求機(jī)+〃的取值范圍.

選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑。

22.(10分)在極坐標(biāo)系下，方程0=2sin36的圖形為如圖所示的“三葉玫瑰線”.

(1)當(dāng)玫瑰線的。eg,工］時(shí)，求以極點(diǎn)為圓心的單位圓與玫瑰線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；

2

(2)求曲線0COS3-巳)=26上的點(diǎn)M與玫瑰線上的點(diǎn)N距離的最小值及取得最小值時(shí)

6

的點(diǎn)M、N的極坐標(biāo).

23.已知x,y>0.

(I)當(dāng)x+y+A>'=8時(shí)，求x+y的最小值；

(2)當(dāng)x+y=2時(shí)，證明：x2y2(x2+y2)?2.

2021年新疆高考數(shù)學(xué)第二次診斷性測(cè)試試卷（理科）（問(wèn)卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.（5分）復(fù)數(shù)+的值是（）

.x/31.1A/3._1^3.□艮1.

A.---------1Bn.----------1C.——+——iD?-------+—i

22222222

【解答】解:g+爭(zhēng)）'（乎+2亭亭+亭=瀉+率?=《+爭(zhēng)

故選：C.

2.（5分）設(shè)集合A={x|f-2x-3,0},3={xeZ|-2轟改2}.則的元素個(gè)數(shù)為（

）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：集合A={x，-2x-3釉}={x|（x+l）（x—3）0）={x|-lM3},

又8={xeZ|-2知Jr2}={-2,-1,0,1,2},

所以A0|8={-1,0,1,2）,

故的元素個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：C.

3.（5分）如圖，則不一5=（）

故1-5=3q+q-（q+例）=2q-3e2,

故選：A.

4.（5分）若實(shí)數(shù)加，及滿(mǎn)足團(tuán)＞〃，且W〃,則下列選項(xiàng)正確的是（)

A.m3-n3＞0B.（l）m＞（l）wC.便（機(jī)-〃）＞0D.

22tnn

【解答】解：對(duì)于A:?.?加＞〃，/.n?/一九3＞。，故A正確;

對(duì)于8加＞〃，二（g）mv（；）〃，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：不妨設(shè)機(jī)=0.1,n=-0.1,則/gQ%-〃）=/g0.2＜0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：令機(jī)=1,n=-\,則故￡＞錯(cuò)誤；

mn

故選：A.

5.（5分）秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，他在1247年完成的著作《數(shù)書(shū)九章》中提出的

多項(xiàng)式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶

算法求多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入的〃，工的值分別是4,3,則輸出的u的值為（）

A.29B.88C.264D.791

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得:

=

〃=4,JC—3jv2,，=3,

滿(mǎn)足條件i..0,執(zhí)行循環(huán)體，v=9,i=2,

滿(mǎn)足條件i..O,執(zhí)行循環(huán)體，v=29,z=l,

滿(mǎn)足條件i..0,執(zhí)行循環(huán)體，v=88,i=0,

滿(mǎn)足條件執(zhí)行循環(huán)體，v=264,z=-l,

此時(shí)，不滿(mǎn)足條件L.0,退出循環(huán)，輸出v的值為264.

故選：c.

6.（5分）下列命題中正確的是（

A.有兩個(gè)平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

B.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

C.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線

【解答】解：對(duì)于A：上下底面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱，假

如兩個(gè)斜棱柱疊放在一塊，就不叫棱柱，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3：各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐，與棱錐的定義矛盾，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C：只有夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間且平行于底面的幾何體才是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，故C錯(cuò)

誤;

對(duì)于圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線，故。正確.

故選：D.

22

7.（5分）以橢圓C:「+當(dāng)■=l（a>6>0）的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等

ab

邊三角形，且橢圓C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為6,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

AX2y21B.二+回=1

A.—+—=1

4384

22

xv

-------1-------=1D.—+-^-=1

16126448

【解答】解：由橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等邊三角形可得〃=6c,

再由橢圓C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為6,則可得“+c=6,

又因?yàn)榭傻肅2+4C-12=0,解得C=2,

解得：a2=16,b2=12,

所以橢圓的方程為：—+^-=1,

1612

故選：C.

8.（5分）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理.假定在水

流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心。到

水面的距離A為1.5m，筒車(chē)的半徑/?為2.5加，筒車(chē)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)如圖1所示，盛水桶M

12

在耳處距水面的距離為3.5m,則9s后盛水桶M到水面的距離近似為（）（取夜。1.4）

C.0.35加D.0.30〃z

【解答】解：如圖，設(shè)NMO用=N1,ZMON=Z2，

45—1544

由題意可得sinNl='D所以cosNl=3,

2.555

因?yàn)樾D(zhuǎn)的角度為工、9=網(wǎng)，

124

所以sinZ2=sin(Zl+:-)=sinZlcos:-+cosZlsin:-=—x(---)+—x——=---

444525210

所以/?'=/?+rsinN2=1.5+2.5x(-奈)=1.5-￥=1.5-斗=1.5-0.35=1.15,

33C33

A.-4-B.4--8-D.8-

【解答】解：v1+sin2^-cos2^=sin,

/.2sin20+2sin6cos?=sin，，

,.??！?0,乃)，

sin。w0,

2(sin0+cos夕)=1,

sin0+cos^=—

2

,11

/.（sin0+cos0）=l+2sin8cose=—,l+sin29=—,

44

sin10-——.

4

故選：A.

10.（5分）某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答

出2個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.7,且

每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于（

）

A.0.2646B.0.147C.0.128D.0.0441

【解答】解：?.?該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，

該選手第一題答對(duì)，第二題答錯(cuò)，第三題和第四題都答對(duì)

或該選手第一題答錯(cuò)，第二題答錯(cuò)，第三題和第四題都答對(duì)，

該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率為：

P=0.7x0.3x0.7x0.7+0.3x0.3x0.7x0.7=0.147.

故選：B.

22

11.（5分）己知雙曲線C:「-4=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸.點(diǎn)例（0,〃?），其漸近線上

a'b-

一點(diǎn)N滿(mǎn)足麗=2兩，且兩?兩'=0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為（)

D.2

?.?麗=2兩，，點(diǎn)N為句W的三等分點(diǎn)，且靠近用點(diǎn),

ONFM=0,ON1FM,則k0N-kFM=-1,

bm-01ac

-----------=-1,A即II〃？=—,

a0-c------------------b

VFN=2NM,;.3*),即械,等)

代入y=2x,可得?￡="，Bp2a2=h2,

a3b3a

又〃=/一/,.3〃2=《2,得e=￡=6.

a

故選：c.

12.(5分)定義在(-8,0)U(0,+oo)上的函數(shù)“x)滿(mǎn)足/(-x)=/(x),且x>0時(shí),

、lnx-\

f(x)=.若關(guān)于x的方程/(x)=fcr有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

Xe

是()

A.(-oo,--)U(0,-)B.(」，0)50，-)

eeee

C.(-oo,—7)U(0，=)D.(y?0)kJ(0,二)

eeee

【解答】解:當(dāng)x>0時(shí)，/(*)=蛆二1,

X

貝！?r⑶二燈竺

廠

當(dāng)0<x</時(shí)，,")>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

故/(。皿=/(/)=!

又當(dāng)時(shí),/(x)>0,所以函數(shù)/(?的圖像如圖：(f(r)=/(x)知，函數(shù)/(%)為偶函數(shù)),

方程/(幻=丘-』可以轉(zhuǎn)化為：/(x)+-=H,

設(shè)g(K*，

可得g(x)的大致圖像,

設(shè)直線y=6tr(。>0)和)=-方與函數(shù)g(x)的圖像相切，

則當(dāng)0<女或一〃<%<0時(shí)，y=履與g(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)％或攵=-。時(shí)，y=心:與g(x)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)女或攵<-。時(shí)，)="與g(x)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)直線尸奴和y=-or與函數(shù)g(x)的圖像相切與(小，g(x()))，則〃=g'(x()),

切線方程為：y=g\x0)x,將點(diǎn)(%,g(%))代入得g*o)=g'(Xo)Xo，

又((x)=g'(x)，

媽金+[=土華?玉)，整理得：x.=3e-2elnx(),

%e/

由y=x+2e/nx在(0,+oo)遞增，且x=e時(shí)，y=3e,

當(dāng)天=e時(shí)，方程成立，故。=4，

e

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.(5分)在(x+2)5展開(kāi)式中，x的系數(shù)為40.(用數(shù)值表示)

X

【解答】解：二項(xiàng)式(X+與的展開(kāi)式中的通項(xiàng)如—5’(知.”=2匕?產(chǎn)2"

XX

令5-2r=l,解得r=2,

二項(xiàng)式(x+4的展開(kāi)式中%的系數(shù)為：2?.C；=40,

X

故答案為：40.

14.(5分)若函數(shù)/(x)滿(mǎn)足當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=log—.當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=/(%-2),則

21-X

f⑴

【解答】解：根據(jù)題意,當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=/(%-2),則/(1)=/(1-2)=/(-1),

又由當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=log,—=

1-x2

則有/(1)=一1,

故答案為：-1.

77"1

15.(5分)如圖，在直角A/18C中，ZC=-,BC=2,M是BC的中點(diǎn)，若sin/84〃=2,

23

則

【解答】解：如圖，設(shè)AC=。，AB=c,CM=MB=^\,ZMAC=。,

在A4W中，由正弦定理可得———=3,

sinZ.BAMsinNAMBT

3

解得sinZAMB=￡,

3

jrc

故cosp=cos(--ZAMC)=sinZAMC=sinO—ZAMB)=sinZAMB=§,

而在R7A4cM中，cos>?=—=.

AM

b

故可得

A/ITT73

再由勾股定理可得/+〃=。2,即c="+〃，

故第=(l+〃)(4+〃),

解得b=>/2,可得AB—c—\l4+b2=,4+2=V6.

故答案為：瓜?

16.（5分）將一邊長(zhǎng)為4的正方形紙片按照?qǐng)D中的虛線所示的方法剪開(kāi)后拼接為一正四棱

錐，則該正四棱錐外接球的表面積為—冬

【解答】解：由圖可知，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,斜高為3,則高為存二7=2夜,

如圖,

設(shè)底面正方形的中心為尸，連接4尸，則正四棱錐的外接球的球心在AF上，

設(shè)為。，連接0E,則。A=OE=R(四棱錐外接球的半徑)，

FE=>CE=后,,(2夜一7?了+(夜)2=爐，解得火=三，

22V2

則該正四棱錐外接球的表面積為4萬(wàn)、(3)2=冬.

2722

故答案為：—.

2

三、解答題：第17-21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，說(shuō)明過(guò)程

或演算步驟。

31

17.(12分)設(shè)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知4=2,S“=1〃2+]〃，〃eN*.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛」一｝的前八項(xiàng)和為7；，若心=處，求〃的值.

'61

【解答】解：(1)當(dāng)”..2時(shí)，S?_,=|3(?-1)2+11(?-1),又41

3131

兩式相減可得，a—S—S,——n~H—n—(〃—1)——("-1)=3n—1,

2222

上式對(duì)”=1也成立，

所以q=3〃-1,"eN*；

(3”1)(3〃+2)W(3〃-13〃+2

⑵—)，

4」(3+」+...+n

)=i'23〃+2

“325583n-13〃+22(3n+2)

若凡=3，即2n10

-

612(6n+2)61

解得〃=20.

18.（12分）2021年1月1日新中國(guó)成立以來(lái)第一部以“法典”命名的法律《中華人民共和

國(guó)民法典》頒布施行，我國(guó)將正式邁入“民法典”時(shí)代.為深入了解《民法典》，大力營(yíng)造

學(xué)法守法用法的良好氛圍，高三年級(jí)從文科班和理科班的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)參加

學(xué)校舉辦的“民法典與你同行”知識(shí)競(jìng)賽，將他們的比賽成績(jī)分為6組：[40,50）,[50,

60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求a的值；

（2）估計(jì)這100名學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)（同-組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績(jī)低于80

分為“非優(yōu)秀”，請(qǐng)將下面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“比賽成

績(jī)是否優(yōu)秀與文理科別有關(guān)”？

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

文科生30

理科生55

合計(jì)100

參考公式及數(shù)據(jù)：長(zhǎng)丁+力圖渭Wav"=〃+?+〃.

0.100.050.0250.0100.0050.001

402.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解:(1)由題意可知:(0.005+0.010+0.020+0.040+a+0.010)x10=1,

解得：?=0.015.

(2)v(0.005+0.010+0.020)x10=0.35<0.5,(0.005+0.010+0.020+0.040)x10=0.75>0.5,

.?.中位數(shù)在［70,80)之間，設(shè)為相，

0.35+(m-70)x0.04=0.5,

解得：機(jī)=73.75,

.?.這100名學(xué)生比賽成績(jī)的中位數(shù)估計(jì)值為73.75.

(3)抽取的100名學(xué)生中，“優(yōu)秀”的人數(shù)為100x(0.015+0.010)x10=25人，“非優(yōu)秀”的

人數(shù)為100-25=75人，

2x2列聯(lián)表如下圖：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

文科生153045

理科生104555

合計(jì)2575100

一嗎黑三~

沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與文理科別有關(guān)”.

19.(12分)已知拋物線>2=20田(0</7<4)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)/>在拋物線上，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)

為6,且|尸產(chǎn)|=10.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若A,B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于P點(diǎn))且轉(zhuǎn)上相，求點(diǎn)B縱坐標(biāo)的取值范圍.

【解答】解：(1)拋物線準(zhǔn)線方程為：x=-巴

2

將?？v坐標(biāo)代入拋物線的方程可得：62=2px,所以x=電，

P

由拋物線的性質(zhì)，10=更+R,p>o,

P2

解得：p=18或p=2,

因?yàn)?<P<4,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：丁;以；

(2)由(1)可得尸(9,6),

設(shè)4(,〃),B(^~,y0),

因?yàn)?/p>

〃一64

kpA=~=一~~7*

n〃+6

-----9

4

AB所在的直線方程：=,整理可得：(y+〃)5+6)+16=0,

44

聯(lián)立卜莊)(〃+6)+16=。，整理可得…、("6)〃+6>16=。，

[y=4x

△=（y+6）2-4（6y+16）..O,

解得：丫..14或?yàn)?2.

所以點(diǎn)8縱坐標(biāo)的取值范圍｛yly..14或%-2）.

20.（12分）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，叢1,菱形ABCQ所在的平面，ZABC=60°,

點(diǎn)E、尸分別是BC、PC的中點(diǎn)，M是線段PD上的點(diǎn).

（1）求證：平面AfiW_L平面BID;

（2）當(dāng)帥=AP時(shí)，是否存在點(diǎn)使直線與平面他/所成角的正弦值為孚？若

存在，請(qǐng)求出也的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

PD

【解答】（1）證明：因?yàn)锳BCD為菱形，且NA3C=60。，所以AABC為等邊三角形,

又￡為BC的中點(diǎn)，所以AELBC,

因?yàn)锳D//BC,所以AELAT）,

又A4_L平面A8CD,AEu平面A8C。，

所以P4_LAE,因?yàn)锳4「）4）=A,PA,ADu平面RAZ）,

所以AE_L平面R4￡>,又Mu平面AE”，

所以平面AEMJ_平面；

（2）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

^AB=AP=2,則==6,

所以4(0,0,0),B電T,0),P(0,0,2),C(⑸,0),所芋,；,1),D(0,2,0),E(b,0,0),

故而=(0,2,-2),設(shè)也=4(淵丸1),M(a,b,c),

PD

所以可7=3,瓦c—2),

因?yàn)閮?4而,

所以(a,b,c-2)=A(0,2,-2),解得M(0,22,-22+2),

所以或=(-73,22,-2/1+2),

又覆=(61,0),/=(孝1,1),

設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),

?x-y=0

AB-/i=0Hn

則有_，即彳G1,

獷斤=0——x+—y+z=0n

I22

令y=3,則X=G,Z=-3,故萬(wàn)=(若,3,-)3,

因?yàn)橹本€EM與平面廠所成角的正弦值為理，

,—,\n-EM\|12/l-9|V21版布,1

所CC1以11Icos<n,EM>|=---,=———.==----,解得2=—,

\n\\EM\@xj8-2-8—+772

所以存在M(0,1,1)使直線與平面AB尸所成角的正弦值為亨，此時(shí)/=：?

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=^'-x-l,keR.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)關(guān)于X的不等式/'(x),,泥機(jī)對(duì)任意xw［O,1］恒成立時(shí)女的最大值為)7,其中

mG［1,2］,求的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)=-x-1,則/'(1)=攵"一1,

當(dāng)義0時(shí),r(x)<0,則〃］)在R上為減函數(shù);

當(dāng)人>0時(shí)，令/(x)=0,解得x=/〃L,

k

當(dāng)(-00,方/)時(shí)，f\x)<0,則/(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)不￡(加匕口)時(shí)，ru)>o,則/。)單調(diào)遞增，

k

所以f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(_8,/〃\),單調(diào)遞增區(qū)間為(/〃：,田).

綜上所述，當(dāng)鼠0時(shí)，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為R；

當(dāng)人>0時(shí)，”X)單調(diào)遞減區(qū)間為(-O0,歷：)，單調(diào)遞增區(qū)間為(/〃/,+8).

(2)因?yàn)殛P(guān)于x的不等式/(x),,xe'-e'+機(jī)對(duì)任意xe［0,1］恒成立，

所以Ex-l+"'+x+l對(duì)任意xe［0,1］恒成立，

e'

人，、,m+x+\、ex-x-m

令g(x)=x-l+--------，貝m！illg(x)=---------，

ee

令p(x)=ex-x-m,則p\x)=ex-1..0,

所以爪x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

①當(dāng)P(O)..O，即科,1時(shí)，因?yàn)?7€口，2］,所以機(jī)=1,

當(dāng)xe［0,1］時(shí)，p(x)..O，即g'(x)..O,

所以g(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以"=g(x)“”.“=g(0)=l,故"+"?=2；

②當(dāng)p(0)..0,即2]時(shí)，因?yàn)閤e[0,1],則p(x),,0,即g'(x),,0,

所以g(x)在xe[0,1]上單調(diào)遞減，

所以"=g(x)而,,=g(l)=竺吆，

e

brm+2「14

mn+m=------+