2021年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)綜合訓(xùn)練（有答案）

2021年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)綜合訓(xùn)練

班級(jí)姓名

選擇題（共10小題）

1.有3塊積木，每一塊的各面都涂上不同的顏色，3塊的涂法完全相同，現(xiàn)把

它們擺放成不同的位置（如圖），請(qǐng)你根據(jù)圖形判斷涂成綠色一面的對(duì)面的顏

D.黑

2.如圖數(shù)軸的4、B、。三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a、b、c.若引=3,%-c|

=5,且原點(diǎn)。與力、5的距離分別為4、1,則關(guān)于。的位置，下列敘述何者

正確？（）

A.在4的左邊B.介于/、6之間

C.介于3、。之間D.在C的右邊

3.已知有9張卡片，分別寫(xiě)有1到9這九個(gè)數(shù)字，將它們背面朝上洗勻后，任

’4x>3（x+l）

意抽出一張，記卡片上的數(shù)字為a,則使關(guān)于x的不等式組x-1/有解

2x-^（a

的概率為（）

A.2B.1C.1D.§

9399

4.若實(shí)數(shù)aWA且a,6滿(mǎn)足3-8a+5=0,8-865=0,則代數(shù)式0戶(hù)工的

a-lb-l

值為（）

A.-20B.2C.2或-20D.2或20

5.對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)〃，拋物線y=*-學(xué)匕矛+丁。與x軸交于4,B,,

n（n+l）n（n+l）

以⑷表示這兩點(diǎn)間的距離,則川+|4㈤+…+|心加』的值是（）

A2017B2016c2017D2018

,2016'2017'2018'2017

6.如圖，從歐各頂點(diǎn)作平行線/〃〃座〃死；各與其對(duì)邊或其延長(zhǎng)線相交于

D,E,F.若△力比'的面積為1,則△頌的面積為（）

C.5D.2

2

7.半徑為2.5的圓。中，直徑48的不同側(cè)有定點(diǎn)。和動(dòng)點(diǎn)P,已知BC：0=4：

3,點(diǎn)尸在弧16上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作〃的垂線，與分的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)0,則

制的最大值為（）

A.25B.20C.西D.1

4332

8.如圖，二次函數(shù)尸af+6x+c（aWO）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）且與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)分別為X\,x2,其中-1<X2<2,下列結(jié)論：4a+2Zr+-c<0,

2a+b<0,Z?2+8a>4ac,a<-1,其中結(jié)論正確的有（

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.直線y=0x（p是不等于0的整數(shù)）與直線y=x+10的交點(diǎn)恰好是整點(diǎn)（橫坐

標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)），那么滿(mǎn)足條件的直線有（）

A.6條B.7條C.8條D.無(wú)數(shù)條

10.如圖，在菱形眼力中，AB=BD.點(diǎn)昆少分別在力隊(duì)49上，且4￡=加.連

接BF與膜相交于點(diǎn)G,連接CG與8〃相交于點(diǎn)H.下列結(jié)論：

①△力電△盛②S四邊以酒=返第；③若AF=2DF,則比-6少.

4

其中正確的結(jié)論（)

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

二.填空題（共8小題）

11.觀察下列關(guān)于x的單項(xiàng)式，探究其規(guī)律：x,3*,57,7總9/,11/,-

按照上述規(guī)律，第2019個(gè)單項(xiàng)式是.

⑵12靖1勺/宇2、+/（彳北2宇3、+（J可？2？3芍4）、+.“+（,而1怎2+…項(xiàng)48項(xiàng)49、）=

13.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)R的坐標(biāo)為（1,0）,將線段仍按照逆時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為例的2倍，得到線段加；又將線段如

按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP、的2倍，得到線段OP*如此下去，

得到線段砒，OP、，…,祀（〃為正整數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

14.已知心是關(guān)于t的二次函數(shù)6=-3/+6Z+/■的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，且x=10%,y=10tz＞那么了與x間的函數(shù)關(guān)系式為

15.如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，40%的外接圓與y軸交于4（0,我）,

40cB=60°,/COB=45°,則OC=.

16.如圖所示：兩個(gè)同心圓，半徑分別是2遍和砥，矩形力坑刀邊46,切分別

為兩圓的弦，當(dāng)矩形/靦面積取最大值時(shí)，矩形⑦的周長(zhǎng)是

17.直線［：9=江5代12(AWO),當(dāng)A變化時(shí)，原點(diǎn)到這條直線的距離的最大

值為.

18.將108個(gè)蘋(píng)果放到一些盒子中，盒子有三種規(guī)格：一種可以裝10個(gè)蘋(píng)果，

一種可以裝9個(gè)蘋(píng)果，一種可以裝6個(gè)蘋(píng)果，要求每種規(guī)格都要有且每個(gè)盒

子均恰好裝滿(mǎn)，則不同的裝法總數(shù)為.

三.解答題(共6小題)

19.先化簡(jiǎn)分式：(a-3a+4)+三2?空也，再?gòu)?3、遙-3、2、-2中選一個(gè)

a+3a+3a+2

你喜歡的數(shù)作為a的值代入求值.

20.已知關(guān)于x的方程|V+2px-3/+5|-q=0,其中0、q都是實(shí)數(shù).

(1)若q=0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根%及，且-L4=工，求實(shí)數(shù)。的

X1x27

值.

(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為、胸、吊，且」_」上=0,求實(shí)數(shù)0和

X1x2x3

q的值.

21.如圖，在△/比'中，/"1仁60°,。是AB上一點(diǎn),AC=BD,尸是切中點(diǎn).求

證：AP=^BC.

2

22.如圖，四邊形/式》內(nèi)接于。0,四是。。的直徑，〃'和劭相交于點(diǎn)反且

DC=CEXCA.

(1)求證：BC=CD

(2)分別延長(zhǎng)四，加交于點(diǎn)八若PB=OB,CD=2e求。。的半徑.

D

23.已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（11,0）、

B（0,6）,點(diǎn)尸為6。邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)點(diǎn)B、。重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)0、P

折疊該紙片，得點(diǎn)夕和折痕OR沒(méi)BP=t.

（1）如圖1,當(dāng)N優(yōu)歸=30°時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）如圖2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸再次折疊紙片，使點(diǎn)。落在直線加'上，得點(diǎn)C和

折痕網(wǎng),若AQ=m,試用含有Z的式子表示加；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在邊力上時(shí)如圖3,求點(diǎn)夕的坐標(biāo)

（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

例如點(diǎn)（1,1）,（-2,-2）,（V2，&），…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然“夢(mèng)

之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè).

（1）若點(diǎn)尸（2,m）是反比例函數(shù)尸且（〃為常數(shù)，〃W0）的圖象上的“夢(mèng)

X

之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

（2）函數(shù)尸34x+s-1（￡s為常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，

請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若二次函數(shù)尸（a,力是常數(shù)，a>0）的圖象上存在兩個(gè)“夢(mèng)

之點(diǎn)”力（及,由），8（吊，及），且滿(mǎn)足-2V*<2,\xx-x2\=2,令t=6-

2加里，試求Z的取值范圍.

48

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.有3塊積木，每一塊的各面都涂上不同的顏色，3塊的涂法完全相同，現(xiàn)把

它們擺放成不同的位置（如圖），請(qǐng)你根據(jù)圖形判斷涂成綠色一面的對(duì)面的顏

D.黑

【分析】先判斷出共有6種顏色，再根據(jù)與白相鄰的顏色有黑、綠、黃、紅

判斷出白的對(duì)面是藍(lán)，與綠相鄰的有白、黑、藍(lán)、紅判斷出綠的對(duì)面是黃,

與紅相鄰的有綠、藍(lán)、黃、白判斷出紅的對(duì)面是黑，從而得解.

【解答】解：由圖可知，共有黑、綠、白、紅、藍(lán)、黃六種顏色，

與白相鄰的顏色有黑、綠、黃、紅，

所以，白的對(duì)面是藍(lán)，

與綠相鄰的有白、黑、藍(lán)、紅，

所以，綠的對(duì)面是黃，

與紅相鄰的有綠、藍(lán)、黃、白，

所以，紅的對(duì)面是黑，

綜上所述，涂成綠色一面的對(duì)面的顏色是黃.

故選：C.

2.如圖數(shù)軸的/、B、。三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a、b、c.若\b-c\

=5,且原點(diǎn)。與/、6的距離分別為4、1,則關(guān)于。的位置，下列敘述何者

正確？（）

A.在4的左邊B.介于46之間

C.介于反C之間D.在C的右邊

【分析】由4、6、C三點(diǎn)表示的數(shù)之間的關(guān)系結(jié)合三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置即可

得出，=齊3,。=加5,再根據(jù)原點(diǎn)。與/、8的距離分別為4、1,即可得出a

=±4、6=±1,結(jié)合a、b、c間的關(guān)系即可求出a、b、c的值，由此即可得

出結(jié)論.

【解答】解：：a-引=3,\b-c\=5,

??b--3,c—~ZT^5,

???原點(diǎn)。與4、8的距離分別為4、1,

.'.a=±4,b—±l,

b=a+3,

a--4,b--1,

Vc=Z?+5,

c=4.

...點(diǎn)。介于6、。點(diǎn)之間.

故選：C.

3.已知有9張卡片，分別寫(xiě)有1到9這九個(gè)數(shù)字，將它們背面朝上洗勻后，任

’4x>3(x+l)

意抽出一張，記卡片上的數(shù)字為則使關(guān)于的不等式組有解

a,x2x號(hào)x-1V7

的概率為()

A.2B.1c.AD.§

9399

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情

況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.

’4x〉3(x+l)

【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于X的不等式組x-lj有解，

2x號(hào)<a

'x>3

所以得出a>5,

因?yàn)閍取W9的整數(shù),

可得a的可能值為6,7,8,9,共4種可能性,

’4x>3(x+l)

所以使關(guān)于x的不等式組x-1/有解的概率為且，

2x-JyL<a9

故選：C.

4.若實(shí)數(shù)aWA且a,6滿(mǎn)足4-8a+5=0,N-8加5=0,則代數(shù)式Rjzl的

a-lb-l

值為()

A.-20B.2C.2或-20D.2或20

【分析】由于實(shí)數(shù)a#b,且a,力滿(mǎn)足a-8a+5=0,/-845=0,則a,b

可看著方程f-8x+5=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得升6=8,ab=3,然

后把…+a-l通分后變形得到(b[l)：+(a22,再利用整體代入的方法計(jì)算.

a-1b-1(a-l)(b-l)

【解答】解：:a,8滿(mǎn)足，-8a+5=0,6?-8卅5=0,

...a,?？煽粗匠蘓-8戶(hù)5=0的兩根，

.?.a+6=8,ab=3,

b~~l+&-1=(b-1)：

a-lb-1(a-1)(b-l)

=(a+b)2-2ab~~2(a+b)+2

ab-(a+b)+l

2

=8-2X5-2X8+2

5-8+1

=-20.

故選：A.

5.對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)77,拋物線y=V-y+1~+-,1、-與x軸交于4,B〃

n(n+l)n(n+l)

以〃表示這兩點(diǎn)間的距離，則|4川+|也因+…+|4仇7&M的值是()

A2017B.2016.C2017口2018

一201620172018-2017

【分析】y=y-2n+l>1(x-A)(X--J」)，可求拋物線與X軸

n(n+l)n(n+l)nn+1

的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，所以48|=工-」_,代入即可求解;

nn+1

【解答】解：y=x-2n+1—I—=(x-工)(x-，)，

n(n+l)n(n+l)nn+1

：.A?(1,0),B?C-L.,0),

nn+1

|/聞=上-工

nn+1

|A\BX|+1A2RI+???+1A2onB2a\71=.11+__A+__A+'"+----=1--1—

122334201720182018

=2017：

2018'

故選：C.

6.如圖，從各頂點(diǎn)作平行線/〃〃龍〃比；各與其對(duì)邊或其延長(zhǎng)線相交于

D,E,F.若△/6C的面積為1,則△叱的面積為（）

A.3B.V3C.AD.2

2

【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等得到：△/龐和△/切在底邊/〃上的

高相等，ZUM和△4/在底邊上的高相等，△應(yīng)F和△龍C在底邊座上

的高相等，所以由三角形的面積公式和圖形間的面積的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明即

可.

【解答】證明：'：AD//BE,AD//FC,FC//BE,

.?.△4應(yīng)和△?!初在底邊4〃上的高相等，△/1加和△4%在底邊4。上的高相

等，△頌和△應(yīng)1。在底邊應(yīng)1上的高相等，

=

??>$A.WS/\MK，SGB*=S/\BK'，SHA*尸S4HKF-5k筋T_S&M；E=Sx/W

??5kW=5A.W/-+Sl\AEF—5A,|?+Sti.ADC^S^AI)C=2

即S△班F=2S&MC.

??5AZB/'=2i

故選：D.

7.半徑為2.5的圓。中，直徑的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,已知BQ。=4：

3,點(diǎn)尸在弧力8上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。作”的垂線，與處的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,則

S的最大值為（）

TB.ft*

【分析】由勾股定理可求60,力。的值，通過(guò)證明可得至0,

PCCQ

可得攵=9pc，當(dāng)尸。是直徑時(shí)，8的最大值=名義5=歿.

333

【解答】解：???”是直徑，

：.AB=5,ZACB=90°,

:.ABt=Adl+se,且8a。=4：3,

:.BC=4,/O=3,

,.?/力=/尺/ACB=/pcgg0°,

:、XACBs^PCQ,

???-A-Czz-C-B-,

PCCQ

-弋PC，

當(dāng)尸。最大時(shí)，。有最大值,

，尸。是直徑時(shí)，⑦的最大值=名義5=&1,

33

故選：B.

8.如圖，二次函數(shù)尸af+6x+c（aWO）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）且與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)分別為Xi，其中-IV&VO,\<X2<2,下列結(jié)論：4a+2ZH-<?<0,

2a+6<0,4+8a>4ac,a<-1,其中結(jié)論正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c

的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)

論進(jìn)行判斷.

【解答】解：由拋物線的開(kāi)口向下知aVO,

與y軸的交點(diǎn)為在y軸的正半軸上，得c>0,

對(duì)稱(chēng)軸為x=上V1,

2a

Va<0,

/.2c?+/?<0,

而拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，.??萬(wàn)-4ac>0,

當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2>cVO,

當(dāng)x=l時(shí)，a+加c=2.

4ac~b2>2

4a

JAac-6V8a,

，Z/+8a>4ac,

???①a+Hc=2,貝ij2卅2〃2c=4,

②4a+2/cV0,

③a-什cVO.

由①，③得到2天2cV2,

由①，②得至（J2a-eV-4,4a-2cV-8,

上面兩個(gè)相加得到6aV-6,

/.a<-1.

故選：D.

9.直線y=〃x（2是不等于0的整數(shù)）與直線y=x+10的交點(diǎn)恰好是整點(diǎn)（橫坐

標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)），那么滿(mǎn)足條件的直線有（）

A.6條B.7條C.8條D.無(wú)數(shù)條

【分析】聯(lián)立直線y="與直線/=田10,求出〃的取值范圍即可求得結(jié)果.

【解答】解：聯(lián)立直線y=Px與直線了=戶(hù)10,（y=px,

ly=x+10

得"=A+IO,X=_1Q.,

p-1

為整數(shù)，夕也為整數(shù).

??/的取值范圍為：-9W711,且片1,肝0.

而.10=2X5=1X10,

有四條直線，

QWO,-9〈尸V0,只有三條直線，

那么滿(mǎn)足條件的直線有7條.

故選：B.

10.如圖，在菱形中，AB=BD.點(diǎn)、E、尸分別在/6、/〃上，且/￡=〃.連

接BF馬龍相交于點(diǎn)G,連接）與劭相交于點(diǎn)H.下列結(jié)論：

①XAE噲l\DFB：②S四娜叱=返8；③若AF=2DF,則8G=6或

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

【分析】①易證△/切為等邊三角形，根據(jù)“必S”證明△力酒△〃儆

②證明N8G6=60°=4BCD,從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此N8GC=

/DGC=60°,過(guò)點(diǎn)。作。匕⑦于弘CN'GD于N.證明△出任△◎M所以

S四邊形即即=S四邊形0怎\，易求后者的面積.

③過(guò)點(diǎn)尸作〃〃熊于尸點(diǎn).

根據(jù)題意有用AE=DF：DA=\-.3,則為BE=l：6=FG：BG,即席=6防

【解答】解:①?：ABCD為菱形，："B=AD.

?:AB=BD,...△48。為等邊三角形.

.\Z/l=ZW=60o.

又?：AE=DF,AD=BD,

②?：/BGE=/BDG"DBF=4BDG+/GDF=8N=/BCD,

即N龐仆/頗=180°,

點(diǎn)以a〃、G四點(diǎn)共圓，

:./BGC=』BDC=6N,NDGC=』DBC=6C.

：.4BGC=4DGC=GN.

過(guò)點(diǎn)。作CMLGB于M,CNLGD于N.

：.CM=CN,

vfCM=CN(

'1BC=CD'

:ZBgXCDN、(HL)

??s四邊形應(yīng)決;=S四邊形c照;”

S四邊形(加八=25kcw”

ZCGM=&0°,

.*.GM=1CG,CM=&CG,

22_

S四郵0c產(chǎn)28.=2X工X工CGX返華=近

2224

③過(guò)點(diǎn)尸作用〃"于〃點(diǎn).

'：AF=2FD,

:.FP：AE=DF：DA=\-.3,

*：AE=DF,AB=AD,

:.BE=2AE,

:.FP：BE=k3=FG：BG,

即BG=6GF.

二.填空題（共8小題）

11.觀察下列關(guān)于x的單項(xiàng)式，探究其規(guī)律：x,37,57,7x',9/,11/,-

按照上述規(guī)律，第2019個(gè)單項(xiàng)式是4037x^9.

【分析】根據(jù)題目中的式子可以系數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)，未知數(shù)x的次數(shù)從1次、

2次依次遞增，從而可以得到第2019個(gè)單項(xiàng)式，本題得以解決.

【解答】解：,.'x,3Y,5x\lx,9x,11/,--?

...第〃個(gè)式子是（2z?-1）x",

當(dāng)n=2019時(shí)，對(duì)應(yīng)的式子為4037/1

故答案為：4037Z19.

io1J2、J23、J234、/I24849、=

,丁行力升勺力力"G？？？升…+（行怎卡…怎怎）—

612.5.

【分析】仔細(xì)觀察，知原式還可以是

1,21、^32K,4321、,49481、yll=i（2l）

丁行丐）+（Wq%）+G=二曰+（而怎+怎）.又5+%,3+3

+（捐一人鈔抬中=3,…依此類(lèi)推可知，將原式倒過(guò)

來(lái)后再與原式相加，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為1+2+3+…+50.

2

【解答】解：設(shè)s=

1A2.,123s,1234s,124849、①

1^=2+（H）+（H4）+（H44）+（^+f++i）,②

①+②，得

2s=1+2+3+4+…+49,(3)

2s=49+48+47+…+2+1,④

③+④，得

4s=50X49=2450,故s=612.5；

故答案為：612.5.

13.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)&的坐標(biāo)為（1,0）,將線段收按照逆時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為例的2倍，得到線段華；又將線段必

按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為例的2倍，得到線段仍；如此下去，

得到線段例，例，…，?"為正整數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（256,0）.

【分析】先根據(jù)伸長(zhǎng)的變化規(guī)律求出例的長(zhǎng)度，再根據(jù)每8次變化為一個(gè)循

環(huán)組，然后確定出所在的位置，再根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的返

2

倍解答即可.

【解答】解：由題意可得，0PQ=1,曲=2X1=2,

例=2X2=2?,

2

OP3=2X2=2\

/=2義23=2",

明=2X27=28=256,

；每一次都旋轉(zhuǎn)45°,360°+45°=8,

...每8次變化為一個(gè)循環(huán)組，

在M的正半軸上,R(256,0),

故答案為(256,0).

14.已知21、G是關(guān)于大的二次函數(shù)s=-Bd+Gt+f的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，且x=10%y=10%，那么?與二間的函數(shù)關(guān)系式為2=獨(dú)(x>0)

【分析】由于爾友是二次函數(shù)s=-3t?的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到小+乙=2,又x=10",y=10,2,利用同底數(shù)幕

的乘法法則計(jì)算即可解決問(wèn)題.

【解答】解：?.?小、友是二次函數(shù)s=-3d+6t+/1的圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，

1|+Z?=2,

而x=10",尸10戊，

X尸io"X10^=10!14,2=102=100,

尸」?！阋?x>0).

x

故答案為：尸獨(dú)(%>0).

X

15.如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，的外接圓與/軸交于/(0,圾)，

/宓?=60°,/C0B=45°,則OC=1+Vj.

【分析】連接AB,由圓周角定理知必過(guò)圓心〃,RtZVlSO中，易知N劭0

=/OCB=60°,已知了的=如，即可求得加的長(zhǎng);

過(guò)8作BDLOC,通過(guò)解直角三角形即可求得OD、BD、切的長(zhǎng)，進(jìn)而由0C=

利口求出％的長(zhǎng).

【解答】解：連接則為。物的直徑.

雙△460中，NBAO=N0cB=60°,

"?的=退/=遮義圾=泥.

過(guò)6作應(yīng)4％于〃

Rt△騏?中，NC如=45°,

則0gBD=&OB=M.

2

Rt△a7?中，/狽=60°,

則5=返應(yīng)仁1.

3

：.OC=CJ>OD=l+43.

故答案為：l+遍.

16.如圖所示：兩個(gè)同心圓，半徑分別是2通和幺打，矩形四繆邊小"分別

為兩圓的弦，當(dāng)矩形/版面積取最大值時(shí)，矩形/時(shí)的周長(zhǎng)是16+12后.

【分析】此題首先能夠把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行分析.根據(jù)銳角三角函數(shù)

的概念可以證明三角形的面積等于相鄰兩邊的乘積乘以?shī)A角的正弦值，根據(jù)

這一公式分析面積的最大值的情況.然后運(yùn)用勾股定理以及直角三角形的斜

邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊求得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，進(jìn)一步求得

其周長(zhǎng).

【解答】解：連接見(jiàn)，0D,作歡L/8于R吐/〃于弘0N1CD于N.

根據(jù)矩形的面積以及三角形的面積公式發(fā)現(xiàn)：矩形的面積是三角形AOD的面

積的4倍.因?yàn)橐裕鸬拈L(zhǎng)是定值，則N4切的正弦值最大時(shí)，三角形的面

積最大，即N4⑺=90°,則根據(jù)三角形的面積公式求得〃仁4,

即46=8.則矩形5的周長(zhǎng)是16+12加.

17.直線J：y=a+5介12(AW0),當(dāng)A變化時(shí)，原點(diǎn)到這條直線的距離的最大

值為13.

【分析】通過(guò)化簡(jiǎn)解析式能確定直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-5,12),原點(diǎn)與定點(diǎn)的距

離是原點(diǎn)到直線的最大距離；

【解答】解：y=&+5代12=A(A+5)+12,

二直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-5,12),

.?.原點(diǎn)與定點(diǎn)的距離是原點(diǎn)到直線的最大距離13；

故答案為13；

18.將108個(gè)蘋(píng)果放到一些盒子中，盒子有三種規(guī)格：一種可以裝10個(gè)蘋(píng)果，

一種可以裝9個(gè)蘋(píng)果，一種可以裝6個(gè)蘋(píng)果，要求每種規(guī)格都要有且每個(gè)盒

子均恰好裝滿(mǎn)，則不同的裝法總數(shù)為6.

【分析】先列出方程10x+9尹6z=108,再根據(jù)x,y,z是正整數(shù)，進(jìn)行計(jì)算

即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)裝10個(gè)蘋(píng)果的有/盒，裝9個(gè)蘋(píng)果的有y盒，裝6個(gè)蘋(píng)果的

有z盒，

???每種規(guī)格都要有且每個(gè)盒子均恰好裝滿(mǎn)，

/.0<^<10,0<J<11,0<z<15,且x,y,z都是整數(shù)，

則10M9尹6z=108,

?v—108-9y-6z_3（36-3y-2z）

1010

V0<x<10,且為整數(shù)，

，36-3y-2z是10的倍數(shù)，

即:36-3y-2z=10或20或30,

當(dāng)36-3y-2z=10時(shí)，y=26~2z,

3

VO<><11,0<zW15,且y,z都為整數(shù)，

.*.26-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,

/.Z—-（舍）或z=10或z=H-（舍）或z=7或z=—（舍）或z=4或z

222

=區(qū)（舍）或z=l,

2

當(dāng)z=10時(shí)，y=2,x=3,

當(dāng)z=7時(shí)，y=4,x=3,

當(dāng)z=4時(shí)，y=8,x=3

當(dāng)z=l時(shí)，y=8,x=3,

當(dāng)36-3y-2z=20時(shí)，y=16-2z,

3

V0<J<11,0Vz<15,且y,z都為整數(shù)，

.?.16-2z=3或6或9或12或15或18或21或24,

，z=￡（舍）或z=5或z—Z-（舍）或z=2或z=-l（舍）

222

當(dāng)z=5時(shí)，y=2,>=6,

當(dāng)z=2時(shí)，y=4,x=6,

當(dāng)36-3y-2z=30時(shí)，y=.6-過(guò),

3

V0<J<11,0VzW15,且y,z都為整數(shù),

.".6-2z=3,

；z=旦（舍）

即：滿(mǎn)足條件的不同的裝法有6種，

故答案為6.

三.解答題（共6小題）

19.先化簡(jiǎn)分式：（a-也生）?三2?史也，再?gòu)?3、遙-3、2、-2中選一個(gè)

a+3a+3a+2

你喜歡的數(shù)作為a的值代入求值.

【分析】將括號(hào)里通分，除法化為乘法，約分，代值時(shí)，a的取值不能使原式

的分母、除式為0.

【解答】解：原式=a+3a-3a-4.空員.生史

a+3a-2a+2

=a+3,

當(dāng)a=旄-3時(shí)，原式=巫-3+3=旄.

20.已知關(guān)于x的方程|V+2px-3/+51-q=0,其中夕、g都是實(shí)數(shù).

（1）若g=0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為也，且」一」=工，求實(shí)數(shù)0的

X1Xn7

值.

（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根小、也、冬，且求實(shí)數(shù)。和

X1x2x3

q的值.

【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得△=（2夕）2-4（-3p2+5）=16^-20

>0,%+應(yīng)=-20，5-3p2,代入」二二=!可得關(guān)于0的方程，解方程

12X1x27

即可；

（2）由方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根由、即、吊，可得天=-P，汨、為是方程x+2px

-3p2+5=q的兩根；由根與系數(shù)的關(guān)系可得為+及=-2夕，X[X2=10-7p2，吊

=-p.△=（2/?）2-4（-7p2+10）=32p2-40>0,進(jìn)而得到關(guān)于夕的方程，

解出夕即可求出q的值.

【解答】解：（1）若。=0,則方程為戈+2內(nèi)-3介5=0.

因該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)為、物

可得△=(2夕)-4(-34+5)=16p-20>0,*+沃=-2,，c_o2

AYJYA2=UOn￡?

解得互；

4

由111俎11x2+xl-2p1

t±j-p---=，J^T—4----=----------------=-----------------=，

X1x27X1x2xlx25-3p27

解得p=5或，.(注意5-3//W0)

3

因?yàn)?/>區(qū),所以夕=5.

4

(2)顯然q>0.方程可寫(xiě)成片+2/?*-3/+5=±q.

因該方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即函數(shù)y「x2+2px-3P2+5與%=±0的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

22

q=4(5-3p)-4p=5_4p2,

，可得:X3=-P，

即1?=4p'-5.為、應(yīng)是方程x+2px-36+5=g的兩根,

BPV+2/ZY-7p+10=0.

則荀+及=-20，X[X2=10-7p2，為=_"

△=(2p)2-4(-7p2+10)=327-40>0,

解得/>$.

4

由上上J=0,得工^工叱5P2=o,

X1x2x3xlx2x310-7p2-P(7p-10)p

解得方=2>上，

4

所以p=±&,q=4j-5=3.

21.如圖，在中，N為C=60°,〃是46上一點(diǎn)，AC=BD,戶(hù)是切中點(diǎn).求

【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和平行四邊形，先證明四邊形叨是平

行四邊形，得DF=AC=BD,DF//AC,再證明△3/W是等邊三角形，證明△48。

二△胡￡(%S),可得結(jié)論.

【解答】證明：延長(zhǎng)4戶(hù)至點(diǎn)凡使得什=//，連結(jié)分；DF,CF,

,:P是切中點(diǎn)，

：.CP=DP,

二四邊形40叨是平行四邊形，

：.DF=AC=BD,DF//AC,

:.』FDB=』BAC=6G°,

...△應(yīng)方是等邊三角形，

：.BF=DF=AC,N力⑦=60。,

:./ABF=/BAC,

在△46C和△胡尸中，

，AB=BA

；ZBAC=ZABF-

AC=BF

:.XABC^XBAF(S/1S),

：.AF=BC,

:.AP=1AF=1BC.

22

22.如圖，四邊形力閱9內(nèi)接于四是。。的直徑，〃1和皮?相交于點(diǎn)反且

DC=CEXCA.

(1)求證：BC=CD

(2)分別延長(zhǎng)/昆比1交于點(diǎn)R若PB=0B,徵=2我，求。。的半徑.

［分析】(1)由小=四?。和/4刀=Z.DCE,可判斷△△CDE,得到Z

CAD=ZCDE,再根據(jù)圓周角定理得/曲，所以/CDB=/CBD,于是

利用等腰三角形的判定可得BC=DC-,

(2)連結(jié)比；如圖，設(shè)。。的半徑為r,先證明優(yōu)〃49,利用平行線分線段

成比例定理得到生a=2,則PC=2CD=4近,然后證明△尸加△必〃，利

CD0A

用相似比得到如力=匚，再利用比例的性質(zhì)可計(jì)算出廠的值.

3r6V2

【解答】(1)證明：=絲?。，

???D—C3C-A,

CEDC

而N4C/HNDCE,

...△。吐△儂，

：.Z.CAD=ACDE,

'：ACAD^ZCBD,

：.ACDB=ACBD,

:.BC=DC；

(2)解：連結(jié)比；如圖，設(shè)。。的半徑為r,

'：CD=CB,

?'-CD=CB>

ABOC=/BAD,

：.0C//AD,

：.PC=1CD=\42,

■:/PCB=/PAD,/CPB=4APD,

:ZCBsXPAD,

/.r=4,

即。。的半徑為4.

D

C

0BP

23.已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力（11,0）、

B（0,6）,點(diǎn)P為用邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)〃不與點(diǎn)點(diǎn)反。重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)aP

折疊該紙片，得點(diǎn)夕和折痕班沒(méi)BP=t.

（1）如圖1,當(dāng)/叱=30°時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）如圖2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)一再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線外'上，得點(diǎn)C'和

折痕若4g出,試用含有，的式子表示卬；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在邊力上時(shí)如圖3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)

（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

30°,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求

得答案；

（2）由△如'P、△0。'〃分別是由△明\折疊得到的，可知△08'P

出如，修△0CR易證得AOBP^4PCQ,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)

邊成比例，即可求得答案；

（3）首先過(guò)點(diǎn)尸作皿處于后易證得△/VEs'CQA,由勾股定理可求

得C'力的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與力和t的關(guān)系，即可求

得大的值，得出"點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：（1）根據(jù)題意，/OBP=90°,仍=6,

在Rt△胱中，由N6d30°,BP=t,得。^2Z.

'：OP=O#+BP,

即（2t）2=62+t2,

解得：￡[=2①乙=-2蟲(chóng)（舍去）.

.?.點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2爪，6）；

(2)P、。分別是由△必R△0"折疊得到的，

P^/\OBP,/\QC整△QC尸，

：.AOPB'=/OPB,/QPC=/QPC,

'：Z.OPB'+ZOPB+AQPC+/"C=180°,

：./0P//QPC=g0°,

Y/BOA乙OPB=90°,

：.ABOP=ACPQ,

又?：/0BP=/C=9G°,

:.叢OBP^XPCQ,

?OB-BP

PCCQ

由題意設(shè)鰭=3AQ=m,BC=11,力。=6,則尸。=11-Z,CQ=6-m.

\6—t：

ll-t6-m

：.m=Xt2-llf+6(0V1V11)；

66

(3)過(guò)點(diǎn)〃作限L以于反如圖3,

:.乙PEA=LQAC=90°