借助數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式發(fā)展學(xué)生空間觀念實踐例談

6/7借助數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式發(fā)展學(xué)生空間觀念實踐例談上海市漕河涇新興技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗小學(xué)魯琦《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》修改，充實了十個核心詞，“數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識”，而這些核心詞中，很少有像“空間觀念”這樣，從被提出以來，一直沒有改變過，足以證明它的準(zhǔn)確性和重要性；義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對空間觀念是這樣敘述的：空間觀念主要是指根據(jù)物體的特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化，依據(jù)語言的描述畫出圖形1。由此得知，空間觀念即包括從生活中的實物到數(shù)學(xué)中的平面圖形的抽象，也包括從平面圖形到生活中的實物的想象，而小學(xué)階段是空間觀念發(fā)展的重要時期，在這個階段，用什么樣的方法能更有效的培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，是非常值得去思考和實踐的。小學(xué)生的空間觀念的形成只靠老師講，學(xué)生看明顯是不夠的，因為課程標(biāo)準(zhǔn)同樣指出，“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志?！彼匀绻胗行嵘龑W(xué)生的空間觀念必然引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程，而且這個過程不能流于形式，這應(yīng)該是我們在教學(xué)實踐中去思考和探索的，其實關(guān)于如何提升培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念的課題，已經(jīng)有比較多的相關(guān)論述，但是對一線教師來說，缺乏的還是把相關(guān)理論轉(zhuǎn)化成在課堂上行之有效的一種教學(xué)模式，有幸的是我校作為《發(fā)展小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實驗教學(xué)研究》課題的基地校，在黃琰老師的帶領(lǐng)下一直致力于數(shù)學(xué)實驗課的實踐和研究，在學(xué)習(xí)和研究的過程中學(xué)到了數(shù)學(xué)實驗這樣的教學(xué)模式，這種模式對教師設(shè)計學(xué)生的活動是很有意義的?！皵?shù)學(xué)實驗是實驗者在數(shù)學(xué)思維的參與下，在某個特定的實驗環(huán)境中，借助一定的技術(shù)或者物質(zhì)手段，而進(jìn)行的探索、實踐活動，實驗的最終目的是為了檢驗數(shù)學(xué)猜想、得到數(shù)學(xué)結(jié)論，或者是解決數(shù)學(xué)問題”2。小學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)就是把數(shù)學(xué)實驗融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，用數(shù)學(xué)實驗的思維方式去思考和設(shè)計的課堂教學(xué)。如何利用數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式的在小學(xué)的圖形與幾何板塊的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？下面以“以滬教版《數(shù)學(xué)》第七冊‘圓的初步認(rèn)識’為例”，談?wù)勗谶\(yùn)用理解形數(shù)學(xué)實驗的課堂模式，理解概念的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念的過程中的一些感悟。上文提到義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）對空間觀念的解讀：“空間觀念主要是根據(jù)物體的特征抽象出幾何圖形……”；在“圓的初步認(rèn)識”一課中，滬教版教材從生活中的圓形物體出發(fā)，初步抽象出圓這個圖形；蘇教版，人教版的教材中圓的概念的引出，也采用了1中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.2呂叔湘.現(xiàn)代漢語詞典(修訂本)[M].北京:商務(wù)印書館，1997:1146這種方式，這種方式引入的好處在于素材來源于生活，學(xué)生比較熟悉，但是在實踐的過程中發(fā)現(xiàn)，往往很多學(xué)生對這樣建立的圓的表象是生活中認(rèn)識的圓形物體，是一個圓面，而數(shù)學(xué)中的圓是一條封閉的曲線；在這點(diǎn)上用圓形物體來引入對理解圓的概念本質(zhì)容易出現(xiàn)偏差，雖然可以用后續(xù)的畫圓繼續(xù)體會，但是還會有部分同學(xué)把數(shù)學(xué)中的圓和生活中的圓混淆。翻閱中學(xué)教材對圓的定義有兩種，一種是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，第二種是平面上一動點(diǎn)以一定點(diǎn)為圓心，以一定長度為為距離旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線叫做圓，直接給出這樣的概念是不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的，對于小學(xué)生而言都是難于理解的，怎樣避免直接給出這樣的定義，而讓學(xué)生準(zhǔn)確理解圓的概念本質(zhì)，并在這個過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，這應(yīng)該是我們要嘗試突破的。為了幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)中的圓的本質(zhì)特征，必須要先體會圓是由無數(shù)個符合特定條件的點(diǎn)所構(gòu)成封閉曲線，所以本課嘗試放棄用實際生活中圓形物體引入，而借鑒了北師大的數(shù)學(xué)教材關(guān)于圓的引入方式，創(chuàng)設(shè)一個生活情境，在套圈游戲的過程中為了保證游戲的公平，如何安排小朋友的位置呢？如果對這個問題的思考停留在想一想，說一說，看一看，是難以形成空間觀念的，只有借助實驗，由學(xué)生自主探索，親身實踐，在觀察，操作，歸納，交流中空間觀念才能不斷的生成和發(fā)展。[教學(xué)片段一]師：一年一度的新年游園活動就要開始了，今年仍然有我們的保留項目——套圈，4個小朋友同時套圈，像這樣站可以嗎？為什么？生：不可以，因為4個小朋友離桿子的距離不同，這樣不公平師：為了保證游戲的公平，我們制定了這樣的規(guī)則：每位同學(xué)與桿子的距離為4米。如果把薄膜上的×當(dāng)做桿子所在的位置，用1cm表示實際1m，請在薄膜上點(diǎn)出4個同學(xué)的位置。學(xué)生用老師提供的工具（透明薄膜，記號筆，直尺）在透明薄膜上描點(diǎn)，老師把學(xué)生的透明薄膜重合，這些點(diǎn)形成一個圓。師：這些點(diǎn)形成一個什么圖形？生：圓師：還能找到這樣的點(diǎn)嗎？能找到多少個？生：能找到無數(shù)個。[教學(xué)片段二]師:老師今天給大家準(zhǔn)備了一些工具：大頭釘、回形針、細(xì)繩、橡皮筋、硬幣、圓規(guī)。請嘗試用這些工具畫圓并填寫學(xué)習(xí)單巡視，選擇成功畫出圓的方法，學(xué)生依次交流生1：我用硬幣成功畫出圓，方法是沿著硬幣的邊緣描一圈生2：我用大頭釘和細(xì)繩成功畫出圓，方法是用大頭釘固定細(xì)繩，筆尖把細(xì)繩拉直，繞一圈生3：我用大頭釘和回形針成功畫出圓，方法是用大頭釘固定回形針，筆尖放在另一端，繞一圈生4：我用圓規(guī)成功畫出圓，方法是用針尖固定，用筆尖繞一圈生5：我用大頭釘和橡皮經(jīng)嘗試畫圓，沒有成功。師：為什么沒有成功？生：因為橡皮筋有彈性。師：生活中很多圓形的物體都能描出圓，今天先不討論描圓的方法，其它幾種方法能成功畫出圓的關(guān)鍵是什么？小組討論生：關(guān)鍵要確定一點(diǎn)，還要確定長度師：比較幾種方法，你最喜歡哪一種？為什么？生1：我更喜歡圓規(guī)，其它方法都需要兩樣?xùn)|西，比較麻煩，圓規(guī)既可以定點(diǎn)又可以定長，用起來比較方便。生2：其它方法畫出的圓大小是固定的，而圓規(guī)可以自由選擇。師：老師要在黑板上畫一個比較大的圓，能用圓規(guī)嗎？用哪種方法比較合適？生1：用圓規(guī)在黑板上沒辦法定點(diǎn)，大小也不夠。生2：可以用磁鐵定點(diǎn)，用細(xì)繩和粉筆在黑板上繞一圈師：有什么要提醒老師注意的嗎？生：細(xì)繩要拉直生：磁鐵不能動教師黑板示范畫圓師：如果老師要在操場上畫一個更大的圓，怎么畫呢？生：可以在操場上固定一點(diǎn)，用繩子繞一周播放操場畫圓視頻師：大家在紙上用工具畫圓，老師在黑板上，在操場上畫圓時，有什么共同特點(diǎn)嗎？生：都需要固定一點(diǎn)，固定長度。師：畫圓時定的點(diǎn)，也就是圓的中心點(diǎn)，叫做圓心，一般用O表示，定的長度，也就是連結(jié)圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做半徑，一般用r表示。師：圓上有多少個點(diǎn)？在同一個圓上的這些點(diǎn)有怎樣的共同特點(diǎn)呢？生：我們畫出的圓上有無數(shù)個點(diǎn)，這些點(diǎn)與圓心的距離都相同。師：這些點(diǎn)在圓上嗎?(教師指圓內(nèi)或者圓外的點(diǎn))為什么？生：不在圓上，因為它們圓心的距離不等于半徑。在第一個實驗中，面對這個問題“怎樣安排這4個同學(xué)的位置呢？位置可能在哪里呢？”空間觀念強(qiáng)的同學(xué)會先進(jìn)行想象，在是發(fā)展學(xué)生的空間觀念的一次好機(jī)會，也是這些同學(xué)空間想象的初步表現(xiàn)，空間觀念薄弱的同學(xué)，可以在透明薄膜借助工具描出4位同學(xué)的位置，在描一描的過程中體會這些點(diǎn)所在位置的多種可能性，逐步形成空間觀念，最后當(dāng)老師把多位學(xué)生的透明薄膜重合時，學(xué)生通過視覺直觀，觀察到這樣的點(diǎn)有很多很多個，這許許多多的點(diǎn)形成一個“圓”，在這個實驗過程中學(xué)生通過描一描，擺一擺，看一看，直觀感受到圓的形成過程，這個過程為我們后續(xù)正確抽象出數(shù)學(xué)中的圓打下基礎(chǔ)。在第二個實驗學(xué)生通過觀察，交流，操作，歸納等活動采用多種畫圓方法，了解畫圓工具的多樣性，在歸納的這些畫圓方法的共性時，通過交流，體會圓上所有的的點(diǎn)距圓心的距離都相等，而距離圓心的距離小于半徑或者大于半徑的點(diǎn)不在圓上，而在圓內(nèi)或者圓外。這樣就解決了學(xué)生理解圓的概念時容易出現(xiàn)偏差的問題，圓是一個封閉的曲線圖形（不包括圓內(nèi)和圓外），不是生活中經(jīng)常見到的圓面，幫助學(xué)生正確理解圓的本質(zhì)特征，正確建立表象。前文提到“空間觀念即包括從生活中的實物到數(shù)學(xué)中的平面圖形的抽象，也包括從平面圖形到生活中的實物的想象”，通過前兩個實驗，已經(jīng)完成了對圓這個圖形的抽象，接下來要完成從圖形到生活中的實物的想象，并且在這個過程中要注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念。[教學(xué)片段三]師:同學(xué)們生活中見過圓嗎？生：鐘面的邊緣，硬幣的邊緣，車輪的一周……師：確實，生活中確實有很多的圓，但是有些物體也可以是其它形狀的，比如鐘面也可以做成正方形的，硬幣也可以是正方形的，但是有些物體如果不是圓的，大家就會覺得很奇怪吧，比如把車輪做成方形的，會怎樣的？還真有人做了這樣的實驗。觀看方形車輪實驗視頻。師：為什么方形的車輪會如此顛簸？而圓形不會呢？下面我們用學(xué)具在黑板上做個實驗吧。師：為什么圓形車輪的中心點(diǎn)在滾動時留下的痕跡是一條直直的線，而方形的車輪的中心點(diǎn)在滾動時留下的確是一條像波浪一樣的線呢？我們再用電腦來做個實驗。生：因為圓形的車輪無論怎么滾，都和中心離的一樣遠(yuǎn)，而方形在滾動時邊上的點(diǎn)和中心的距離卻在變。師：說的太好了，大家可以在生活中繼續(xù)去探索，為什么生活中有很多的物體的邊緣都做成圓的？如果這節(jié)課與實際生活的聯(lián)系僅僅停留在給學(xué)生看看生活中的“圓”，對學(xué)生空間觀念形成的幫助是有限的，“車輪是方的可以嗎？”如果只是看個新鮮，對學(xué)生的空間觀念的發(fā)展也作用不大，問個為什么，這樣的探索學(xué)生感興趣，切實感受到數(shù)學(xué)在生活中的作用，而且在思考，交流的過程中，學(xué)生的空間觀念得到了鍛煉和考驗，但是這個環(huán)節(jié)也有個遺憾，由于考慮學(xué)具的制作，學(xué)生的操作難度比較大，還是選擇了老師在黑板上用學(xué)具實驗和電腦模擬實驗，學(xué)生觀察，思考，交流的方式，專家老師在點(diǎn)評時指出，如果這個環(huán)節(jié)能由學(xué)生自主來操作，得出結(jié)論，將是一個很好的突破。我會在后面再上這節(jié)課時，進(jìn)行改進(jìn)，克服學(xué)具制作的困難，再設(shè)計一個更加完美的實驗活動。圓的定義到初中只要一個簡單的定義的就可以解決，我們何必要大費(fèi)周章的在小學(xué)設(shè)計這樣的實驗教學(xué)呢？其實初中階段內(nèi)容多，時間緊，這些簡單的定義只能一帶而過，而這種情況下，空間觀