2021年新疆高考數(shù)學第二次診斷性測試試卷（理科）（問卷）

2021年新疆高考數(shù)學第二次診斷性測試試卷（理科）（問卷）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.（5分）復數(shù)*if的值是（）

A,走，B.1-A-

C+ZD

2222-4T.李？

2.（5分）設集合A={x|f一21一乂0},6={xwZ|-2領k2}.則4n8的元素個數(shù)為（

C.4D.5

C.3e}-2e2D.-3e}4-2e2

4.（5分）若實數(shù)加，〃滿足相＞〃，且nrnoO,則下列選項正確的是（）

A.毋_〃3＞0B.（1）?＞（1）?c.lg（m-n）＞0D.-＜-

22mn

5.（5分）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學家，他在1247年完成的著作《數(shù)書九章》中提出的

多項式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶

算法求多項式值的一個實例.若輸入的〃，x的值分別是4,3,則輸出的v的值為（）

A.29B.88C.264D.791

6.（5分）下列命題中正確的是（

A.有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

B.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

C.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

22

7.（5分）以橢圓C:f+馬=1（。＞人＞0）的短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為等

a2tr

邊三角形，且橢圓C上的點到左焦點的最大距離為6,則橢圓C的標準方程為（）

,x2y2._x2y2.

A.—+—=1B.—+—=1

4384

C.-----1-----=1D.------1-----=1

16126448

8.（5分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.假定在水

流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到

水面的距離為15〃，筒車的半徑r為25〃，筒車每秒轉(zhuǎn)動匹md,如圖1所示，盛水桶M

12

在幾處距水面的距離為3.5相，則9s后盛水桶M到水面的距離近似為（）（取正”1.4）

T”洪I

圖2

A.1.20/7：B.1.15mC.0.35加

9.（5分）已知?！辏?,乃），1+sin20-cos20=sin0,則sin26=（）

3333

A.--B.-C.--D.-

4488

10.（5分）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答

出2個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.7,且

每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于（

）

A.0.2646B.0.147C.0.128D.0.0441

V2V2

11.（5分）已知雙曲線=的右焦點為尸.點M（0,⑼，其漸近線上

a~b-

一點N滿足成=2麗"，且時?麗=0（0為坐標原點），則雙曲線。的離心率為（）

A.---B.A/2C.A/3D.2

2

12.（5分）定義在（一8,0）U（0,+00）上的函數(shù)f（x）滿足f（—x）=/（x）,且尢＞0時，

〃?=蛆二1.若關于X的方程f（x）="-L有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)★的取值范圍

xe

是（）

A.（-00,」）50，-）B.0）50，-）

(—8，----)(0,,0）5。，

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.（5分）在（x+2）5展開式中，x的系數(shù)為

.（用數(shù)值表示）

14.(5分)若函數(shù)/(x)滿足當x<0時，/(x)=log2—,當x>0時，,f(x)=.f(x-2),則

/（1）

jrI

15.（5分）如圖，在直角AA8C中，ZC=-,BC=2,M是8c的中點，若sin/54",

貝=

人

16.（5分）將一邊長為4的正方形紙片按照圖中的虛線所示的方法剪開后拼接為一正四棱

錐，則該正四棱錐外接球的表面積為一.

三、解答題：第17-21題每題12分，解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，說明過程

或演算步驟。

31

17.（12分）設數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，已知4=2,S?=^n2+^n,“eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設數(shù)列｛—?—｝的前〃項和為7；,若7；“=3,求〃的值.

%%-61

18.（12分）2021年1月1日新中國成立以來第一部以“法典”命名的法律《中華人民共和

國民法典》頒布施行，我國將正式邁入“民法典”時代.為深入了解《民法典》，大力營造

學法守法用法的良好氛圍，高三年級從文科班和理科班的學生中隨機抽取了100名同學參加

學校舉辦的“民法典與你同行”知識競賽，將他們的比賽成績分為6組：[40,50）,[50,

60）,|60,70）,|70,80）,[80,90）,|90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求“的值；

（2）估計這100名學生比賽成績的中位數(shù)（同-組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80

分為“非優(yōu)秀”，請將下面的2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有95%的把握認為“比賽成

績是否優(yōu)秀與文理科別有關”？

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

文科生30

理科生55

合計100

參考公式及數(shù)據(jù)：K?=--------------------------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（六.人）0.100.050.0250.0100.0050.001

即2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）已知拋物線丁=22田（0<2<4）的焦點為尸，點「在拋物線上，點尸的縱坐標

為6,且|P尸|=10.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若A,8為拋物線上的兩個動點（異于P點）且心，45,求點8縱坐標的取值范圍.

20.（12分）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，R41.菱形ABCQ所在的平面，ZABC=60°,

點E、F分別是BC、PC的中點，M是線段PD上的點.

（1）求證：平面平面必。；

（2）當謖=4>時，是否存在點M,使直線與平面4;尸所成角的正弦值為g?若

存在，請求出也的值，若不存在，請說明理由.

PD

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=-X-1,kwR.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間：

（2）設關于x的不等式/（x）,,xe?-,+機對任意xe[0,1]恒成立時*的最大值為“，其中

/ne11,2],求機+〃的取值范圍.

選考題：共10分。請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計分作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑。

22.(10分)在極坐標系下，方程0=2sin36的圖形為如圖所示的“三葉玫瑰線”.

(1)當玫瑰線的。eg,工］時，求以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標；

2

(2)求曲線0COS3-巳)=26上的點M與玫瑰線上的點N距離的最小值及取得最小值時

6

的點M、N的極坐標.

23.已知x,y>0.

(I)當x+y+A>'=8時，求x+y的最小值；

(2)當x+y=2時，證明：x2y2(x2+y2)?2.

2021年新疆高考數(shù)學第二次診斷性測試試卷（理科）（問卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.（5分）復數(shù)+的值是（）

.x/31.1A/3._1^3.□艮1.

A.---------1Bn.----------1C.——+——iD?-------+—i

22222222

【解答】解:g+爭）'（乎+2亭亭+亭=瀉+率?=《+爭

故選：C.

2.（5分）設集合A={x|f-2x-3,0},3={xeZ|-2轟改2}.則的元素個數(shù)為（

）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：集合A={x，-2x-3釉}={x|（x+l）（x—3）0）={x|-lM3},

又8={xeZ|-2知Jr2}={-2,-1,0,1,2},

所以A0|8={-1,0,1,2）,

故的元素個數(shù)為4個.

故選：C.

3.（5分）如圖，則不一5=（）

故1-5=3q+q-（q+例）=2q-3e2,

故選：A.

4.（5分）若實數(shù)加，及滿足團＞〃，且W〃,則下列選項正確的是（)

A.m3-n3＞0B.（l）m＞（l）wC.便（機-〃）＞0D.

22tnn

【解答】解：對于A:?.?加＞〃，/.n?/一九3＞。，故A正確;

對于8加＞〃，二（g）mv（；）〃，故8錯誤；

對于C：不妨設機=0.1,n=-0.1,則/gQ%-〃）=/g0.2＜0,故C錯誤；

對于。：令機=1,n=-\,則故￡＞錯誤；

mn

故選：A.

5.（5分）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學家，他在1247年完成的著作《數(shù)書九章》中提出的

多項式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶

算法求多項式值的一個實例.若輸入的〃，工的值分別是4,3,則輸出的u的值為（）

A.29B.88C.264D.791

【解答】解：模擬程序的運行，可得:

=

〃=4,JC—3jv2,，=3,

滿足條件i..0,執(zhí)行循環(huán)體，v=9,i=2,

滿足條件i..O,執(zhí)行循環(huán)體，v=29,z=l,

滿足條件i..0,執(zhí)行循環(huán)體，v=88,i=0,

滿足條件執(zhí)行循環(huán)體，v=264,z=-l,

此時，不滿足條件L.0,退出循環(huán)，輸出v的值為264.

故選：c.

6.（5分）下列命題中正確的是（

A.有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

B.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

C.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線

【解答】解：對于A：上下底面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱，假

如兩個斜棱柱疊放在一塊，就不叫棱柱，故A錯誤；

對于3：各個面都是三角形的幾何體是三棱錐，與棱錐的定義矛盾，故3錯誤；

對于C：只有夾在圓柱的兩個平行截面間且平行于底面的幾何體才是一個旋轉(zhuǎn)體，故C錯

誤;

對于圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線，故。正確.

故選：D.

22

7.（5分）以橢圓C:「+當■=l（a>6>0）的短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為等

ab

邊三角形，且橢圓C上的點到左焦點的最大距離為6,則橢圓C的標準方程為（）

AX2y21B.二+回=1

A.—+—=1

4384

22

xv

-------1-------=1D.—+-^-=1

16126448

【解答】解：由橢圓短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為等邊三角形可得〃=6c,

再由橢圓C上的點到左焦點的最大距離為6,則可得“+c=6,

又因為可得C2+4C-12=0,解得C=2,

解得：a2=16,b2=12,

所以橢圓的方程為：—+^-=1,

1612

故選：C.

8.（5分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)

中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.假定在水

流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到

水面的距離A為1.5m，筒車的半徑/?為2.5加，筒車每秒轉(zhuǎn)動如圖1所示，盛水桶M

12

在耳處距水面的距離為3.5m,則9s后盛水桶M到水面的距離近似為（）（取夜。1.4）

C.0.35加D.0.30〃z

【解答】解：如圖，設NMO用=N1,ZMON=Z2，

45—1544

由題意可得sinNl='D所以cosNl=3,

2.555

因為旋轉(zhuǎn)的角度為工、9=網(wǎng)，

124

所以sinZ2=sin(Zl+:-)=sinZlcos:-+cosZlsin:-=—x(---)+—x——=---

444525210

所以/?'=/?+rsinN2=1.5+2.5x(-奈)=1.5-￥=1.5-斗=1.5-0.35=1.15,

33C33

A.-4-B.4--8-D.8-

【解答】解：v1+sin2^-cos2^=sin,

/.2sin20+2sin6cos?=sin，，

,.??！?0,乃)，

sin。w0,

2(sin0+cos夕)=1,

sin0+cos^=—

2

,11

/.（sin0+cos0）=l+2sin8cose=—,l+sin29=—,

44

sin10-——.

4

故選：A.

10.（5分）某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答

出2個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.7,且

每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于（

）

A.0.2646B.0.147C.0.128D.0.0441

【解答】解：?.?該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，

該選手第一題答對，第二題答錯，第三題和第四題都答對

或該選手第一題答錯，第二題答錯，第三題和第四題都答對，

該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為：

P=0.7x0.3x0.7x0.7+0.3x0.3x0.7x0.7=0.147.

故選：B.

22

11.（5分）己知雙曲線C:「-4=l（a>0,6>0）的右焦點為尸.點例（0,〃?），其漸近線上

a'b-

一點N滿足麗=2兩，且兩?兩'=0（0為坐標原點），則雙曲線C的離心率為（)

D.2

?.?麗=2兩，，點N為句W的三等分點，且靠近用點,

ONFM=0,ON1FM,則k0N-kFM=-1,

bm-01ac

-----------=-1,A即II〃？=—,

a0-c------------------b

VFN=2NM,;.3*),即械,等)

代入y=2x,可得?￡="，Bp2a2=h2,

a3b3a

又〃=/一/,.3〃2=《2,得e=￡=6.

a

故選：c.

12.(5分)定義在(-8,0)U(0,+oo)上的函數(shù)“x)滿足/(-x)=/(x),且x>0時,

、lnx-\

f(x)=.若關于x的方程/(x)=fcr有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍

Xe

是()

A.(-oo,--)U(0,-)B.(」，0)50，-)

eeee

C.(-oo,—7)U(0，=)D.(y?0)kJ(0,二)

eeee

【解答】解:當x>0時，/(*)=蛆二1,

X

貝！?r⑶二燈竺

廠

當0<x</時，,")>0,f(x)單調(diào)遞增,

當時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

故/(。皿=/(/)=!

又當時,/(x)>0,所以函數(shù)/(?的圖像如圖：(f(r)=/(x)知，函數(shù)/(%)為偶函數(shù)),

方程/(幻=丘-』可以轉(zhuǎn)化為：/(x)+-=H,

設g(K*，

可得g(x)的大致圖像,

設直線y=6tr(。>0)和)=-方與函數(shù)g(x)的圖像相切，

則當0<女或一〃<%<0時，y=履與g(x)的圖像有3個交點，

當％或攵=-。時，y=心:與g(x)的圖像有2個交點，

當女或攵<-。時，)="與g(x)的圖像有1個交點，

設直線尸奴和y=-or與函數(shù)g(x)的圖像相切與(小，g(x()))，則〃=g'(x()),

切線方程為：y=g\x0)x,將點(%,g(%))代入得g*o)=g'(Xo)Xo，

又((x)=g'(x)，

媽金+[=土華?玉)，整理得：x.=3e-2elnx(),

%e/

由y=x+2e/nx在(0,+oo)遞增，且x=e時，y=3e,

當天=e時，方程成立，故。=4，

e

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13.(5分)在(x+2)5展開式中，x的系數(shù)為40.(用數(shù)值表示)

X

【解答】解：二項式(X+與的展開式中的通項如—5’(知.”=2匕?產(chǎn)2"

XX

令5-2r=l,解得r=2,

二項式(x+4的展開式中%的系數(shù)為：2?.C；=40,

X

故答案為：40.

14.(5分)若函數(shù)/(x)滿足當x<0時，/(x)=log—.當x>0時，/(%)=/(%-2),則

21-X

f⑴

【解答】解：根據(jù)題意,當x>0時，/(%)=/(%-2),則/(1)=/(1-2)=/(-1),

又由當x<0時，f(x)=log,—=

1-x2

則有/(1)=一1,

故答案為：-1.

77"1

15.(5分)如圖，在直角A/18C中，ZC=-,BC=2,M是BC的中點，若sin/84〃=2,

23

則

【解答】解：如圖，設AC=。，AB=c,CM=MB=^\,ZMAC=。,

在A4W中，由正弦定理可得———=3,

sinZ.BAMsinNAMBT

3

解得sinZAMB=￡,

3

jrc

故cosp=cos(--ZAMC)=sinZAMC=sinO—ZAMB)=sinZAMB=§,

而在R7A4cM中，cos>?=—=.

AM

b

故可得

A/ITT73

再由勾股定理可得/+〃=。2,即c="+〃，

故第=(l+〃)(4+〃),

解得b=>/2,可得AB—c—\l4+b2=,4+2=V6.

故答案為：瓜?

16.（5分）將一邊長為4的正方形紙片按照圖中的虛線所示的方法剪開后拼接為一正四棱

錐，則該正四棱錐外接球的表面積為—冬

【解答】解：由圖可知，正四棱錐的底面邊長為2,斜高為3,則高為存二7=2夜,

如圖,

設底面正方形的中心為尸，連接4尸，則正四棱錐的外接球的球心在AF上，

設為。，連接0E,則。A=OE=R(四棱錐外接球的半徑)，

FE=>CE=后,,(2夜一7?了+(夜)2=爐，解得火=三，

22V2

則該正四棱錐外接球的表面積為4萬、(3)2=冬.

2722

故答案為：—.

2

三、解答題：第17-21題每題12分，解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，說明過程

或演算步驟。

31

17.(12分)設數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,,,已知4=2,S“=1〃2+]〃，〃eN*.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛」一｝的前八項和為7；，若心=處，求〃的值.

'61

【解答】解：(1)當”..2時，S?_,=|3(?-1)2+11(?-1),又41

3131

兩式相減可得，a—S—S,——n~H—n—(〃—1)——("-1)=3n—1,

2222

上式對”=1也成立，

所以q=3〃-1,"eN*；

(3”1)(3〃+2)W(3〃-13〃+2

⑵—)，

4」(3+」+...+n

)=i'23〃+2

“325583n-13〃+22(3n+2)

若凡=3，即2n10

-

612(6n+2)61

解得〃=20.

18.（12分）2021年1月1日新中國成立以來第一部以“法典”命名的法律《中華人民共和

國民法典》頒布施行，我國將正式邁入“民法典”時代.為深入了解《民法典》，大力營造

學法守法用法的良好氛圍，高三年級從文科班和理科班的學生中隨機抽取了100名同學參加

學校舉辦的“民法典與你同行”知識競賽，將他們的比賽成績分為6組：[40,50）,[50,

60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求a的值；

（2）估計這100名學生比賽成績的中位數(shù)（同-組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80

分為“非優(yōu)秀”，請將下面的2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有95%的把握認為“比賽成

績是否優(yōu)秀與文理科別有關”？

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

文科生30

理科生55

合計100

參考公式及數(shù)據(jù)：長丁+力圖渭Wav"=〃+?+〃.

0.100.050.0250.0100.0050.001

402.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解:(1)由題意可知:(0.005+0.010+0.020+0.040+a+0.010)x10=1,

解得：?=0.015.

(2)v(0.005+0.010+0.020)x10=0.35<0.5,(0.005+0.010+0.020+0.040)x10=0.75>0.5,

.?.中位數(shù)在［70,80)之間，設為相，

0.35+(m-70)x0.04=0.5,

解得：機=73.75,

.?.這100名學生比賽成績的中位數(shù)估計值為73.75.

(3)抽取的100名學生中，“優(yōu)秀”的人數(shù)為100x(0.015+0.010)x10=25人，“非優(yōu)秀”的

人數(shù)為100-25=75人，

2x2列聯(lián)表如下圖：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

文科生153045

理科生104555

合計2575100

一嗎黑三~

沒有95%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與文理科別有關”.

19.(12分)已知拋物線>2=20田(0</7<4)的焦點為尸，點/>在拋物線上，點尸的縱坐標

為6,且|尸產(chǎn)|=10.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)若A,B為拋物線上的兩個動點(異于P點)且轉(zhuǎn)上相，求點B縱坐標的取值范圍.

【解答】解：(1)拋物線準線方程為：x=-巴

2

將?？v坐標代入拋物線的方程可得：62=2px,所以x=電，

P

由拋物線的性質(zhì)，10=更+R,p>o,

P2

解得：p=18或p=2,

因為0<P<4,

所以拋物線的標準方程為：丁;以；

(2)由(1)可得尸(9,6),

設4(,〃),B(^~,y0),

因為

〃一64

kpA=~=一~~7*

n〃+6

-----9

4

AB所在的直線方程：=,整理可得：(y+〃)5+6)+16=0,

44

聯(lián)立卜莊)(〃+6)+16=。，整理可得…、("6)〃+6>16=。，

[y=4x

△=（y+6）2-4（6y+16）..O,

解得：丫..14或為-2.

所以點8縱坐標的取值范圍｛yly..14或%-2）.

20.（12分）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，叢1,菱形ABCQ所在的平面，ZABC=60°,

點E、尸分別是BC、PC的中點，M是線段PD上的點.

（1）求證：平面AfiW_L平面BID;

（2）當帥=AP時，是否存在點使直線與平面他/所成角的正弦值為孚？若

存在，請求出也的值，若不存在，請說明理由.

PD

【解答】（1）證明：因為ABCD為菱形，且NA3C=60。，所以AABC為等邊三角形,

又￡為BC的中點，所以AELBC,

因為AD//BC,所以AELAT）,

又A4_L平面A8CD,AEu平面A8C。，

所以P4_LAE,因為A4「）4）=A,PA,ADu平面RAZ）,

所以AE_L平面R4￡>,又Mu平面AE”，

所以平面AEMJ_平面；

（2）解：以點A為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，

^AB=AP=2,則==6,

所以4(0,0,0),B電T,0),P(0,0,2),C(⑸,0),所芋,；,1),D(0,2,0),E(b,0,0),

故而=(0,2,-2),設也=4(淵丸1),M(a,b,c),

PD

所以可7=3,瓦c—2),

因為兩=4而,

所以(a,b,c-2)=A(0,2,-2),解得M(0,22,-22+2),

所以或=(-73,22,-2/1+2),

又覆=(61,0),/=(孝1,1),

設平面ABF的法向量為n=(x,y,z),

?x-y=0

AB-/i=0Hn

則有_，即彳G1,

獷斤=0——x+—y+z=0n

I22

令y=3,則X=G,Z=-3,故萬=(若,3,-)3,

因為直線EM與平面廠所成角的正弦值為理，

,—,\n-EM\|12/l-9|V21版布,1

所CC1以11Icos<n,EM>|=---,=———.==----,解得2=—,

\n\\EM\@xj8-2-8—+772

所以存在M(0,1,1)使直線與平面AB尸所成角的正弦值為亨，此時/=：?

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=^'-x-l,keR.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設關于X的不等式/'(x),,泥機對任意xw［O,1］恒成立時女的最大值為)7,其中

mG［1,2］,求的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)=-x-1,則/'(1)=攵"一1,

當義0時,r(x)<0,則〃］)在R上為減函數(shù);

當人>0時，令/(x)=0,解得x=/〃L,

k

當(-00,方/)時，f\x)<0,則/(X)單調(diào)遞減，

當不￡(加匕口)時，ru)>o,則/。)單調(diào)遞增，

k

所以f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(_8,/〃\),單調(diào)遞增區(qū)間為(/〃：,田).

綜上所述，當鼠0時，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為R；

當人>0時，”X)單調(diào)遞減區(qū)間為(-O0,歷：)，單調(diào)遞增區(qū)間為(/〃/,+8).

(2)因為關于x的不等式/(x),,xe'-e'+機對任意xe［0,1］恒成立，

所以Ex-l+"'+x+l對任意xe［0,1］恒成立，

e'

人，、,m+x+\、ex-x-m

令g(x)=x-l+--------，貝m！illg(x)=---------，

ee

令p(x)=ex-x-m,則p\x)=ex-1..0,

所以爪x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

①當P(O)..O，即科,1時，因為"7€口，2］,所以機=1,

當xe［0,1］時，p(x)..O，即g'(x)..O,

所以g(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以"=g(x)“”.“=g(0)=l,故"+"?=2；

②當p(0)..0,即2]時，因為xe[0,1],則p(x),,0,即g'(x),,0,

所以g(x)在xe[0,1]上單調(diào)遞減，

所以"=g(x)而,,=g(l)=竺吆，

e

brm+2「14

mn+m=------+