2023-2024學(xué)年江西省部分學(xué)校高二學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2023-2024學(xué)年江西省部分學(xué)校高二學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體【答案】D【分析】由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，判斷各選項(xiàng)是否正確.【詳解】選項(xiàng)A，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，其余各面的邊延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面共頂點(diǎn)的角的角度之和是時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長(zhǎng)方形，符合長(zhǎng)方體的定義，故D正確．故選：D2．如圖所示的正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】由正方形的邊長(zhǎng)為，可得，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，平面圖形中，可得，如圖所示，所以原圖形的面積為.故答案為：C.

3．手工課上某同學(xué)用六個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形卡片拼接成一個(gè)幾何圖形，如圖所示，其中為對(duì)角線，該幾何圖形恰好能折疊組裝成一個(gè)正方體卡片紙盒，則在正方體卡片紙盒中，下列各選項(xiàng)正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】先還原出正方體，然后利用正方體中的位置關(guān)系判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由題意可得正方體卡片紙盒如圖所示，則易知，，A正確，B錯(cuò)誤，連接，則是等邊三角形，于是與，的夾角均為，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A

4．設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，則【答案】D【分析】ABC可舉出反例，D可利用線面平行的判定定理證得.【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，滿足，，但不平行，A錯(cuò)誤；

B錯(cuò)誤，如圖2，滿足，，，但不平行，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，如圖3，滿足，，，但不平行，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若，由線面平行的判斷定理可得，D正確.故選：D5．在正四面體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（

）

A．與平行，平面平面B．與異面，平面平面C．與平行，與平面平行D．與異面，與平面平行【答案】B【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】與：平面，平面，，所以與異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.與：由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于，所以與是異面直線，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.連接，由于是等邊三角形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面，所以B選項(xiàng)正確.設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，所以，所以，所以平面也即平面，平面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B

6．如圖，在長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)．則與的位置關(guān)系為（

）

A．平行 B．異面C．垂直 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，利用勾股定理及三垂線定理即可判定.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)及已知，易知：平面，所以為在平面內(nèi)的投影，由題意得，，所以，所以，由三垂線定理知.故選：C7．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，且該圓錐的體積為，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，用表示出圓錐底面圓半徑及高，再利用錐體的體積公式求解作答.【詳解】令圓錐底面圓半徑為，則，解得，從而圓錐的高，因此圓錐的體積，解得.故選：C8．?dāng)€尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，則該正四棱錐的底面積與側(cè)面積的比為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由側(cè)面為等邊三角形，結(jié)合面積公式求解即可.【詳解】設(shè)底面棱長(zhǎng)為，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，所以側(cè)面為等邊三角形，則該正四棱錐的底面積與側(cè)面積的比為.故選：B二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面D．如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等【答案】ABC【分析】根據(jù)平面的確定情況及點(diǎn)線面的位置關(guān)系直接判斷即可得到答案.【詳解】由空間中不共線的三點(diǎn)可以確定唯一一個(gè)平面，可知A正確；由平行公理可得平行于同一條直線的兩條直線平行，可知B正確；由兩條相互平行的直線能確定一個(gè)平面，可知C選項(xiàng)正確;如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可知D錯(cuò)誤；故選:ABC．10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則（

）

A．，，，四點(diǎn)共面B．C．直線平面D．三棱錐的體積為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)四點(diǎn)所在線是否是異面直線可判斷四點(diǎn)是否共面；對(duì)于B，根據(jù)垂直的傳遞性判斷；對(duì)于C，根據(jù)線線平行證明線面平行；對(duì)于D，根據(jù)等體積法先對(duì)所求三棱錐進(jìn)行簡(jiǎn)化.【詳解】易知與為異面直線，所以，，，不可能四點(diǎn)共面，故A錯(cuò)誤；由，而，所以，故B正確；由，平面，平面，所以平面，故C正確；由平面，所以，故D正確.故選：BCD.11．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且，則以下說法正確的是（

）

A．平面 B．與平面所成角為C．面 D．點(diǎn)到面的距離為2【答案】ABC【分析】利用線線垂直可判定A項(xiàng)，利用線面角定義可判定B項(xiàng)，利用線線平行可判定C項(xiàng)，利用線面垂直可判定D項(xiàng).【詳解】由于四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，故，又面，面，∴面，故A正確；

連接PO，由A可知：與平面所成角為，由條件可得，故B正確；易知面，面，即面，故C正確；由A可知點(diǎn)到面的距離為，而，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】CD【分析】根據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積公式，結(jié)合圓柱、圓錐、球的體積公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閳A柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，則圓柱的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；圓錐的母線長(zhǎng)，側(cè)面積為，B錯(cuò)誤；球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，C正確；，，，D正確．故選：CD．三、填空題13．已知正三棱錐P﹣ABC，底面ABC的中心為點(diǎn)O，給出下列結(jié)論：①PO⊥底面ABC；②棱長(zhǎng)都相等；③側(cè)面是全等的等腰三角形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③【分析】由正三棱錐性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】解：由正三棱錐性質(zhì)可得：PO⊥底面ABC，①對(duì)；側(cè)棱棱長(zhǎng)都相等，底面邊長(zhǎng)與棱棱長(zhǎng)不一定相等，②錯(cuò)；側(cè)面是全等的等腰三角形，③對(duì)，故答案為：①③．14．已知一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則它的直觀圖的面積為．【答案】【分析】根據(jù)直觀圖面積是原圖形面積的倍即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，原圖形面積為，又直觀圖面積是原圖形面積的倍，所以直觀圖的面積為.故答案為：15．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于

【答案】/【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)平行關(guān)系和異面直線所成角定義可知所求角為，由長(zhǎng)度關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，

，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角），，，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角為.故答案為：.16．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”（如圖所示），其中底面，，，，則該“陽馬”的外接球的表面積為．

【答案】【分析】以為棱作長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為外接球的直徑，從而求出外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】如圖，以為棱作長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為該“陽馬”的外接球的直徑，設(shè)半徑為，則，所以，所以該“陽馬”的外接球的表面積為.故答案為：.

四、解答題17．如圖，AB是圓柱的底面直徑，AB＝2，PA是圓柱的母線且PA＝2，點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn).(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；(2)若AC＝1，D是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段PA上，求CE＋ED的最小值.【答案】(1)圓柱的側(cè)面積為，體積為(2)【分析】（1）根據(jù)圓柱的側(cè)面積和體積公式即可求解；（2）將CE和ED轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面中，利用兩點(diǎn)間線段最短即可求得最小值.【詳解】（1）圓柱的底面半徑r＝1，高h(yuǎn)＝2，圓柱的側(cè)面積.圓柱的體積.（2）將△PAC繞著PA旋轉(zhuǎn)到使其與平面PAB共面，且在AB的反向延長(zhǎng)線上.∵，，，，∴在三角形中，由余弦定理得，∴CE＋ED的最小值等于.18．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)

(1)求AE的長(zhǎng)；(2)求EF與CG所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在直角中，利用勾股定理，即可求解；（2）連接，證得，把異面直線與所成的角轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】（1）解：在正方體中，可得，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，在直角中，可得.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，可得，再連接，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，可得，所以，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，設(shè)，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得在，所以異面直線與所成的角的余弦值為

19．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點(diǎn)．求證：平面．

【答案】證明見解析【分析】連接交于點(diǎn)，接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證.【詳解】連接交于點(diǎn)，接，∵底面是菱形，為中點(diǎn)，又∵是的中點(diǎn)，，面，平面，平面

20．如圖，在斜三棱柱中，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由三角形中位線可得∥，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）由題意可得平面，進(jìn)而結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明.【詳解】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，如圖，

在斜三棱柱中，四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則∥，且平面，平面，∥平面.（2）因?yàn)?，則四邊形是菱形，則，又因?yàn)?，，可知平面，且平面，所以平面平面?1．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，是的中心，底面，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接，由三角形中位線定理可得，再由直線與平面的判定定理可判定平面；（2）取中點(diǎn)，連接，可得，且,易得平面，再由棱錐體積公式得解.【詳解】（1）證明：連接，分別是，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面.

（2）取中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，為的中位線，則，且，又平面，平面，所以三棱錐的體積為.22．如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為，，.

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積；(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.【答案】(1)(2)外接球的表面積為，內(nèi)切球的體積為【分析】（1）求出三棱柱的體積，得到三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而去除圓柱