勻質(zhì)圓輪受力偶或水平力作用在水平地面上作純滾動(dòng)時(shí)的靜摩擦力方向

勻質(zhì)圓輪受力偶或水平力作用在水平地面上作純滾動(dòng)時(shí)的靜摩擦力方向

在研究動(dòng)力學(xué)時(shí)，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)輪在地面上完全滾動(dòng)。從理論上看，圓形車輪與接觸面之間的靜摩擦力方向相反，與車輪和地面之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。然而，在實(shí)踐中，很難直接確定摩擦的方向。因?yàn)槟Σ恋姆较虿粌H與壓力的性質(zhì)和作用的位置有關(guān)，還受許多因素的影響，如圓形車輪的幾何特性。然而，通用理論力學(xué)教材中沒有這方面的評(píng)估方法。許多學(xué)生不知道什么時(shí)候會(huì)發(fā)生靜摩摩擦，什么時(shí)候會(huì)確定，如果是這樣，你應(yīng)該如何確定它。本文將探討在水平地面上作純滾動(dòng)的圓輪在受力偶或水平力作用時(shí),靜摩擦力方向的確定方法,并由此延伸到在斜面上作純滾動(dòng)的情形.1力偶作用的fs-ls移動(dòng)無動(dòng)力偶矩分布一質(zhì)量為m,半徑為R的勻質(zhì)圓輪受矩為M的力偶作用在水平地面上作純滾動(dòng),質(zhì)心為C,與地面的接觸點(diǎn)為P,如圖1所示.下面來判定靜摩擦力Fs的方向.如果輪與地面光滑接觸,無摩擦力,則勻質(zhì)輪將在原地繞質(zhì)心C以角加速度α與M同轉(zhuǎn)向加速轉(zhuǎn)動(dòng),不能平移.現(xiàn)輪作純滾動(dòng),則質(zhì)心一定有平移的加速度aC,且每瞬時(shí)與地面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心點(diǎn),由基點(diǎn)法,有式中,aP為速度瞬心點(diǎn)P的加速度,為質(zhì)心C相對(duì)速度瞬心點(diǎn)P的法向加速度,為質(zhì)心C相對(duì)速度瞬心點(diǎn)P的切向加速度.aC與同向,方向水平向右.那么是什么力的存在產(chǎn)生了—個(gè)平移的加速度?這就是輪與地面間的靜摩擦力Fs,起主動(dòng)力作用,所以與aC同向,方向也水平向右,如圖1.由相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理,摩擦力Fs對(duì)質(zhì)心C的力矩與主動(dòng)外力偶矩M的轉(zhuǎn)向相反,因而又起到了阻礙圓輪轉(zhuǎn)動(dòng)的作用.當(dāng)然,也可以事先任意假定Fs的方向,列寫平面運(yùn)動(dòng)微分方程求出Fs,根據(jù)所得結(jié)果的正負(fù)確定其方向,即如果求出的是正值則說明與假定方向相同,反之與假定方向相反.通過上述討論,可以知道只受力偶作用作純滾動(dòng)的圓輪,其摩擦力的方向僅僅取決于主動(dòng)外力偶矩的轉(zhuǎn)向,判定依據(jù)為摩擦力在純滾動(dòng)中的兩個(gè)相對(duì)作用:其一,相對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生一個(gè)與主動(dòng)外力偶矩反向的力矩從而阻礙輪子的轉(zhuǎn)動(dòng);其二,為輪的平移部分提供主動(dòng)力.自行車后輪及汽車的驅(qū)動(dòng)輪均屬此類情況.實(shí)際上無論何種受力狀態(tài)的純滾動(dòng)輪,其摩擦力的作用總是如此相對(duì)的.2靜摩擦力fs的方向受水平力作用作純滾動(dòng)的圓輪,其靜摩擦力Fs方向的確定相對(duì)要復(fù)雜一些.以圖2所示為例,勻質(zhì)圓輪質(zhì)量為m,半徑為R,相對(duì)質(zhì)心C的慣性半徑為ρ,受水平力F作用在水平地面上作純滾動(dòng).下面用平面運(yùn)動(dòng)微分方程和動(dòng)能定理兩種方法來確定靜摩擦力Fs的方向.2.1質(zhì)心距離及運(yùn)動(dòng)方程輪的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖3所示,假設(shè)靜摩擦力Fs與主動(dòng)力F同向,以質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立圖示的坐標(biāo)系Cx軸,設(shè)力F作用線到質(zhì)心C距離為x,平面運(yùn)動(dòng)微分方程如下式中,JC為圓輪相對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,為外力對(duì)質(zhì)心C的力矩,其他符號(hào)同上.由于輪作純滾動(dòng),所以有補(bǔ)充方程聯(lián)立式(3)～式(5),得顯然,當(dāng)時(shí),Fs>0,意味著Fs的實(shí)際方向與假定方向相同,即靜摩擦力Fs與主動(dòng)力F同向;反之,2當(dāng)時(shí),Fs<0,說明與假定方向相反,即靜摩擦力Fs與主動(dòng)力F反向;臨界狀態(tài)為,此時(shí)Fs=0,無靜摩擦力.2.2表面作純滾動(dòng)力fs純滾動(dòng)圓輪的平面運(yùn)動(dòng)可選取質(zhì)心C為基點(diǎn)分解為隨同質(zhì)心C的平移和繞著質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分,而作用在圓輪上的平面任意力系向其質(zhì)心C簡(jiǎn)化通常會(huì)得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩MC(Fi),正是這個(gè)主矢和主矩分別使剛體產(chǎn)生上述的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng).輪在水平地面上作純滾動(dòng)時(shí),為理想約束系統(tǒng),靜摩擦力Fs不作功;或者認(rèn)為Fs作功,但實(shí)現(xiàn)的是輪平移動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能間的轉(zhuǎn)化,其能量一正一負(fù),大小相等,故Fs作的總功仍為零.因此,主矢作的功將轉(zhuǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)剛體平移部分動(dòng)能的增量,主矩MC(Fi)作的功將轉(zhuǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)部分動(dòng)能的增量.下面將用上述理論討論純滾動(dòng)輪靜摩擦力方向的確定.在任一瞬時(shí)平面運(yùn)動(dòng)圓輪平移部分的動(dòng)能為式中,vC為質(zhì)心C平移的速度.相對(duì)質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能為式中,ω為圓輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.假設(shè)圓輪獲得上述動(dòng)能時(shí)質(zhì)心平移的距離為s,圓輪轉(zhuǎn)過的角度為φ,則力作的功為力偶矩MC(Fi)作的功為若不考慮其他的能量損失,功與動(dòng)能間存在對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系分別代入4個(gè)參量,并考慮到輪作純滾動(dòng),有vC=Rω,s=Rφ,得結(jié)果與用平面運(yùn)動(dòng)微分方程得出的式(6)完全一致.2.3相對(duì)主動(dòng)力在fs和fsfn由上面的分析可以看出,受水平力作用在水平地面上作純滾動(dòng)的圓輪,只要圓輪的大小和相對(duì)質(zhì)心C的慣性半徑已知,水平力F的作用位置也確定,那么圓輪與地面間是否有摩擦,以及有摩擦力時(shí)摩擦力的方向均是可以確定的.以質(zhì)量分布均勻的勻質(zhì)圓輪為例,代入知:(1)當(dāng)時(shí),Fs與F同向,摩擦力起到了使圓輪加速平移和減速轉(zhuǎn)動(dòng)的雙重作用.需要注意的是,要保證圓輪作純滾動(dòng),還必須滿足Fs≤fsFN,所以只有當(dāng)也成立時(shí),該條件才有意義,否則只要主動(dòng)力F足夠大,圓輪一定會(huì)做又滾又滑的平面運(yùn)動(dòng).(2)當(dāng)時(shí),Fs與F反向,摩擦力的作用則與第1種情形完全相反,使圓輪減速平移和加速轉(zhuǎn)動(dòng).這時(shí),要保證圓輪作純滾動(dòng),要求.(3)當(dāng)時(shí),Fs=0,意味著無論輪與地面間是否為光滑接觸,只要主動(dòng)力F不為零,圓輪都會(huì)在水平面上一直作加速純滾動(dòng),即使主動(dòng)力F等于零,圓輪仍滿足慣性定律作勻速的純滾動(dòng).工程上汽車非驅(qū)動(dòng)輪的動(dòng)力學(xué)分析,就是主動(dòng)力作用在質(zhì)心C的情況,靜摩擦力與主動(dòng)力方向相反,阻礙輪的平移,但提供輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩.另外,繞有細(xì)繩的滾子或鼓輪以及某些通過柔索傳遞運(yùn)動(dòng)的鼓輪與圓輪的焊接體等,均是此類動(dòng)力學(xué)問題.3均勻干擾結(jié)構(gòu)的靜摩擦力與水平地面上作純滾輪的靜摩擦力的關(guān)系勻質(zhì)圓輪受力偶作用在水平地面上作純滾動(dòng)時(shí),其靜摩擦力的方向是確定的,只與外力偶矩的轉(zhuǎn)向有關(guān),判定依據(jù)為靜摩擦力對(duì)質(zhì)心取矩其轉(zhuǎn)向與外力偶矩的轉(zhuǎn)向相反,或與輪平移的加速度方向相同.而勻質(zhì)圓輪受水平力作用在水平地面上作純滾動(dòng)時(shí),靜摩擦力是否有,若有具體指向是什么,取決于水平力的作用位置、圓輪的半徑、圓輪相對(duì)質(zhì)心C的慣性半徑,如果上述影響因子無確定值,可在摩擦力的方位上任意假定其方向.對(duì)純滾動(dòng)輪而言,無論何種受力情況,其