新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.4充分條件與必要條件1.4.2充要條件素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第一冊(cè)

第一章1.41.4.2A組·基礎(chǔ)自測(cè)一、選擇題1．下列說(shuō)法正確的是(C)A．已知a，b∈R，則“a＞b＋1”是“|a|＞b＋1”的必要不充分條件B．設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q成立的必要不充分條件C．“a＞0”是“a＋1＞0”的充分不必要條件D．若“x＝－1”是“x＜a”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的最大值為1[解析]因?yàn)閨a|≥a，所以若a＞b＋1，則|a|＞b＋1，充分性成立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閧x|1＜x＜2}{x|2x＞1}，所以p是q成立的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閧a|a＞0}{a|a＋1＞0}，所以“a＞0”是“a＋1＞0”的充分不必要條件，故C正確；若“x＝－1”是“x＜a”的必要不充分條件，則{x|x＜a}{－1}，則不存在這樣的a，故D錯(cuò)誤．2．已知x∈R，則{x|x<－1}是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2)或x<－1))的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]{x|x<－1}?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2)或x<－1))，反之不成立，所以“{x|x<－1}”是“eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2)或x<－1))”的充分不必要條件．故選A．3．設(shè)A，B，C是三個(gè)集合，則“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件[解析]由A∩B＝A∩C，若A＝?，則不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C．所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分條件．4．命題“對(duì)所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(C)A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5[解析]命題“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的充要條件為a≥4，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合{a|a≥4}的真子集，由選擇項(xiàng)可知C符合題意．5．在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC為直角三角形的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)B＝90°或C＝90°時(shí)，△ABC為直角三角形，但不能推出AB2＋AC2＝BC2，故選A．二、填空題6．下列說(shuō)法正確的是_②④_.①x2≠1是x≠1的必要條件；②x>5是x>4的充分不必要條件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要條件；④x2<4是x<2的充分不必要條件．[解析]由x2≠1?x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要條件，故①不正確．②正確．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，則③不正確．④正確．7．已知p：x<8，q：x<a，且q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍為_(kāi)a<8_.[解析]因?yàn)閜：x<8，q：x<a，且q是p的充分而不必要條件，所以a<8.8．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件，且a≠0，則實(shí)數(shù)a的取值為－eq\f(1,2)或eq\f(1,3)_.[解析]p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，即x＝－eq\f(1,a).由題意知pq，q?p，所以有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).綜上可知，a＝－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).三、解答題9．若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，試寫(xiě)出：(1)A∪B＝R的一個(gè)充要條件；(2)A∪B＝R的一個(gè)必要不充分條件；(3)A∪B＝R的一個(gè)充分不必要條件．[解析]集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)若A∪B＝R，則b≥－2，故A∪B＝R的一個(gè)充要條件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的充要條件是b≥－2，所以A∪B＝R的一個(gè)必要不充分條件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的充要條件是b≥－2，所以A∪B＝R的一個(gè)充分不必要條件可以是b≥－1.10．求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件．[解析]①當(dāng)a＝0時(shí)，解得x＝－1，滿足條件；②當(dāng)a≠0時(shí)，顯然方程沒(méi)有零根，若方程有兩異號(hào)實(shí)根，則a＜0；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0，))即0＜a≤eq\f(1,4).綜上，若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，則a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根．因此，關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a≤eq\f(1,4).B組·能力提升一、選擇題1．荀子曰：“故不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”這句來(lái)自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)成目標(biāo)的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件．2．(多選題)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要條件為(AB)A．－4≤x≤－1B．1≤x≤4C．－4≤x≤－1或1≤x≤4D．－4≤x≤4[解析]由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1或1≤x≤4，∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要條件為A，B.故選AB.3．(多選題)已知A，B為實(shí)數(shù)集R的非空集合，則AB的必要不充分條件可以是(ABD)A．A∩B＝A B．A∩?RB＝?C．?RB?RA D．B∪?RA＝R[解析]因?yàn)锳B??RB?RA，所以?RB?RA是AB的充要條件，因?yàn)锳B?A?B?A∩B＝A?A∩?RB＝??B∪?RA＝R.二、填空題4．設(shè)集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，則“x∈(A∪B)”是“x∈C”的_充要_條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要條件．5．設(shè)m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整數(shù)根的充要條件是m＝_3或4_.[解析]易得方程x2－4x＋m＝0的根為x＝eq\f(4±\r(16－4m),2)＝2±eq\r(4－m)，因?yàn)閤是整數(shù)，即2±eq\r(4－m)為整數(shù)，所以eq\r(4－m)為整數(shù)，且m≤4.又m∈N*，所以m的值可取1,2,3,4，驗(yàn)證可得m＝3或m＝4符合題意，反之，當(dāng)m＝3或m＝4時(shí)，可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整數(shù)根．三、解答題6．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求A∩B，(?UA)∩(?UB)；(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析](1)當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|1≤x≤7}，則A∩B＝{x|1≤x≤4}；?UA＝{x|x<1或x>7}，?UB＝{x|x<－2或x>4}，(?UA)∩(?UB)＝{x|x<－2或x>7}．(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，∴AB.①若A＝?，則a－1>2a＋3，解得a<－4；②若A≠?，由AB，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤2a＋3，,a－1≥－2，,2a＋3≤4，))且a－1≥－2與2a＋3≤4不同時(shí)取等號(hào)；解得－1≤a≤eq\f(1,2).綜上：a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a<－4或－1≤a≤\f(1,2))).C組·創(chuàng)新拓展請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾獥l件，②必要不充分條件，③充要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，若問(wèn)題中的實(shí)數(shù)m存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，若x∈A是x∈B成立的_________條件，判斷實(shí)數(shù)m是否存在？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．[解析]若選擇條件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要條件，集合A是集合B的真子集，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥6，))解得m≥5，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥5.若選擇條件②，即x∈A是x∈B成立的必