2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：16 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值（原卷附答案）

第第頁(yè)獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派考向16利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1．由圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點(diǎn)：（1）由的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)的可能極值點(diǎn)；（2）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：（1）根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn)．3．求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的思路（1）若所給的閉區(qū)間不含有參數(shù)，則只需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担抑涤?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)?，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；（9）對(duì)于任意的，使得；（10）對(duì)于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．1．函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．2．函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．1．（2022·山西太原·三模（文））已知函數(shù)（1）若在時(shí)取得極小值，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若過(guò)點(diǎn)可以作出函數(shù)的兩條切線，求證：2．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（）．（1）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．3．（2022·河南鄭州·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間及其最大值與最小值．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，求的最大值．5．（2022·山東菏澤·高三期末）設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．6．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）求證：．1．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的最小值分別為，則（

）A． B． C． D．的大小關(guān)系不確定2．（2022·北京·北大附中三模）如圖矩形，沿對(duì)折使得點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)度可以用含的式子表示，那么長(zhǎng)度的最小值為（

）A．4 B．8 C． D．3．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，且對(duì)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·江西省豐城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的極大值為（

）A． B． C． D．6．（2022·廣東廣州·三模）設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，則（

）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減C．在上有極大值D．在上有極小值7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））下列結(jié)論正確的是（

）A．設(shè)函數(shù)，其中a，，當(dāng)a＝－3，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中一個(gè)極值點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（多選題）（2022·湖南·湘潭一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)只有極大值而無(wú)極小值C．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D．若當(dāng)時(shí)，，則t的最大值為211．（多選題）（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的極小值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（

）A．是的最小值點(diǎn)B．是的極大值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn)D．是的極大值點(diǎn)12．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，給出以下命題正確的是（

）A．的單調(diào)遞減區(qū)間是B．的極小值是C．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的且，恒有D．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)13．（多選題）（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若，不等式恒成立，則正數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．14．（多選題）（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．的定義域是B．若直線和的圖像有交點(diǎn)，則C．D．15．（2022·福建·福州三中高三階段練習(xí)）如果兩個(gè)函數(shù)存在零點(diǎn)，分別為，若滿足，則稱兩個(gè)函數(shù)互為“度零點(diǎn)函數(shù)”.若與互為“2度零點(diǎn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)__________.16．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若存在，使得，則稱函數(shù)與互為“n度零點(diǎn)函數(shù)”．若與互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____________．17．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值為_(kāi)_____．18．（2022·河南新鄉(xiāng)·高三期末（文））已知函數(shù)在x＝2處取得極小值，則______．19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知x＝是函數(shù)的極值點(diǎn)，則a＝________.21．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中m＞0，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，且恒成立．(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x0，函數(shù)f'(x)的極小值點(diǎn)為x1，求證：x0＞x1．22．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，（是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），求a的取值范圍．23．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．24．（2022·河南·開(kāi)封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)的最大值為m，證明：.25．（2022·全國(guó)·鄭州一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.26．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：27．（2022·山東師范大學(xué)附中高三期中）設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)任意正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小關(guān)系并證明28．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知函數(shù)，曲線在處的切線與直線垂直.(1)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)，且時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.29．（2022·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時(shí)，．1．（2022·全國(guó)·高考真題（理））當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．12．（2022·全國(guó)·高考真題（文））函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．5．（2021·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．7．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．8．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．9．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．10．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．1．【解析】（1）解：∴，∴當(dāng)時(shí)，令，得∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小值，∴（2）證明：設(shè)切點(diǎn)為，∴切線為，又切線過(guò)點(diǎn)，∴∴，（*）設(shè)則∴在單詞遞減，在單調(diào)遞增．∵過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線，∴方程（*）有兩解∴，由，得∴，即．2．【解析】（1）（1），，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)根，所以有兩個(gè)根，即與，有兩個(gè)交點(diǎn)，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，，所以，所以的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，且，，所以，所以只需證明，令，故，原不等式等價(jià)于對(duì)成立，令，，所以單調(diào)遞減，則有（1）．3．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，，，，故在點(diǎn)處的切線方程為：，即；（2）由題意得：，，故，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合要求，，令時(shí)，，，令得：或，令得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；又當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，故，，即最大值為，最小值為．4．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，當(dāng)恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意得對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故的最大值為．5．【解析】（1）解：由題意，函數(shù)，則，可得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，可得直線在x軸，y軸上的截距分別為，，所以所求三角形的面積為．（2）解：由，則，所以函數(shù)為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．即函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．6．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以在R上單調(diào)遞增，而，即0是的唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1．（2），令，則，因，則，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以當(dāng)時(shí)，成立．1．【答案】A【解析】令，則，∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立），，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立），，.所以故選：A2．【答案】D【解析】設(shè)，，，，則，則有和，代入，解得：，令和，導(dǎo)函數(shù)，即可得的最大值在時(shí)取得，此時(shí)，求得此時(shí)，故選：D.3．【答案】D【解析】∵，，∴，∵不等式對(duì)恒成立，∴對(duì)恒成立，∵函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，∴，化為：，令，則，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.∴時(shí)，函數(shù)取得極大值..∴.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.4．【答案】D【解析】解：，，若函數(shù)在上有最小值，即在先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于過(guò)的的切線的斜率即可，設(shè)切點(diǎn)是，，則切線方程是：，將代入切線方程得：，故切點(diǎn)是，切線的斜率是1，只需即可，解得，即，故選：D．5．【答案】B【解析】解：因?yàn)椋?，所以有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且由根與系數(shù)的關(guān)系得，，由題意可得，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值．故選：B．6．【答案】D【解析】由題意知：，，令，則，顯然當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增，故A，B錯(cuò)誤；在上有極小值，令，則，又，則，故在上有極小值，C錯(cuò)誤；D正確.故選：D.7．【答案】C【解析】A.因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，又，所以，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C.令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，所以或，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故正確；D.因?yàn)椋?，令，得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，又時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；故選：C8．【答案】C【解析】函數(shù)，導(dǎo)函數(shù).因?yàn)樵谏霞扔袠O大值又有極小值，所以在內(nèi)應(yīng)有兩個(gè)不同的異號(hào)實(shí)數(shù)根．，解得：，實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：C．9．【答案】D【解析】，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則等價(jià)于有兩個(gè)解，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.直線過(guò)點(diǎn)由在點(diǎn)處的切線為，顯然直線過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)（如下圖），且，，令，則，所以單調(diào)遞增，，即，故選：D.10．（多選題）【答案】CD【解析】對(duì)于A，由得：，解得，A不正確；對(duì)于B，對(duì)求導(dǎo)得：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，B不正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，作出曲線及直線，如圖，觀察圖象得當(dāng)時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，C正確；對(duì)于D，因，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以t的最大值為2，D正確.故選：CD11．（多選題）【答案】BD【解析】對(duì)A，是的極小值點(diǎn)，不一定是最小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故應(yīng)是的極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，因函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故應(yīng)是的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是的極大值點(diǎn)，故D正確.故選：BD.12．（多選題）【答案】ABCD【解析】，其導(dǎo)函數(shù)為．令，解得，，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為，，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，又故ABD正確；令，則故在上，即在上單調(diào)遞增，根據(jù)切割線的定義可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒有，即對(duì)任意的，恒有，即，故C正確；故選：ABCD．13．（多選題）【答案】AB【解析】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)，；，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴；因?yàn)?，任意，不等式恒成立，即，整理得，解得或，所以正?shù)的取值范圍為；6e與均在區(qū)間內(nèi)，與均不在區(qū)間內(nèi)；故選：AB．14．（多選題）【答案】AC【解析】A：，所以的定義域?yàn)椋蔄正確；B：，設(shè)，則，有在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，若直線與的圖像有交點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤；C：由B中的分析，，代入得，故C正確；D：由B中的分析，，代入得，故D錯(cuò)誤．故選：AC15．【答案】【解析】函數(shù)的零點(diǎn)為3，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則.，令，，；，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：16．【答案】【解析】解：由，解得，由，得，設(shè)其解為，因?yàn)榕c互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，所以，解得，又，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，∴，又，，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：17．【答案】【解析】因?yàn)?，所以．顯然，令，則，且，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，解得．故答案為：18．【答案】1或3【解析】依題意，，因在x＝2處取得極小值，則，解得m=1或m=3，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝1或m＝3時(shí)，在x＝2處均取得極小值，所以m的值為1或3.故答案為：1或319．【答案】【解析】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以在上有變號(hào)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即在上有解，轉(zhuǎn)化為在上有解.因?yàn)?，所以，即，于是，?由此可得.實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.20．【答案】1【解析】解：由f(x)＝xln(ax)＋1，得f′(x)＝ln(ax)＋x··a＝ln(ax)＋1，又x＝是f(x)的極值點(diǎn)，所以f′＝ln＋1＝0，則a＝1，所以，則，令，得x＝，且時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以經(jīng)驗(yàn)證a＝1時(shí)，x＝是函數(shù)f(x)＝xln(ax)＋1的極值點(diǎn).所以a＝1.故答案為：1.21．【解析】(1)由題設(shè)知，則，所以當(dāng)x＞1時(shí)，h'(x)＞0，則h(x)在區(qū)間(1，＋∞)是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'(x)＜0，則h(x)在區(qū)間(0，1)是減函數(shù)，所以h(x)min＝h（1）＝，解得，所以m的取值范圍為(2)令則＝恒成立，所以t(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增．又，所以存在，使得t(x2)＝0，當(dāng)x∈(0，x2)時(shí)，t'(x)＜0，即f''(x)＜0，則f'(x)在(0，x2)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，t'(x)＞0，即f''(x)＞0，則f'(x)在(x2，＋∞)單調(diào)遞增；所以f'(x)在x＝x2處取得極小值．即x1＝x2，所以t(x1)＝0，即，所以，令，則s(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增；所以s(x1)＜0因?yàn)閒(x)的零點(diǎn)為x0，則，即s(x0)＝0所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x122．【解析】(1)解：，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為．(2)，，即，即，設(shè)，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，得在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故．23．【解析】(1)解：，，所以，即又．又點(diǎn)在切線上，，所以，又，所以，．(2)解：，在，上恒成立，設(shè)，則在，上恒成立，，又，而當(dāng)時(shí)．當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；則①，又與①矛盾，不符題意，故舍去．綜上所述，的取值范圍為．24．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，.∴，令，得.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.故函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；(2)由，令，得.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.∴.令，則.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.∴，即.25．【解析】(1)依題意知，，令得，當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)依題意，要證，①當(dāng)時(shí)，，，故原不等式成立，②當(dāng)時(shí)，要證：，即證：，令，則，，∴在單調(diào)遞減，∴，∴在單調(diào)遞減，∴，即，故原不等式成立.26．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因?yàn)?，所以的取值范圍為?2)因?yàn)椋?，即．令，由題意可知，存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，，使得．

由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．不妨設(shè)，則．設(shè)，

則，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即在區(qū)間上恒成立．因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)?，所以?/p>

又因?yàn)椋?，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即．27．【解析】(1)時(shí)，，，令得；令得或故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為，(2)結(jié)論：，證明如下：設(shè)，由均為正數(shù)且得設(shè)，則①當(dāng)時(shí)，由得即故單調(diào)遞減，從而而，此時(shí)成立②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最小值為此時(shí)只需證，化簡(jiǎn)后即證設(shè)，故單調(diào)遞增，從而有，即證綜上：不等式得證．28．【解析】(1)∵曲線在處的切線與直線垂直，則，即∴，的定義域?yàn)閯t當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，(2)當(dāng)，且時(shí)，，即構(gòu)建，則當(dāng)，由當(dāng)時(shí)恒成立在上單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則∴當(dāng)，且時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增且∴當(dāng)時(shí)，，可得，與題設(shè)矛盾.當(dāng)，則在上單調(diào)遞增且∴當(dāng)時(shí)，，可得，與題設(shè)矛盾.綜上所述：的取值范圍為.29．【解析】(1)，，即切線.，，則切線方程為：.(2)，恒成立等價(jià)于，恒成立.設(shè)，，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，所以，即.(3)，等價(jià)于，.設(shè)，，，設(shè)，，，所以在為增函數(shù)，即，所以，即在為增函數(shù)，即，即證：.1．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.2．【答案】D【解析】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D3．【答案】D【解析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D4．【答案】【解析】解：，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∵,∴函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對(duì)稱變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的倍得到，如圖所示：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.5．【答案】1【解析】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋喈?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.6．【解析】(1)的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.(2)由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程