2021年浙江省高考數(shù)學預測試卷（學生版+解析版）（5月份）

2021年浙江省高考數(shù)學預測試卷（5月份）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（4分）己知集合4="€汽|一/+3X.0},B={x\-2<x<2},則4n〃=（）

A.{1}B.{0,1}C.[0,1,2）D.{-1,0,1}

2.（4分）若z-（2-3i）=4+i（,?為虛數(shù)單位），則在復平面內，復數(shù)z所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

X..0

3.（4分）若實數(shù)x,y滿足不等式組y..O，貝Uz=x+3y的取值范圍為（）

x+2y..2

A.（-oo,3]B.[2,3]C.[2,+8）D.[3,+oo）

4.（4分）函數(shù)y=xsinx+sinx在區(qū)間[-4，?]上的圖象大致為（）

5.（4分）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（)

正長圖>（視圖

Oi

俯視圖

A.包「167r

C.------D.12zr

33

6.（4分）設〃?，〃是兩條不同的直線，a,/是兩個不同的平面，且直線，wu平面a,直

線“u平面?，下列命題為真命題的是（）

A.是"〃_Le"的充分條件

B.umllnn是“mH?！钡募炔怀浞钟植槐匾獥l件

C.“a//夕”是um//nn的充要條件

D.是“a，￡”的必要條件

7.（4分）已知各項均不相等的等比數(shù)列{/},若3%,2%，%成等差數(shù)列,設S,,為數(shù)列{4}

的前〃項和，則區(qū)等于（）

%

137

A.—B.-C.3D.1

99

8.（4分）在平面直角坐標系中，直線/:Ax-y+4Z=0與曲線y=j9-x'交于A,3兩

點，且月=2,則％=（）

A.—B.—C.1D.G

32

9.（4分）已知a>6>c,下列不等式不一定成立的是（）

A.ac+b2<ab-{-beB.->——C.ab+c2>ac-\-bcD?Z?2>ac

c2+\c2+l

10.（4分）己知acR.設函數(shù)/。）=卜"2"+2。,用,1,若關于彳的不等式〃。0在/?上

x-alnx,x>1?

恒成立，則a的取值范圍為（）

A.[0,1JB.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

二、填空題：本大題共7小題，共36分。多空題每小題4分；單空題每小題4分。

11.（4分）設S,是數(shù)列&}的前〃項和,q=T,an+l=SnSn+l,則S“=.

12.(6分)己知(」-+x)n的展開式中第四項的系數(shù)為120,所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和

為512,則實數(shù)〃=,展開式中的常數(shù)項為.

Ojr-rr

13.(6分)己知cosZ-sin'a：］,ficre(0,—),則sin2?=,cos(2a+§)=.

14.(4分)已知圓錐的頂點為S,母線SA,S3所成角的余弦值為工，SA與圓錐底面所成

8

角為45。，若ASM的面積為5/，則該圓錐的側面積為.

15.(6分)已知直線/:/nr-y=1.若直線/與直線x-my-1=0平行，則機的值為；動

直線/被圓V+2x+y2—24=0截得弦長的最小值為一.

16.(6分)己知加，〃為正常數(shù)，離散型隨機變量X的分布列如表:

X-101

Pm1n

4

若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=?,則板=,P(X?0)=

17.(4分)已知1=(1,2),5=(1,1),且@與4+二夾角為銳角，則義的取值范圍為.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.(14分)設AABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且c?cosC是a?cos8與

dcosA的等差中項.

(I)求角C；

(H)設c=2,求AABC周長的最大值.

19.(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZDAB=60。，J_平面ABCD,

PD=AD=\,點E,尸分別為和尸。中點.

(I)求證：直線AF//平面PEC；

(II)求PC與平面A3所成角的正弦值.

AEB

20.(15分)設5,是數(shù)列｛4｝的前"項和,(S?+2+35?)-(3S?+I+Sn_t)=2(n..2,ne2V*),且

4=2,%=6,ciy=12.

(1)求證:數(shù)列｛。,-4｝為等差數(shù)列:

(2)求數(shù)列他“｝的通項公式.

21.(15分)定義：平面內兩個分別以原點和兩坐標軸為對稱中心和對稱軸的橢圓片，E,,

它們的長短半軸長分別為4,4和七，%,若滿足叼=。3瓦=b；(kwZ,k..2),則稱E2為

耳的左級相似橢圓，已知橢圓耳：?+提=1,3為百的2級相似橢圓，且焦點共軸，4與

￡,的離心率之比為2:77.

(I)求當?shù)姆匠蹋?/p>

(II)已知P為E2上任意一點，過點尸作片的兩條切線，切點分別為A(X1,y)、B(X2,%).

①證明：用在A(x/切)處的切線方程為空+岑=1；

4〃

②是否存在一定點到直線法的距離為定值，若存在，求出該定點和定值；若不存在，說明

理由.

22.(15分)已知函數(shù)/(x)=(x-；)e'+a(x+J),.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求“的取值范圍.

2021年浙江省高考數(shù)學預測試卷（5月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（4分）已知集合4={、€%|-/+3*.0},B={x\-2<x<2],則4「|8=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2）D.[-1,0,1}

【解答】解：?.?A={xeN|源W3}={0,1,2,3},8={x\-2<x<2},

AQB={0,1}.

故選：B.

2.（4分）若z<2-3i）=4+4為虛數(shù)單位），則在復平面內，復數(shù)z所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解:z-（2—3i）=4+i（i為虛數(shù)單位）,

4+z（4+i）（2+3i）8-3+14;514.

z=-------=-------------------=—；----；—=11，

2-3/（2-3z）（2+3z）22+321313

則在復平面內，復數(shù)z所對應的點（得，葭）位于第一象限，

故選：A.

X..0

3.（4分）若實數(shù)x,y滿足不等式組y..O,則z=x+3y的取值范圍為（）

x+2y..2

A.（-co,3]B.[2,3]C.[2,+8）D.[3,+oo）

【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分（包含邊界）所示，

目標函數(shù)z=x+3y可化為y=—gx+（，作出直線^=一」彳并平移，

由圖可知當直線經過點（2,0）時，在y軸上的截距最小，此時z取得最小值2,無最大值.

故選：C.

尸亭

4.（4分）函數(shù)y=xsinx+sinx在區(qū)間［-萬，上的圖象大致為（）

【解答】解：將x=-%,萬分另ij代入y=xsinx+sinx,得到的函數(shù)值均為0,排除3，。選

項;

又因為當xf（T時，yf（T,排除C選項.

故選：A.

5.（4分）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）

正校圖他視圖

05

俯視圖

A.—B.8萬C.—D.12%

33

【解答】解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個圓柱，挖去一個半球和一個圓錐，

結合三視圖中的數(shù)據(jù)，計算該幾何體的體積為

?1.144,

丫=%柱一%1徘一七球=乃，2-4---^--22-2-----2=8^-.

故選：B.

6.（4分）設機，〃是兩條不同的直線，c,4是兩個不同的平面，且直線機u平面a,直

線〃u平面￡,下列命題為真命題的是（）

A.是的充分條件

B.amllnn是uml/pn的既不充分又不必要條件

C."?//尸"是",〃//〃”的充要條件

D.“機，〃”是“a_L夕”的必要條件

【解答】解：由“加，〃”推不出“也可能〃//a,故不是充分條件，故A錯誤,

由“相〃〃”推不出“根//尸”，也可能機u￡,反之也不成立，故是既不充分又不必要條件，

故3正確，

由“a//￡”推不出“加//〃”，也可能垂直，異面，不是充要條件，故C錯誤，

由“a，￡”推不出“血」〃”，也可能平行，不是必要條件，故。錯誤，

故選：B.

7.（4分）已知各項均不相等的等比數(shù)列伍“｝，若3/,2%，4成等差數(shù)列，設S“為數(shù)列｛”“｝

的前幾項和，則也等于（）

%

137

A.—B.-C.3D.1

99

【解答】解：設等比數(shù)列｛”“｝的公比為q,q手I,

3%，2a3，4成等差數(shù)列，

2x2%=3a24-a4,

,4a2q=3a2+/q?，化為夕？―4q+3=0,

解得q=l(舍去)或q=3.

〃。-33)

4=3時，則①■=-lz^_=U.

qq.329

故選：A.

8.(4分)在平面直角坐標系x0y中，直線/:Ax-y+4Z=0與曲線丁=的-丁2交于A,B兩

點，且AO?A分=2,則后=()

A.—B.—C.1D.￡

32

【解答】解：直線去一丁+4后=0,即Z(x+4)+y=0,

.??直線/過定點P(-4,0),過圓心。作OMJ_/于用，

即荷?麗=|麗通砌2=2,AB|=2,

2

曲線丫=19-、是圓心為原點,半徑廠=3的上半圓.

圓心到直線/的距離d=，絲L,

IAB\=23-cP=219-(產J=2,

解得：k=±lf

當A=-l時，直線/與曲線丫=師了無交點，舍去.

故A=1.

故選：C.

9.(4分)已知下列不等式不一定成立的是()

A.ac+b2<ab-{-beB.->——C.ab+c2>ac-\-bcD?Z?2>ac

c2+\c2+l

【解答】解：對于A,ac+b2-ab-be=a(c-b)-b(c-b)=(c-b)(a-b),

因為a>b>c,所以4—匕>0,c-b<0所以(。一/?)(。-6)<0,EPac+b1<ab-\-be故A

成立；

對于8,，一>0,a>b,所以力—>/故3成立；

c2+lc2+1c2+1

對于C,ab+c2-ac-be=a(b-c)-c(b-c)=(a-c)(b-c),

因為a>〃>c,所以a—c>0,b—c>0,所以(a—c)(b-c)>0,BPab+c2>ac+be,故C成

立；

對于￡),取a=4,b=2,c=l,可得6=ac,故。不成立.

故選：D.

10.(4分)己知acR.設函數(shù)/。)=卜"2"+2。,用,1,若關于彳的不等式〃。0在/?上

x-alnx,x>1?

恒成立，則a的取值范圍為()

A.[0,1JB.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

【解答】解：當x=l時，f(1)=l-2a+2a=1>0恒成立：

當x<l時，f(x)=x2-2ax+2aJS)o2a二?恒成立，

令

-x~(1—x—I)2(1—x)2—2(1—x)+11g[7.1-)、

g(x)A=--=；—=---；-----=--------;---------=-(1-x+----2)?-(2(1-x)?----2)=0

X-11-XI-X1-X1-xv1-X

2a..g(x)nlax=0,：.a..0.

__Y_.

當x>l時，f(x)=x-alnxS)<=>a——恒成立,

Inx

I,nx-x.1

令，則〃(尤)=

Inx.(IJnx)x="(Inx)'

當x>e時，h\x)>0,/z(x)遞增，

當1cxec時，h'(x)<0,/z(x)遞減,

，x=e時，〃（x）取得最小值〃（e）=e,

綜上a的取值范圍是[0,e].

故選：C.

二、填空題：本大題共7小題，共36分。多空題每小題4分；單空題每小題4分。

11.（4分）設5“是數(shù)列｛《,｝的前〃項和，4=-1,a=S?S?,則

n+l+1n

【解答】解：?.?加=5￡+|,??.S.+「S”=5￡T，

數(shù)列｛￡｝是等差數(shù)列，首項為-1,公差為-1.

解得S“=-L

n

故答案為：-L.

n

12.（6分）已知（」-+x）n的展開式中第四項的系數(shù)為120,所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和

X&

為512,則實數(shù)a=_J_，展開式中的常數(shù)項為45.

【解答】解：（工-+x）n的展開式的所有項的二項式系數(shù)之和為2”,且二項展開式的奇

數(shù)項和偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，

所以2"“=512,解得”=10,

展開式中的第四項為T4=C；O（-Y）7X3-

所以。溫7=120,解得。=1，

所以號+x）』6+x）1°，其展開式的通項7+=百0（4）叱%也60*510,

X4X，X

令5〃-40=0,解得r=8,

所以展開式中的常數(shù)項為C；口=45，

故答案為：1；45.

13.（6分）已知cos'a-sin4a=2,且aw（0,馬,則sin2a=———,cos（2a+—）=___.

32—3—3

OJr

【解答】解：?.?已知cos'a—sin4a=—=cos2a-sin2a=cos2a,且aw(0,—),則

32

sin2cr=Vl-cos22a=

216G2-V15

cos(2a+—)=cos2acos----sin2asin—=—x---------xx—=-----------

3333232

14.（4分）已知圓錐的頂點為S,母線SA,S8所成角的余弦值為工，SA與圓錐底面所成

角為45。，若A545的面積為5屏，則該圓錐的側面積為_40應/

【解答】解：圓錐的頂點為S,母線SA,S8所成角的余弦值為2,可得

A5A8的面積為5厲，

可得1sA2sinNASB=5后,B|J-SA2x—=5715,即SA=46.

228

SA與圓錐底面所成角為45。，可得圓錐的底面半徑為：變x4>6=2而.

2

則該圓錐的側面積：-x4710^x45/5=4072^.

2

故答案為：40收7T.

15.（6分）已知直線/:）nr-y=l.若直線/與直線x-my-l=0平行，則根的值為_-1

動直線/被圓元2++/一24=0截得弦長的最小值為—.

【解答】解：??,直線/nr-y=l即直線-1=0與直線x-my-l=0平行，

-m+1w0

直線/=1過定點P(0,-l),

圓/+2x+/-24=0化為(％+1尸+9=25,

如圖:

當過P(0,-l)的直線與P與圓心的連線垂直時,

直線/被圓f+2x+/_24=0截得弦長最小，為2也5-(何=2岳.

故答案為：-1;2\/23.

16.(6分)已知〃?，〃為正常數(shù)，離散型隨機變量X的分布列如表:

X-101

Pmn

4

71

若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=五，則租〃=_而_，P(X,,0)=

+724--=1

12

【解答】解：由題意知\，解得力n=—

123

n—m=—

12

nrn=—,P(X?0)=w+—=—.

1843

故答案為：—;—.

183

17.(4分)己知d=(l,2),6=(l,l),且不與G+zlb夾角為銳角，則2的取值范圍為_2>-3

K2^0_.

【解答】解：由題意可得，a?(d+A,b)>0,且&與d+4不共線,

1+2

2-工

HP6r+zld,b>0,22+2

/.5+32>0,且zlwO

解得4>—，且4w0

3

故答案為；i>—3,且/two.

3

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.(14分)設AABC的內角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,且ccosC是aecosB與

b?cosA的等差中項.

(I)求角C；

(II)設c=2,求AABC周長的最大值.

【解答】解：(1)由題，c*cosC是。*cosB與b*cosA的等差中項，

貝|J4cosB+bcusA=2ccosC，

即sinAcosB+sinBcos>4=2sinCeosC，

即sin(A+B)=2sinCcosC，

即sinC=2sinCcosC,解得cosC='，所以C=C.

23

(2)由余弦定理及基本不等式，

c2=a2+h2-2abcos—=cT+kr-ah={a+h)2-3ah..(a+b)2-3("+')。=(。+與,

324

得a+6,,4,當且僅當a=6=2時等號成立，

故AA8C周長a+b+c的最大值為6.

19.(15分)如圖，在四棱錐P-45co中，底面是菱形，ZDAB=60°,PZ)_L平面

PD=AD=1,點、E,尸分別為AB和PD中點.

(I)求證：直線AF〃平面PEC；

(II)求PC與平面叢3所成角的正弦值.

【解答】解：(I)證明：悴FM"CD交PC千M.

?.?點/為中點，

FM=-CD.

2

?.?點E為/由的中點.

AE=-AB=FM,

2

又AEIIFM,

四邊形AEMF為平行四邊形,

:.AF//EM,

?.乂尸仁平面尸反1,EMu平面PEC,

直線4尸//平面尸比'.

(II)已知NZMB=60。,

進一步求得：DELDC,

則：建立空間直角坐標系，

則P(0,0,1),C(0,1,0),E吟,0,0),

A4,,0),B吟,1,0).

所以：AP=(--AB=(0,1,0).

22

設平面PAB的一個法向量為：n=(x,y,z),

n-AB=0

為即=0

61,

niii----xH—y+z=0

則：J22，

y=0

解得：n=(1,0,^-),

所以平面BAB的法向量為：?=(1,0,—)

2

???PC=(0,l,-l),

設向量為和定的夾角為e,

n-PC,442

COS0=1-----1=---

\n\\~PC\14

平面所成角的正弦值為叵.

14

20.(15分)設5“是數(shù)列｛%｝的前〃項和，(S,+2+3S,,)-(3S,,M+S,I)=2(〃..2,，?eN*),且

q=2,%=6,%=12.

(1)求證：數(shù)列｛-4｝為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式.

【解答】解：(1)證明：當"..2時,由(S“+2+3S“)-(3S,,+S“T)=2,

得⑸+2-S.T)-3(S.+LS“)=2,

即。,,*2+?！?|+4,-3《用=2，

整理得(限-4+1)-(%-%)=2，

則數(shù)列他7-q｝從第二項起成等差數(shù)列.

因為q=2,a,=6,4=12,

所以(%-%)-(%-4)=2，符合上式，

所以數(shù)列｛/,」-4｝是等差數(shù)列.

(2)由(1)知a“*1-a“=4+2(〃-l)=2(〃+l).

當.2時，

??=(??-%)+(41T-”"-2)+…+(4-?!)+?!=2w+2(n-l)+-??+2x2+2=?(?+1),

又因為4=2也符合上式,

所以a“=〃(〃+1)(/7eN").

21.（15分）定義：平面內兩個分別以原點和兩坐標軸為對稱中心和對稱軸的橢圓片，

它們的長短半軸長分別為q,4和4，瓦,若滿足生=崎，b2=b^keZ,k..2）,則稱心為

目的k級相似橢圓，已知橢圓月：工+三=1,E?為百的2級相似橢圓，且焦點共軸，耳與

44

芻的離心率之比為2：77.

（I）求當?shù)姆匠蹋?/p>

（H）已知P為E?上任意一點，過點P作片的兩條切線，切點分別為4（%,乂）、8（々，為）?

①證明：&在A（&,y）處的切線方程為空+岑=1；

4h

②是否存在一定點到直線他的距離為定值，若存在，求出該定點和定值；若不存在，說明

理由.

【解答】解：（I）由題意可知4=2,%=4，A=b；,

22

則e：=生a-旦h4-b-

416

/=4（4飛）=’_」

16-b：4+b,27

解月=3,仇=3,

2222

故橢圓與：\+事=1上，橢圓心：器+匕=1.

2+型=1

（II）①聯(lián)立橢圓與直線方程，4303/-6k4+12-4寸=0,

廠上y1

[--4-----13=1

22

點A在橢圓:'+5=1上，有3x：+4"12=0,

所以△=36x；-12（12-4y；）=12（3d+4y,-12）=0,即直線與橢圓相切，

所以過點A的切線方程為衛(wèi)+型=1,

43

②由①知，過點8的切線方程為皇+&t=1,

43

設P(x0,%),則馬+算=1,則9%+16￥=144,

169

x/oI-Y)=1

兩條切線都經過點P,則滿足方程組43

-I必％二]