解決“場強(qiáng)”問題的方法

解決“場強(qiáng)”問題的方法(Solvethemethodoffieldstrength史獻(xiàn)計(jì)(南京沿江工業(yè)開發(fā)區(qū)教研室江蘇南京201144)電場學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一是對于公式E=-、E=kQ、E="理解與應(yīng)用?，F(xiàn)通過具體的案例分析幫助學(xué)生在解決電場強(qiáng)度問題的過程中學(xué)會(huì)處理“場強(qiáng)”的思維方法。1.疊加法電場強(qiáng)度是矢量，矢量的運(yùn)算滿足疊加原理，即空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于所有場源在該點(diǎn)形成的場強(qiáng)的矢量和，滿足矢量運(yùn)算法則。通過疊加法可以解決一些較為困難的問題。例1如圖1所示，有一帶電量為+q的點(diǎn)電荷與均勻帶電圓形薄板相距為2d,電荷到帶電薄板的垂線通過板的圓心。若圖中。點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為零，求圖中》點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小。析與解：點(diǎn)電荷+q在a點(diǎn)場強(qiáng)為鳥、薄板在a點(diǎn)場強(qiáng)為E2，a點(diǎn)場強(qiáng)為零是E1與E2疊加引起的，且兩者在此處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大小相等，方向相反，大小E1=E2=斜。根據(jù)對稱性可知，均勻薄板在b處所形成的電場強(qiáng)度大小也為E，方向水平向左；點(diǎn)電荷在b點(diǎn)場強(qiáng)E=kq，2 3 (3d)2方向水平向左。根據(jù)疊加原理可知，b點(diǎn)場Eb=E2+E3 10kq2.等效法等效替代法是指在效果一致的前提下，從某個(gè)事實(shí)A出發(fā)，用另外的事實(shí)B來代替，必要時(shí)再由B到C，……，直至實(shí)現(xiàn)所給問題的條件，從而建立與之相對應(yīng)的聯(lián)系，從而運(yùn)用有關(guān)規(guī)律解決問題。例2如圖2(a)所示，距無限大金屬板正前方/處，有正點(diǎn)電荷q，金屬板接地。求距金屬板d處a點(diǎn)的場強(qiáng)E(點(diǎn)電荷q與a連線垂直于金屬板)。析與解:a點(diǎn)場強(qiáng)E是點(diǎn)電荷q與帶電金屬板產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。畫出點(diǎn)電荷與平行金屬板間的電場線并分析其的疏密程度及彎曲特征，會(huì)發(fā)現(xiàn)其形狀與等量異種點(diǎn)電荷電場中的電場線分布相似，金屬板位于連線中垂線上，其電勢為零，設(shè)想金屬板左側(cè)與+q對稱處放點(diǎn)電荷-q，其效果與+q及金屬板間的電場效果相同。因此，在+q左側(cè)對稱地用q等效替代金屬板，如圖2(b)所示。所以，a點(diǎn)電場強(qiáng)度Ea=kq",,+,］。對稱法對稱法是利用帶電體產(chǎn)生的電場具有對稱性的特點(diǎn)來求電場強(qiáng)度的方法。通常有中心對稱、軸對稱等。

例3如圖3所示，在一個(gè)接地均勻?qū)w球的右側(cè)P點(diǎn)距球心的距離為』，球半徑為R。在P點(diǎn)放置一個(gè)電荷量為+q的點(diǎn)電荷。試求導(dǎo)體球感應(yīng)電荷在P點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小。圖3kQkq意點(diǎn)引起的電勢疊加之后也為零，即: % =.巧 ，其析與解：如圖3所示，感應(yīng)電荷在球上分布不均勻，靠近P一側(cè)較密，關(guān)于OP對稱，因此感應(yīng)電荷的等效分布點(diǎn)在OP連線上一點(diǎn)P。設(shè)P'距離O為‘，導(dǎo)體球接地，故球心O處電勢為零。根據(jù)電勢疊加原理可知，導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電荷量Q在O點(diǎn)引起的電勢與點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)引導(dǎo)起的電勢之和為零，即+蟲七=0，即感應(yīng)電荷量Q=-—q圖3kQkq意點(diǎn)引起的電勢疊加之后也為零，即: % =.巧 ，其中a為球面上任意一點(diǎn)與O連線和OP的夾角，具有任意性。將Q代入上式并進(jìn)行數(shù)學(xué)變換后得d2r2-R4=(2Rrd2-2R3d)cosa，由于對于任意a角，該式都成立，因此，r滿足的關(guān)根據(jù)庫侖定律可知感應(yīng)電荷與電荷q間的相互作用力F=kqQ=kdRq2。根(d—r)2 (d2—R2)2據(jù)電場強(qiáng)度定義可知感應(yīng)電荷在P點(diǎn)所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E=F=一q (d2—R2)2微元法微元法就是將研究對象分割成許多微小的單位，或從研究對象上選取某一“微元”加以分析，找出每一個(gè)微元的性質(zhì)與規(guī)律，然后通過累積求和的方式求出整體的性質(zhì)與規(guī)律。圖4例4如圖4所示，一個(gè)半徑為R的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，總量為Q。求圓環(huán)在其軸線上與環(huán)心O距離為r處的P產(chǎn)生的場強(qiáng)。圖4析與解：圓環(huán)上的每一部分電荷在P點(diǎn)都產(chǎn)生電場，整個(gè)圓環(huán)在P所建立電場的場強(qiáng)等于各部分電荷所產(chǎn)生場強(qiáng)的疊加。取圓環(huán)上的一微元△"其所帶電荷量△q=Q△"在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)△E=2兀RkAq kQAl— or2+R2 2兀R(r2+R2)整個(gè)圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為所有微元產(chǎn)生的場強(qiáng)矢量和。根據(jù)對稱性原理可，所有微元在P點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)沿垂直于軸線方向的分量相互抵消，所以整個(gè)圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生場中各微元產(chǎn)生的場強(qiáng)沿軸線方向分量之和，即rr~rr~z~~Vr2+R2kQr■,；(r2+R2)3E=SAEcos^=S P 2兀R(r2+R2)極值法物理學(xué)中的極值問題可分為物理型和數(shù)學(xué)型兩類。物理型主要依據(jù)物理概念、定理、定

律求解。數(shù)學(xué)型則是根據(jù)物理規(guī)律列出方程后，依據(jù)數(shù)學(xué)中求極值的知識(shí)求解。例5.勻強(qiáng)電場中有a、b、c三點(diǎn)，如圖5（a）所示，在以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形中，0=30°、Zc=90°，電場方向與三角形所在平面平行.已知a、b和c點(diǎn)的電勢分別為（2-三）V、（2+打）V和2V.該三角形的外接圓上最低、最高電勢分別為（—）（2-云）V、（2+三）VTOC\o"1-5"\h\z0、4V（2-^3）V、（2+^-3）V\o"CurrentDocument"3 30、\；V析與解：如圖5（b）所示，取ab的中點(diǎn)O（即外接圓圓心），則該點(diǎn)電勢為2V，則Oc為等勢線。作Oc的垂線MN，MN為電場線，方向?yàn)镸N方向。U°p=Uy山V。因?yàn)閁ON:UOP=2：G，則UON=2V，N點(diǎn)電勢％=0，為最小電勢點(diǎn)，同現(xiàn)M點(diǎn)電勢為為4V，為最大電勢點(diǎn)。選項(xiàng)B正確。補(bǔ)償法電場強(qiáng)度問題有時(shí)所給出的條件而建立的模型不是一個(gè)完整的標(biāo)準(zhǔn)模型，這時(shí)就需要給原來的問題補(bǔ)充一些條件，由這些補(bǔ)充條件建立另一個(gè)容易求解的模型。通過這種“補(bǔ)償”的方法將一個(gè)不完整的模型轉(zhuǎn)換為一個(gè)完整的標(biāo)準(zhǔn)模型。例6如圖6（a）所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠(yuǎn)的距離，設(shè)分開后的球表面仍均勻帶電。試比較A，點(diǎn)與A〃點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小。條件。析與解：如圖6（b）所示，球冠上正電荷在A'點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為E1、球?qū)用嫔险姾稍贏〃點(diǎn)產(chǎn)生電場強(qiáng)度為與。球冠與球?qū)觾刹糠植灰?guī)則帶電體產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，無法用所學(xué)公式直接進(jìn)行計(jì)算或比較。于是，需要通過補(bǔ)償創(chuàng)造出一個(gè)可以運(yùn)用已知規(guī)律進(jìn)行比較的條件。(a)(b)在球?qū)颖砻娓街粋€(gè)與原來完全相同的帶正電半球體，如圖6（c）所示，顯然由疊加原理可知，在A〃點(diǎn)產(chǎn)生電場強(qiáng)度E3>E2。若將球冠與補(bǔ)償后的球缺組成一個(gè)完整球體，則則均勻帶電球體內(nèi)電場強(qiáng)度處處為零可知，E1與E3大小相等，方向相反。由此可以判斷，球冠面電荷在A'點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為E1大于球?qū)用骐姾稍贏〃點(diǎn)產(chǎn)生電場強(qiáng)度(a)(b)類比法類比是以比較為基礎(chǔ)的，通過對兩個(gè)（類）不同對象進(jìn)行比較，找出它們之間的相似點(diǎn)或相同點(diǎn)，然后以此為根據(jù)，把其中某一（類）對象：的有關(guān)知識(shí)或結(jié)論推移到另一個(gè)（類）對象中去。:；例7如圖7（a）所示，ab是半徑為r的圓’.、的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度為E。在圓周平面內(nèi)，將一電荷量為q的帶正電小球從

。點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出，拋出方向不同時(shí)，小球會(huì)經(jīng)過圓周上不同的點(diǎn)。在這些點(diǎn)中，到達(dá)c點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大。已知Zcab=30°。若不計(jì)重力和空氣阻力，試求：⑴電場的方向與弦ab間的夾角。⑵若小球在a點(diǎn)時(shí)初速度方向與電場方向垂直，則小球恰好落在c點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為多大。析與解：⑴在勻強(qiáng)電場中，僅電場力做功，不計(jì)重力，則電勢能與動(dòng)能之和保持不變。在兩個(gè)等勢面間電勢差最大，則動(dòng)能變化量最大。因此，小球到達(dá)c點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大，則ac間電勢最大。根據(jù)重力場類比，可知c點(diǎn)為其最低點(diǎn)，電場方向與等勢面垂直，由“重力”豎直向下可以類比，出電場方向沿oc方向，與弦ac夾角為30°。⑵若小球在a點(diǎn)初速度方向與電場方向垂直，則小球?qū)⒆鲱惼綊佭\(yùn)動(dòng)，由圖7(b)可, -一一一\3, -一一一