2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項

是正確的，請把正確選項的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置。

1.（4分）（2021?涼山州）|-2021|=（）

2.（4分）（2021?涼山州）下列數(shù)軸表示正確的是（）

IIIiI11.11III]1.

A.32104-2-3B.-1-2-30123

?i?i?i?i??.

c.-3-2-1123D.-3-2-10123

3.（4分）（2021?涼山州）“天問一號”在經(jīng)歷了7個月的“奔火”之旅和3個月的“環(huán)火”

探測，完成了長達(dá)5億千米的行程，登陸器“祝融”號火星車于2021年5月15日7時18

分從火星發(fā)來“短信”，標(biāo)志著我國首次火星登陸任務(wù)圓滿成功.請將5億這個數(shù)用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.5xl07B.5xl08C.5xl09D.5xlO10

4.（4分）（2021?涼山州）下面四個交通標(biāo)志圖是軸對稱圖形的是（）

A.9B.±9C.3D.±3

6.（4分）（2021?涼山州）在平面直角坐標(biāo)系中，將線段4?平移后得到線段AZ',點A（2,l）

的對應(yīng)點月’的坐標(biāo)為（-2,-3）,則點8（-2,3）的對應(yīng)點8'的坐標(biāo)為（）

A.（6,1）B.（3,7）C.（-6,-1）D.（2,-1）

7.（4分）（2021?涼山州）某校七年級1班50名同學(xué)在“森林草原防滅火”知識競賽中的

成績?nèi)绫硭荆?/p>

成績60708090100

人數(shù)3913169

則這個班學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

8.（4分）（2021?涼山州）下列命題中，假命題是（）

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

C.若=則點3是線段AC的中點

D.三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心

9.（4分）（2021?涼山州）函數(shù)y=+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程

/+法+左-1=0的根的情況是（

A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法確定

10.（4分）（2021?涼山州）如圖，AA3C中，NACB=90。，AC=8,BC=6,將AADE沿

DE翻折，使點A與點8重合，則CE的長為（）

C,”D.Z

44

11.（4分）（2021?涼山州）點P是。內(nèi)?點，過點。的最長弦的長為lOcm,最短弦的長

為6a%,則OP的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

12.（4分）（2021?涼山州）二次函數(shù)>=依2+fcv+c（"H0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中

不正確的是（）

A.abc>0B.函數(shù)的最大值為a-b+c

C.當(dāng)一3都：1時，y.OD.4a-2b+c<0

二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）

13.（4分）（2021?涼山州）函數(shù)>=在亙中，自變量x的取值范圍是

X

x-1

"是方程ox+y=2的解，則。的值為____.

{'=3

15.（4分）（2021?涼山州）菱形中，對角線AC=I0,37）=24.則菱形的高等于.

16.（4分）（2021?涼山州）如圖，將MBC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C,已知AC=3,

BC=2,則線段鉆掃過的圖形（陰影部分）的面積為一.

17.（4分）（2021?涼山州）如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形

共需要3根火柴棍；拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；…

照這樣拼圖，則第n個圖形需要一根火柴棍.

三、解答題（共5小題，共32分）

18.（5分）（2021?涼山州）解不等式：上d-x<3-生工.

34

19.（5分）（2021?涼山州）已知x-y=2,---=1,求fy-孫2的值.

xy

20.（7分）（2021?涼山州）隨著手機(jī)的日益普及，學(xué)生使用手機(jī)給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶

來諸多不利影響.為了保護(hù)學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，

促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強(qiáng)

中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》.為貫徹《通知》精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“我與手機(jī)說再

見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（其

中A表示“一等獎”，3表示“二等獎”，C表示“三等獎”，。表示“優(yōu)秀獎”）.

獲獎情況條形統(tǒng)計圖獲獎情況扇形統(tǒng)計圖

請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）獲獎總?cè)藬?shù)為人，m=；

（2）請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校將從獲得一等獎的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名參加

全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率.

21.（7分）（2021?涼山州）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試?yán)?/p>

所學(xué)知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45。，再從C點

出發(fā)沿斜坡走2M米到達(dá)斜坡上力點，在點。處測得樹頂端A的仰角為30。，若斜坡CF的

坡比為i=l:3（點E、C、5在同一水平線上）.

（1）求王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度：

（2）求大樹43的高度（結(jié)果保留根號）.

A

22.（8分）（2021?涼山州）如圖，在四邊形ABCD中，=ZB=90。，過點。作。E_LA5

于E,若DE=BE.

（1）求證：DA=DC;

（2）連接AC交小于點F,若NM）E=3O。，AD=6,求小的長.

四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）

23.（5分）（2021?涼山州）若關(guān)于x的分式方程工-3=」上的解為正數(shù)，則，"的取值范

x-1\-X

圍是.

24.（5分）（2021?涼山州）如圖，等邊三角形A8C的邊長為4,C的半徑為G，P為AB

邊上一動點，過點P作OC的切線PQ,切點為Q,則的最小值為.

五、解答題（共4小題，共40分）

25.（8分）（2021?涼山州）閱讀以下材料：

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.帥/er,1550-1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人.他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)

書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EWer,1707-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之

間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義:一般地，若優(yōu)=N(a>0且a工1),那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log“N,

比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=log,16,對數(shù)式2=log,9可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

logw(M-N)=loguM+log(lA^(a>0,awl,M>0,N>0),理由如下：

設(shè)log?M=m,log“N=n,則A/=a"',N=a",

:.M-N=a"'-a"=am+",由對數(shù)的定義得，"+〃=log"(M?N).

又，?z+“=log“M+logoN,

log,,(M?N)=log,,M+logoN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：

(1)填空：①1(^32=,②logs27=,③log,l=；

(2)求證：log?—=log,,M-log?N(a>0,axl,M>0.N>0)；

(3)拓展運(yùn)用:計算logs125+logs6—logs30.

26.(10分)(2021?涼山州)如圖，A4O8中，ZABO=90°,邊08在x軸上，反比例函數(shù)

La

y=-(x>0)的圖象經(jīng)過斜邊0A的中點M,與相交于點N,5^=12,AN=-.

x2

(1)求Z的值；

(2)求直線的解析式.

27.(10分)(2021?涼山州)如圖，在RtAABC中，ZC=90°.AE平分NfiAC交3C于點E,

點。在旗上，DELAE,。是RtAADE的外接圓，交AC于點F.

(1)求證：BC是。的切線；

(2)若。的半徑為5,AC=8,求S^DE.

28.(12分)(2021?涼山州)如圖,拋物線y=o/+法+c("0)與x軸交于A、B兩點,

與y軸交于C點，AC=JT5,OB=OC=3OA.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P,使四邊形P54C的面積最大，求出點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的結(jié)論下，點〃為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點。，使點、P、B、M、

。為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出Q點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理

由.

2021年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項

是正確的，請把正確選項的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置。

1.（4分）（2021?涼山州）|-2021|=（)

A.2021B.-2021C.—D.———

20212021

【分析】根據(jù)絕對值解答即可.

【解答】解：-2021的絕對值是2021,

故選：A.

【點評】此題主要考查了絕對值，利用絕對值解答是解題關(guān)鍵.

2.（4分）（2021?涼山州）下列數(shù)軸表示正確的是（)

iIIIIII.

A.3210-1-2-3B.

C.-3-2-1123D.

【分析】注意數(shù)軸的三要素以及在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大即可做出判斷.

【解答】解：A選項，應(yīng)該正數(shù)在右邊，負(fù)數(shù)在左邊，故該選項錯誤；

3選項，負(fù)數(shù)的大小順序不對，故該選項錯誤；

C選項，沒有原點，故該選項錯誤；

O選項，有原點，正方向，單位長度，故該選項正確；

故選：D.

【點評】本題考查了數(shù)軸的畫法，畫數(shù)軸的時候要注意原點，正方向，單位長度要畫全.

3.（4分）（2021?涼山州）“天問一號”在經(jīng)歷了7個月的“奔火”之旅和3個月的“環(huán)火”

探測，完成了長達(dá)5億千米的行程，登陸器“祝融”號火星車于2021年5月15EI7時18

分從火星發(fā)來“短信”，標(biāo)志著我國首次火星登陸任務(wù)圓滿成功.請將5億這個數(shù)用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.5xl07B.5x10sC.5xl09D.5xlO10

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為axlO",其中L,31<10，”為整數(shù),

且〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【解答】解：5億=500000000=5*10*.

故選：B.

【點評】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為。xlO",其中L,

確定。與〃的值是解題的關(guān)鍵.

4.（4分）（2021?涼山州）下面四個交通標(biāo)志圖是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解.

【解答】解：A.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，

圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合.

5.（4分）（2021?涼山州）國的平方根是（）

A.9B.±9C.3D.±3

【分析】求出病=9,求出9的平方根即可.

【解答】解：y/8i=9,

J麗的平方根是±3,

故選：D.

【點評】本題考查了對算術(shù)平方根，平方根的定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力.

6.（4分）（2021?涼山州）在平面直角坐標(biāo)系中，將線段A3平移后得到線段AE,點A（2,l）

的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為（-2,-3）,則點8（-2,3）的對應(yīng)點8'的坐標(biāo)為（）

A.(6,1)B.(3,7)C.(-6,-1)D.(2,-1)

【分析】根據(jù)點A到A確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律列式計算即可得到點的坐標(biāo).

【解答】解：A(2,l)平移后得到點兒的坐標(biāo)為(-2,-3),

向下平移了4個單位，向左平移了4個單位，

8(-2,3)的對應(yīng)點8'的坐標(biāo)為(-2-4,3-4),

即(-6,-1).

故選：C.

【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移

減；縱坐標(biāo)上移加，下移減，先確定出平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

7.(4分)(2021?涼山州)某校七年級1班50名同學(xué)在“森林草原防滅火”知識競賽中的

成績?nèi)绫硭荆?/p>

成績60708090100

人數(shù)3913169

則這個班學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是()

A.90,80B.16,85C.16,24.5D.90,85

【分析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個；中位數(shù)要把數(shù)據(jù)

按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).

【解答】解：90出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為90.

這組數(shù)據(jù)一共有50個，已經(jīng)按大小順序排列，第25和第26個數(shù)分別是80、90,所以中位

數(shù)為(80+90)+2=85.

故選：D.

【點評】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力，要明確定義，一些

學(xué)生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而誤選其它選項，注意找中位數(shù)的時候一

定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的

數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).

8.(4分)(2021?涼山州)下列命題中，假命題是()

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

C.若AB=BC,則點5是線段AC的中點

D.三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)對A進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對5進(jìn)

行判斷；根據(jù)線段的中點定義對C進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外心的定義對。進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以A選項不符合題意；

8、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，所以8選項不符合

題意；

C、若A、B、C在同一直線上，且=則點B是線段AC的中點，所以C選項符

合題意；

。、三角形三條邊的垂直中分線的交點叫做這個三角形的外心，所以。選項不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言.任何一個命題

非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只

需舉出一個反例即可.

9.(4分)(2021?涼山州)函數(shù)丫=履+。的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程

/+笈+%-1=0的根的情況是()

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法確定

【分析】先利用一次函數(shù)的性質(zhì)得％<0，b<0,再計算判別式的值得到△=〃-4(k-l),

于是可判斷△>()，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

【解答】解：根據(jù)圖象可得々<0,6<0,

所以從>0,-4k>0,

因為△=層-4(1)=從_軟+4>0,

所以△>(),

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：C.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程+〃x+c=O（aHO）的根與△=〃-4ac有

如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)

根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根.也考查了一次函數(shù)圖象.

10.（4分）（2021?涼山州）如圖，A/WC中，ZACB=90。，AC=8,BC=6,將沿

￡）￡翻折，使點A與點5重合，則CE的長為（）

【分析】在RtABCE中，由3爐=C6+8C2,得到（8-X）2=X2+6:即可求解.

【解答】解：設(shè)CE=x,則AE=8-x=E8,

在RtABCE中，BE2=CE2+BC2,

即（8-x）2=x2+62,

解得x=Z,

4

故選：D.

【點評】本題考查的是翻折變換（折疊問題），明確A￡=BE是本題解題的關(guān)鍵.

11.（4分）（2021?涼山州）點尸是。內(nèi)一點，過點P的最長弦的長為10a”，最短弦的長

為16cm,則OP的長為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根據(jù)直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑；最短弦即是過點P且垂直于過點尸的

直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長.

【解答】解：如圖所示，于點P.

根據(jù)題意，得

AB=10cm,CD=6cm.

CDVAB,

CP——CD=3ctn.

2

根據(jù)勾股定理，得OP=y/co2-cp2=V52-32=4（cm）.

故選：B.

【點評】此題綜合運(yùn)用了垂徑定理和勾股定理.正確理解圓中，過一點的最長的弦和最短的

弦.

12.（4分）（2021?涼山州）二次函數(shù)y=ad+/zx+c（aH0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中

不正確的是（）

A.abc>0B.函數(shù)的最大值為a-6+c

C.當(dāng)-3聶/1時，y..OD.4a-2b+c<0

【分析】利用拋物線開口方向得到a<0,根據(jù)拋物線的對稱性得到6=2〃<0,根據(jù)拋物線

與y軸的交點位置得到c>0,則可對A進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的最值問題可對8進(jìn)行判

斷；利用拋物線與X軸的交點與圖像可對C進(jìn)行判斷；利用x=-2,），>0可對。進(jìn)行判斷.

【解答】解：?拋物線開口向下，

.,.a<0,

?拋物線的對稱軸為直線x=--=-1,

2a

:.h=2a<09

拋物線與y軸的交點坐標(biāo)在X軸上方，

/.c>0>

abc>0,所以A不符合題意；

當(dāng)x=-l時，函數(shù)的最大值為：a-（-l）2+b-[-Y）+c=a-b+c,故8不符合題意；

由圖可知，拋物線與x軸的另一交點為（-3,0）,所以-3期：1時，y..0,故C不符合題意：

當(dāng)x=-2時，y>0,

所以，u?（—2）"+b-（-2）+c>0>

即4（7—2/?+c>0,故。符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大

小，當(dāng)a>0時，拋物線向上開口，當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)匕和二次項系

數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)。與〃同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與人異號時，對稱軸

在y軸右，常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與），軸交于（0,。）.拋物線與x軸交點個

數(shù)由判別式確定：△=加一4">0時,拋物線與x軸有2個交點；△=〃-4ac=0時，拋物

線與x軸有1個交點；△=從一4*<0時，拋物線與x軸沒有交點.

二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）

13.（4分）（2021?涼山州）函數(shù)》=立且中，自變量x的取值范圍是_x…-3且xw0_

X

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列不等式

組求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：lx+3-0,

解得“...-3且xw0.

故答案為匯…—3且x00.

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍.考查的知識點為：分式有意義，分母不為0,

二次根式有意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

|y—1

14.（4分）（2021?涼山州）已知彳一.是方程奴+y=2的解，則。的值為1_.

[y=3

【分析】把方程組的解代入方程，得到關(guān)于。的一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：把=1代入到方程中得：。+3=2,

b=3

a=-1,

故答案為：-1.

【點評】本題考查了二元一次方程的解，把方程組的解代入方程，得到關(guān)于。的一元一次方

程是解題的關(guān)鍵.

15.（4分）（2021?涼山州）菱形中，對角線AC=10,瓦>=24.則菱形的高等于

120

73—'

【分析】由題意得，菱形的面積=‘*AC?8r>='xl0x24=120,設(shè)菱形的高為人，則菱形

22

的面積=3C〃=13/z=120,即可求解.

【解答】解：由題意得，菱形的面積=！xAC-8Q=」xl0x24=120,

則AB=\IAO2+BO2=13,

設(shè)菱形的高為〃，

則菱形的面積=BC/=13〃=120,

解得〃=空，

13

故答案為坦

13

【點評】本題考查的是菱形面積的計算方法，利用兩種不同方法求解菱形面積是本題解題的

關(guān)鍵.

16.（4分）（2021?涼山州）如圖，將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C,已知AC=3,

BC=2,則線段45掃過的圖形（陰影部分）的面積為—.

一3-

【分析】根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ev+SM%-S埸物g-S.c，由旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出Ss阮=5A5c就可以得出45掃過的圖形的面積=S府形心,一$扇形ww求

出其值即可.

【解答】解：AABC繞點C旋轉(zhuǎn)60。得到△AaC,

...AABC三△A6C,

1

S拄BC=sA.B.C，ZBCB=NAC4'=120°.

AB掃過的圖形的面積=S扇形AS+S^BC—S扇形3C51—SA>B'Cf

「.A3掃過的圖形的面積=S扇形AC4-S扇形3c夕，

4cl網(wǎng)1204?3?120^-225萬

.?.A3掃過的圖形的面積=------------------=一.

3603603

故答案為：—.

3

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，扇形的面積公式的運(yùn)用，

解答時根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.

17.（4分）（2021?涼山州）如圖，用火柴棍拼成一個由三角形組成的圖形，拼第一個圖形

共需要3根火柴棍；拼第二個圖形共需要5根火柴棍；拼第三個圖形共需要7根火柴棍；…

照這樣拼圖，則第〃個圖形需要_（2〃+1）_根火柴棍.

圖1圖2圖3

【分析】根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律，即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)第〃個圖形需要%（〃為正整數(shù)）根火柴棒,

觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一個圖形需要火柴棍：3=lx2+l,

第二個圖形需要火柴棍：5=2x2+1；

第三個圖形需要火柴棍：7=3x2+I,…，

.?.第〃個圖形需要火柴棍：2/7+1.

故答案為：（2〃+1）.

【點評】本題考查了規(guī)律型中圖形的變化類，解決該題型題目時，根據(jù)給定圖形中的數(shù)據(jù)找

出變化規(guī)律是關(guān)鍵.

三、解答題（共5小題，共32分）

18.（5分）（2021?涼山州）解不等式：--x<3--.

34

【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為

1可得.

【解答】解：去分母，得：4（l-x）-12x<36-3（x+2）,

去括號，得：4-4x-12x<36-3x-6,

移項、合并，得：-13x<26,

系數(shù)化為1得，x>-2.

【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的性質(zhì)是關(guān)鍵，尤

其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變.

19.（5分）（2021?涼山州）已知x-y=2,---=1,求Vy—孫？的值.

xy

【分析】將』-工=1變形后得到了-犬=個，再將多項式因式分解后整體代入可得結(jié)論.

【解答】解：」,=1,

xy

.\y—x=xy?

'x-y=2,

:.y-x=xy=^2.

.,.原式=xy（x—y）=-2x2=-4.

【點評】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，將要求的代數(shù)式因式分解，并整體代入是解題的

關(guān)鍵.

20.（7分）（2021?涼山州）隨著手機(jī)的日益普及，學(xué)生使用手機(jī)給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶

來諸多不利影響.為了保護(hù)學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，

促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強(qiáng)

中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》.為貫徹《通知》精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“我與手機(jī)說再

見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖（其

中A表示“一等獎”，3表示“二等獎”，C表示“三等獎”，。表示“優(yōu)秀獎”）.

獲獎情況條形統(tǒng)計圖獲獎情況扇形統(tǒng)計圖

請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:

（1）獲獎總?cè)藬?shù)為40人,m=

（2）請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

（3）學(xué)校將從獲得一等獎的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名參加

全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率.

【分析】（1）用“二等獎”人數(shù)除以它所占的百分比得到獲獎總?cè)藬?shù)，然后計算“三等獎”

人數(shù)所占的百分比得到m的值；

（2）利用“三等獎”人數(shù)為12補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，找出抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)

果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：（1）獲獎總?cè)藬?shù)為8+20%=40（人），

加％=8-6*100%=30%,

40

即，〃=30；

故答案為40；30；

（2）“三等獎”人數(shù)為40-4-8-16=12（人），

條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充為:

獲獎情況條形統(tǒng)計圖

獲獎等級

（3）畫樹狀圖為:

開始

男女女女

小/t\/N八

女女女男女女男女女男女女

共有12種等可能的結(jié)果，抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為6,

所以抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率=色=工.

122

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，I,

再從中選出符合事件A或3的結(jié)果數(shù)目機(jī)，然后利用概率公式計算事件A或事件3的概

率.也考查了統(tǒng)計圖.

21.（7分）（2021?涼山州）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試?yán)?/p>

所學(xué)知識測量河對岸大樹A3的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45。，再從。點

出發(fā)沿斜坡走2加米到達(dá)斜坡上。點，在點。處測得樹頂端A的仰角為30。，若斜坡B的

坡比為i=l:3（點E、C、3在同一水平線上）.

（1）求王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度；

（2）求大樹四的高度（結(jié)果保留根號）.

【分析】(1)作O"_LCE于H,解RtACDH,即可求出

(2)過點。作。G_L43于點G,設(shè)BC=x米，用x表示出AG、DG,根據(jù)tanNADG=—?

DG

列出方程，解方程得到答案.

(解答］解:(1)過點￡＞作，CE于點H,

由題意知co=2jid米,

斜坡CF的坡比為1=1:3,

.DH_1

,?—―，

CH3

設(shè)DH=x（米），C〃=3x（米）,

DH2+CH-=DC2,

x2+（3x）2=（2屈了,

?.x=2,

:.DH=2（米），C〃=6（米）,

答:王剛同學(xué)從點C到點。的過程中上升的高度為2米;

(2)過點。作Z)G_L于點G,

ADHB=NDG8=ZABC=90°,

.??四邊形為矩形,

;.DH=BG=2米,0G=84=（x+6）米,

ZACB=45°,

BC=AB=x（米）,

AG=（x-2）米,

ZADG=30°,

/.—=tan30°=—

DG3

.x2c

x+63'

/.x=6+4x/3,

AB=（6+4百）（米）.

答:大樹AB的高度是（6+4百）米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰

角俯角的概念是解題的關(guān)鍵.

22.（8分）（2021?涼山州）如圖,在四邊形AB8中,ZADC=ZB=90°,過點。作

于E,若DE=BE.

（1）求證：DA=DC；

（2）連接AC交于點尸，若NAPE=30。，AD=6,求￡）尸的長.

【分析】（1）作Z）G_LQ,交3c的延長線于點G,然后即可得得到四邊形DEBG的形狀，

再根據(jù)題目中的條件，可以證明A3和ASG全等，然后即可得到結(jié)論成立；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理和三角形相似，可以得到砂的長，然后根據(jù)DE的長,

即可得到小的長.

【解答】（1）證明：作Z）G_L3D,交3c的延長線于點G,如右圖所示，

DEVAB,ZB=90°,DG1BC,

NDEB=ZB=NBGD=90°,

四邊形是矩形，

又DE=BE,

四邊形OE8G是正方形，

:.DG=BE,NEDG=90°,

:.DG=DE,ZEDC+NCDG=90°,

ZADC=90°,

.-.ZEDC+ZADE=90°,

.\ZADE=ZCDG,

在AAD石和ACDG中，

ZADE=ZCDG

<DE=DG,

ZAED=ZCGD

:./VLDE=ACDG(ASA),

DA=DC;

(2)ZADE=30°,AT>=6,ZE>E4=90°,

:.AE=3,DE=>JAD2-AE2=762-32=3>/3,

由(1)知，MDE^ACDG,四邊形?！闎G是正方形，

:.DG=DE=3/,AE=CG=3,BE=DG=BG=3y/3,

:.BC=BG-CG=3/-3,AE=AE+BE=3+3y/3,

■.FG.LAB,BC±AB,

:.FEHCB,

:.^AEFs^ABC,

.AE_EF

即3_EF

3+3月-3石-3'

解得EF=6-3g,

力尸=DE-E尸=36一(6-36)=3/-6+3g=6G-6,

即￡>F的長是6>/5-6.

【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形

的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證明AADE和ASG全等和求出M的長，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）

23.（5分）（2021?涼山州）若關(guān)于x的分式方程工±-3=」上的解為正數(shù)，則，"的取值范

x-1l-x

圍是_m>—3旦w—2_.

【分析】先利用機(jī)表示出X的值，再由X為正數(shù)求出機(jī)的取值范圍即可.

【解答】解：方程兩邊同時乘以（尤-1）得，2x-3（x-]）=-m,

解得x=m+3.

尤為正數(shù)，

二.帆+3>0,解得加>—3.

二xwl,

二.機(jī)+3工1,即加工一2.

的取值范圍是m>—3且相w—2.

故答案為：加>—3且利w—2.

【點評】本題考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不

等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解是解答此題的關(guān)鍵.

24.（5分）（2021?涼山州）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,C的半徑為6，P為AB

邊上一動點，過點尸作C的切線PQ,切點為Q,則尸。的最小值為3.

【分析】連接CP、CQ，作CH±AB于，，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=CB=4,

ZBCH=-ZACH=1x60°=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BH=-AB=4,

222

CH=^-BC=^-x4=2y[3,由切線的性質(zhì)得到CQ_LP。，根據(jù)勾股定理得到

PQ=JC產(chǎn)-CQ?=，C尸-3,推出當(dāng)點P運(yùn)動到H點時，CP最小，于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接CP、CQ,作CHJLAB于H,如圖,

等邊三角形ABC的邊長為4,

..AB=CB=4,ZBCH=-ZACB=-x60°=30°,

22

:.BH=~AB=4,CH=—BC=—X4=2>5,

222

PQ為C的切線，

：.CQrPQ,

在RtACPQ中，PQ=JCP2-CC=Jc產(chǎn)-3,

點P是AB邊上一動點，

，當(dāng)點P運(yùn)動到"點時，CP最小，

即CP的最小值為26，

PQ的最小值為712-3=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行

計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.也

考查了等邊三角形的性質(zhì).

五、解答題（共4小題，共4（）分）

25.（8分）（2021?涼山州）閱讀以下材料：

蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.即/",1550-1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人.他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)

書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EWer,1707-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之

間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義:一般地,若優(yōu)=N（a>0且。*1）,那么*叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log,,N,

2

比如指數(shù)式2"=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=log216,對數(shù)式2=log,9可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式3=9.

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

logfl（M-Ny=logaM+logaN（a>0,axl,M>0,N>0）,理由如下：

設(shè)log“M=m,log“N=n,則M=a"',N=a",

:.M-N=am-a"=am+",由對數(shù)的定義得〃?+〃=log“(M?N).

又m+n=log?M+log“N,

log“(M?N)=log?M+log?N.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：

(1)填空：①k>g?32=5,②log：27=,③log〃=；

,M

(2)求證：logw—=logwM-lognN(a>0,awl,M>0,N>0)；

(3)拓展運(yùn)用：計算logs125+log56-logs30.

【分析】(1)直接根據(jù)定義計算即可；

m

(2)先設(shè)log“M=〃?，log,N=〃，根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M=afN=a",

計算絲的結(jié)果，同理由所給材料的證明過程可得結(jié)論；

N

M

(3)根據(jù)公式：log“(M-N)=log,,M+log,,N和log,,—=log,,M-log,,N的逆用，將所求式

子表示為：logs。25x6+30),計算可得結(jié)論.

53

【解答】解：(1)log,32=log,2=5,log327=log33=3,log71=log77°=0；

故答案為：5,3,0；

(2)設(shè)log“M=〃?，log?N=〃，則〃=腔，N=a",

由對數(shù)的定義得加一〃=log,,《，

又m-n=log“M一logaN,

...log,,=log,,M-log,,N(a>0,axl,M>0,N>0)；

(3)原式=log5(125x6+30)

=log,25

=2.

【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系以及相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，解題

的關(guān)鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系以及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.

26.（10分）（2021?涼山州）如圖，AAOB中，NAfiO=90。，邊03在x軸上，反比例函數(shù)

LQ

y=—（x>0）的圖象經(jīng)過斜邊。4的中點M,與45相交于點N,5^=12,AN=-.

x2

（1）求］的值;

（2）求直線MN的解析式.

k【分析】（1）設(shè)N（q,b）,則A（a,b+3，M（ga，m+\）,由反比例函數(shù)y=々x>0）的圖象經(jīng)

11Q719

過斜邊Q4的中點M,得人=/入（5&+（）=4人，〃=］,根據(jù)SM°B=12得54（。+g=12,可得

3

a=4,故左=4x二=6；

2

（2）由（1）知：M（2,3）,N（4,|）,設(shè)直線MN解析式為y=,nr+",用待定系數(shù)法即可得到

答案.

【解答】解：(1)設(shè)N(a,b),則OB=a,BN=b,

AN=g,

2

9

:.AB=h+—,

2

9

A(a,Z?4—),

2

M為(M中點，

而反比例函數(shù)），=￡（x>0）的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點M,

X

119

二.《=耳a?（耳。+［）=ab,

解得：/?=3,

2

S^OB=n,ZABO=90。，

I19

—O8?A8=12,即一如+二)=12,

222

將b=3代入得：Lq(3+q)=12,

解得a=4,

.?.2V(4,-),A/(2,3),

，，3，

:.k=4x—=6；

2

3

(2)由(1)知：M(2,3),N(4,—),

2

設(shè)直線MN解析式為y=

3=2m+〃m=-—

,■?■3,，解得J,

n