2021年中考數(shù)學(xué)綜合題沖刺20 因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題（基礎(chǔ)）（含答案及解析）

專題20因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題(基礎(chǔ))

1.如圖，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=Scm,動點(diǎn)P以2c〃心的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動，

同時動點(diǎn)。以lcm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā).沿CB向點(diǎn)B移動，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動ts(0<t<5)后，△CQP

的面積為Scm2

(1)在P、Q兩點(diǎn)移動的過程中，△CQP的面積能否等于3.6c〃J?若能，求出此時/的值；若不能，請

-■?

說明理由：

(2)當(dāng)運(yùn)動時間為多少秒時，△CPQ與△CA8相似.

【分析】(1)在矩形/8C。中求出對角線AC的歡度，然后表示出CQ、PG的長度：過點(diǎn)P作P”，8c

I八.^9^；八.I

于點(diǎn)H,然后在RtZ\P”C中表示出PH的長度，根據(jù)面積為3.6c/,列方程求解:

(2)分NPQC=90°與NCPQ=90°兩種情況進(jìn)行討論即可.

????

【解答】解：(1)酶形中，

"：AB=6cm,BC^Scm,>

.,.AC=l0cm,AP=2tcm,PG=(10-27)cm,

-<—，_?i▲ST二J.?J

CQ=tcm,.

過點(diǎn)尸作尸”IBC于點(diǎn)H,

*■?則尸(10-2/)力〃，--.v.一

13?!、

根據(jù)題意，得-r-(10-2/)；=3.6,

25

t解貓：“=2,々=3.。

#：aCOP的面積等于3.6c〃?2時，r的值為2或3.

.

(2)如答圖1,鐺NPQCN90。時，PQLBCJ

'CABLBC,AB4：8c=8,QC=t,PC^=10-2t,,

...△PQCS/VIBC,,

10—2tt4-0

???~￡~￡~~_=￡~￡~,即F=解得'=瑞當(dāng)泡

ACBC

如答圖2,當(dāng)NCPQ=90。時,，PQ±AC,

*：4ACB=/QCP,NB=NQPC,

：.2CPQ力4CBA,

CPCQ10-2tt921

--=—,即，市解得/=竿(秒)-

BCAC8,

B0<-C

答圖1

【點(diǎn)評】本題考古的是相似三角形的判定后姓質(zhì)，解題關(guān)鍵是對這些知識的熟練掌握及靈活運(yùn)用工在解

答?(2)時要注意分類討論.?

2.如圖1,在RtZ\ABC中，A3=8,ZC=90°,ZABC=60°,動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿斜邊A3以每秒2

個單位長度的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿直角邊CA以每秒V5個單位長度的速度向

點(diǎn)A勻速運(yùn)動，連接8MMN,過點(diǎn)M作MO_LC4于點(diǎn)￡),當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)8時，動點(diǎn)N也隨之停止

運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為，秒(r>0).

?4

(1)填空：當(dāng)BN平分NABC時，MD的長度為三；

3

(2)如圖2,點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，連接EMEM,設(shè)的面積為y,求)，關(guān)于［的函數(shù)關(guān)系式，并

求出y的最小值；

(3)在動點(diǎn)M,N的運(yùn)動過程中，是否存在［的值，使得以。，M,N為頂點(diǎn)的三角形與△8CW相似？

若存在，求出所有,的值，若不存在，說明理由.

【分析】(D由直角三角形的性質(zhì)得8。=夕8=4,AC^WBC=4W，CN=殺。三竽，求出仁*

駟AM=2u*由壕角三用形的性質(zhì)即可僧出答案；，.?1?

(2)由直角三角形町性質(zhì)得，MZ)=yAf=f,AD=V3MD=V3r,貝UCW=4yi-2百3得△EMN的面界

為丫=梯形CQME的面積-△CEN的面積-△￡>MN的面積，進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)分兩種情況：①BC與是對應(yīng)邊，ABCNs叢MDN,則改=竺，求出，的值即可:

MDDN

BCCN

②BC與是對應(yīng)邊，ABCNS^NDM,則——=—,求出f的值即可..

?工*1。工1*JL*

【解答】解：(1)VZC=90°,ZABC=60°,

'>..\\￡>■>_

???/4=30。，’...

???8。=85=4,AC=V3BC=4V3,

?:晶通分工ABC,.

:.NCBN=30°,

VZC=90°,

由題意得：CN=V3r,

8

：.AM=2t=^,

VMD1C/1,/A=30°,

?\MD=^M=p.

4

故答案為：-：?JL>

(2)I?點(diǎn)E為3。的用點(diǎn)，BC=4,

■

:.CE=2BC=2,

Lr'

，?一'f?A，,J.A

\'MDLCA,/A=30°,AM=2t,

'''"

：.MD=1AA/=r,AD=>/3MD=V3r,

：.DN=AC-CN-A0=4百-2倔，

,―—卜二/丁[.,―/‘■

VZC=90°,MD^CA,.?'.?.?

:.MD〃BC,.?、.）、，.1、，

??.△EMN的面積為；y=梯形CDME的面積-4CEN的面積-△OMN的面積=。什2）（48一V3r）-1x

*LL-

V3zX2-|x（4V3-2V3r）X/=^?-2V3/+4V3,

.即/關(guān)于/的函數(shù)關(guān)手式為.y=孚?-2V3/+4V3,

v=卓P-2V3/+4V3=察（Z-2）~+2V3,*—^0,,.,[?,.，[、

，，、2

.”的最小值另20?N：1'.；；："士

（3）存在，:理由如下：

分兩種情況：-

?.①說與是對射，ABCQAMDN,_

,,,BCCN04V3t

則-,即tl-=|-產(chǎn)--=~|,

MDDNt4V3-2V3t

解得：r=4&-4或r=4或r=-4或-4（舍去），-,,

.?，=4&-4：

②8c與NZ）是對應(yīng)邊，叢BCNS^NDM,

BCCNan4*/3t

??麗=俞’即薩T'-

解得：仁1或仁*"

綜上所述，存在f的值，使得以。，M,N為頂點(diǎn)的:.角形與△BCN相似，f的值為4a-4或三或4或3

【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題目，考吞了相似三角形的性質(zhì)、含30°知的直角三角形的性質(zhì)、色角形面

.積、?梯形面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論等知i史本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)

和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，A,B,C,。是矩形的四個頂點(diǎn)，AB^i2cm,BC=6cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度向

點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)8停止；動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)，以Icm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸停止運(yùn)動

時，點(diǎn)Q也立即停止運(yùn)動.

（1）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為f,請用f的代數(shù)式表示BP和C。：BP=12-2?,C0=t；

（2）是否存在某一時刻，以4,P,。為頂點(diǎn)的三角形與△8C。相似？如果存在，請求出f的值;

（3）是否存在某一時刻，使得△8PQ為等腰三角形？如果存在，請求出點(diǎn)P運(yùn)動的時間.

【分析】（1）根據(jù)題直接得出；

4PADAPAD

（2）分兩種情況：—=777和77=—5分別求出t的值；

BCCQCQCB

（3）過點(diǎn)。作。從L/科根據(jù)圖形和幻股定理求出三角形二邊■種情況求解，把不合題意的舍去.

【解答】解：（1）由題意得：€Q=t,BP=AB-AP=12

故答案為：12-2f?t；

’（2）矩形A3d。中，ZA=ZC=90°./'

APAD

①當(dāng)一=——時，RPADsXBCQ、

BCCQ

2t6

此時一=

6t

?\A**W.■?X*,?

解得：力=3A/LJ2三-3或（不合題意，舍去）,

APAD

②當(dāng)豆=而時△/%/）7△QC8,

?t^3

此時一=不成乂,

t6

.?:當(dāng)f=3位時，A,P,。為頂點(diǎn)的三角形與ABCQ相似；

（3）存在；①考BP=B。時,.

由勾股定理得（123f）2=62+?,

化簡得*r-16z+36=0,/.

解得：”=8+2夕（不合題意；舍去），〃=8-20；,,,

②當(dāng)PQ=8。時，

過點(diǎn)Q作QH1.PB,垂足為H,

得四邊形BCQH是矩形，BH=，中=6-I,

：.BH=CQ,即6-f=f,

解得：f=3；■

③當(dāng)PB=PQ時，

由勾股定理得(12-202=62+(12-3r)2,

化簡得：5P-24r+36=0,

,:序-4ac=(-24)2-4X5X36=-J44<0,'

.?:原方程沒有實(shí)數(shù)根；

綜上所述：,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時間為，(8-2夕)s和3s時，△BPQ為等腰三角形.

H

B

【?點(diǎn)評】本題主要考查了相破三角形的性質(zhì)和判定，勾版定理，一元二次方程，熟'練掌握分類思想方法

是解決問題的關(guān)鍵.

4.如圖所示，在矩形M8CN中，,點(diǎn)A是邊MN的中點(diǎn)，MB=6cm,8c=16a”.點(diǎn)。由點(diǎn)A出發(fā)沿AB方

向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC⑦■向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它仃的速度均為\cmls.連接DE,

設(shè)運(yùn)動時間為f(s)(0</<10),解答下列問題：

(1)求證：△AMB§1A4NC；

(2)當(dāng)f為何值時，△BDE的面積為7.5,加2；

(3)在點(diǎn)￡>,E的運(yùn)動中，是否存在時間,,使得△BQE與aABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間r：

若不存在，請說明理由.--.

(分析］(1)利用矩形的性質(zhì)得出NM=NN=90°,MB=NC,再利用點(diǎn)A是MN的中點(diǎn)得出AM=AN,

即可得出結(jié)論：*

DF?BD,

(2)先判斷出△3。尸得出一=—,再計算出AM=AN=8,進(jìn)而求出AC=A8=10《?〃?),

AGAB

然而求出8G=8(cm),AG=6?進(jìn)而求出。F=g(10-t”最后用三角形的面積公式建立方程求

解，即可得出結(jié)論：

(35分兩種情況：?ABDE%BCA和②△"Ey△成C,利用相似三多形的性質(zhì)得出比例式，iMj

建立方程求解，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)證明：???四邊形MBCN是矩形，'L.

????/

:"M=/N=W」MB=NC,

又???點(diǎn)A窟邊A/N的中點(diǎn)，

：.AM=ANf.?.

在△4M8和AANC中，

'BM=CN

zM=z/V=90%

AM=AN

...△AMB絲AANC(SAS)：

??<^rL?*%?/9*??,,?

(2)如圖，分別過點(diǎn)￡>、％作力￡LBC、AG^C,品足為3G,

：.DF//AG,"；'

:「△BDFsXBAG,,,,.,..

?DFBD

??,

AGAB

在矩形MBCW中，MN=BC=16Can),

???點(diǎn)A是MN的中反

1?1'?.??.??L

：.AM^AN=^VfN=^,

由(1)知，XMAB邑XKNC、

：.AB=AC.

根據(jù)勾股定理得，AC=AB=\O(cm),

V71G1BC,

1

???"=加=8.(cm),

???A匕=6(cm),

由運(yùn)動知，AD=BE=t,

?~TT'，：..

ABD=10-r,

■DF10-t

??—

610

3

.'.DF=|(10-t),

?；5.=牌"=7.5,

,3〉

A-(10-0-t=15,

解得f=5.'.

答：/為5秒時，△8DE的面積為7.5O〃2.

(3)存在.理由如下:

由.(2)知，BE=t,

：.BD=\0-l,

?二△BDE與△ABC相似，ZABC=ZABC,

,BEBD

...①當(dāng)△BDES/^BCA時，一=—,

ABBC

/Mr*

10-t

即一=

.1016

50

解得”

百

,BEBD

②當(dāng)△BDEsaBAC時，一=—,

BCAB

10-t

即一=

1610

80

解得

t=13,

5080

即存在，/為E或時，使得△BOE與△48/回似.

【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，［三要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，

?勾股定理,?用方程就思想球決問題是解本題的賣鍵..

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=\2cm,8c=6。*,點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)8以2c%/s的速度移動，

點(diǎn)Q沿OA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以\cmls的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用/(.0表示移動時間(0

WW6).

(1)當(dāng)，為何值時，△QAP為等腰三角形？

(2)當(dāng)f為何值時，?以。、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

(3)設(shè)△QCP的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)「為何值時，△QCP的面積有最小值？

最小值是多少？

----------------------

【多析】(1)根據(jù)題意分析丹得：因?yàn)閷τ谌魏螘r刻3AP=2t,DQ—t,QA=6-t.當(dāng)QA=A尸時，△

QAP為等腰直角三角鋁，可得方程式,.解可得《案；

04AP0AAF

(2：根據(jù)題意；在矩形A8C：中‘可分為而=嬴、氤=丘;兩種情況來研究，列出關(guān)系式，代入數(shù)

據(jù)才得答案；,-

(3)利用面積的趨用r春示出△PC。的面積，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)由運(yùn)動知，AP=2t(.CHI'),DQ=f(cm),QA-=(6-/)(cm).1

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.ZPAQ=90°,

.???△QAP為等腰三角形，.*

：.QA=AP,

.*.6-r=2r,

.【=2，.-*'*''".

?4“1/?/*T??

丁咯?？?，￡

所以，當(dāng)f=2時，△QAP為等腰三角形..

，W)1.*-U'..，

(2)根據(jù)題意，可分為兩種麗兄來研究，在矩形ABC。中：

?*

0AAP

①當(dāng)△QAPSAABC時，一=一,

ABBC

?_6_T____2_t

??7T=T'.

：V=1.2,.

>

即當(dāng)f=1.2時，△QUSZ\A3C；,^,

,QAAP

②當(dāng)△以。62\45。［］寸，一=一,

BCAB

.6rt_2t.

??-，

612..

??t3,

yif,1t

即當(dāng)，=3時，△BAQS/WBC；

所以，當(dāng)r=1.2或3/，以點(diǎn)。、A、P為頂點(diǎn)的二角形與△月8C相似.'

(3?SAPCQ—S四邊形QAPC-S△⑦p

=S四邊形ASCO-SkcDQ-S&PBC-S&QAP

1iiJ.▲「i'上

=12X6-^xl2Xz-^x6X(12-2，)-方x2fX(6-r)\

f

=36-6r+r9

=(z-3)^2+27.,

???0WW6,.

.?.當(dāng)f=3時，△.℃的面積最小，最小值為27C"F.

【點(diǎn)評】此題是相似/綜吝題，主要考查了矩舷M性施，相似三角形的性貳三石形的面積的訶算方這

用方程的思想解決向題是解本題的關(guān)鍵.‘''

6.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，動點(diǎn)E以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)

動，動點(diǎn)F以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)E比動點(diǎn)F先出發(fā)1秒,

其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動時間為，秒.

（圖D.J圖》

（1）如圖1,連接DE,AF.若。從LAF,求「的值；

（2）如圖2,連結(jié)EF,DF.當(dāng)t為何值時，AEBFsADCF?

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)及條件，得出少8斤四由4￡=8/冽式計算.

EBBF

（2）利用△EBFS^QCF,得出一7=——，列出方程求解.

DCFC'.

【解答】解：（1）-：DE±AF,.

.?./4OE=90°,

?.^BAF+ZAEO=90°,,

VZ/\D￡+ZA￡'C?=9O0,，，

二NBAF=NADE,

又???四邊形ABC。是正方形，.?.

：.AB=AD/ZABF^=，ZDAE=90">,

/./XABF^^DAE（ASA）>,

：.AE=BF,

l+，=23：.

解得t=\.

,(2)如圖2,.，.、

???.四邊形A8CD是正方形，.’

；?AB=BC=CD=4,

■:BF=2t,AE=l+h

：.Ft=4-2/,BE=4-17t=i-tf

當(dāng)△E8FsAj)CF時，

EB_BF

DG-FC'

■3-t2t

44-2t

解得，仁士畀，仁當(dāng)豆(舍去)，

故“=字

所以當(dāng)r=寫豆時，AEBFsADCF：

H-

BFC

圖2

圖1

【點(diǎn)評】本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是把四邊形與巫標(biāo)系相結(jié)合求解.

AX—"1

7.如圖，AB1.BD,CDLBD,AB=3,8=8,80=10,一動點(diǎn)P從點(diǎn)3向右。運(yùn)動，問當(dāng)點(diǎn)尸離點(diǎn)3

多遠(yuǎn)時，△辦8與△P(?￡)是相似三角形？

【分析】求出/8=/。=90°,根據(jù)相似三角形的判定得出當(dāng)一==或丁=-7時，△B43與△2€1￡>

.DPCDCDDP

是相似三角形,加入求出即可.

【解答】解：'：ABLBD,CDLBD,

/8=N￡>=90°，.

,ABBPABBP[:口?,「‘?.

,當(dāng)二=二或77=工時，4PAB\APCD是相似三角形，

DPCDCDDP

???A2=3,CD=8,BD=lOf?

一,--

BP3BP

,3,——一,

:NO-BP-8-8-IO-BP'

,、一、30

BP=6或4或一，

即P8=6或4或五，時，△用8與號西似三角形.

【.點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定的應(yīng)用，注意有股種情況，用的知識點(diǎn)是：當(dāng)兩邊對應(yīng)成比例，

且夾角相等的兩三角形相似.

8.已知，在平行四邊形。A8C中，0A=5,AB=4,/OC4=90°,動點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā)沿射線0A方向以

每秒2個單位的速壁移動，同時動點(diǎn)Q從A點(diǎn)沙發(fā)沿射線AB方向以每秒1個單位的速度移動.設(shè)選動

的時間為f秒.

(1)求直線AC的解析式；

(2)試求出當(dāng)f為何值時，△04C與△以。相似.

【分析】(1)要求直線AC的解析式，需要求出點(diǎn)A、點(diǎn)右的坐標(biāo)，.可以利用等積法求得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

利用勾股定理求得橫坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求得直線的解析式；

(2)對于相似要分情況進(jìn)行評論，根據(jù)對應(yīng)線段成比例可求得r的數(shù)值.

【解答】解：(1)過?點(diǎn)C柞CE20A,垂足為E,

在RtAOC/1中?，/。=。52-42=3,

；.5XCE=3X4,"

在RtAOCE中，0E=J42-2=學(xué),

1612

/.C(一?一)，A(5,0),

55?

,4JO

??產(chǎn)丁

(2)當(dāng)時，P在。4上，若/OAQ=90°時,

??

?故此時△O4C與不可能相似..-

“2.5時，.？..」、

①若NAPQ=90°,則△APQS/XOCA,

—,;..J

AQOA5

iLZ="~=一，

APOC4

t5

??=—，?

2t-54

?一25

?g不’，，

V/>2.5,/.

?,?q需符合條件.

②若NAQP=9001則△APQSAOA。，

?AQOC4

11乂-—■一,

APOA5

t4

??=1,

2t-55

?,-20

Vr>2.5,--

；.r=至符合條/'

綜上可知，m/=等或爭寸，△OAC亭△”。相似.

【:點(diǎn)評】本題考查了相似三編形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，在解決圓的問.題時要注意勾股定理

的應(yīng)用，要注意對問題進(jìn)行分類討論.

9.如圖，已知：在△A3C中，BC-12,AC=8&,NC=4§°,尸是8c邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PO

?〃/18與AC相交于點(diǎn)。，連接AP,設(shè)線段8P的長為x,△4PC的面積為

(I)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；

1

(2)是否存在一個位置的點(diǎn)P,使△4PQ的面積等于△第3的面積的I?如果存在，求出3P的長；如

果不存在，請說明理由.

/\

B

【分析】(i)由豈知條件可求出△ABC中BC邊上的高為8,設(shè)△Cf/中PC邊上的高為/?,找至此和x

4%'-<<、-.■

?上,。3,?A0**工

的數(shù)量關(guān)系，則即可求出用X的代數(shù)式分別表示SMBP=4X.S,\CPD=I(12-X)2>SAPD=|xl2X8-

*?，一』?^t；-_4?■/<**>>

4x-1(12-A)2,進(jìn)而表示出從「0的面積y；

(2)存由SAAPD=聶MBP可用-黑+以=%,解一元二迭方程即可求出BP的長.，

【解答】解：(1)應(yīng)'A作AEJ_BC,則AE為於邊上的高，

由RCAEC中，AC=8夜，得到此三角形為，等腰直角三角形，

*$in45。=塞即4￡'=心皿45°=8/<孝=8,

A/ABC中BC邊上的高為8,

設(shè)△C￡>P幣PC邊上的高為h,

'：PD//AB,

?"4J,

.h12-x

2

.*.h=可(12-x)

i2i?■)

這樣SA^3P=4X,SACPD=5(12-x)?-(12-x)=工(12?-x)'

?.,233

*i|r—.

II「1、

5AAPD=OX12X8-4X-(12-X)2,^

2.、5J、■

即.y=—XX2+4X,

：P點(diǎn)只能在線段8C上移動，且不能寫8、C兩點(diǎn)重合

二函數(shù)自變量的取值范圍是0<x<12；

,(2)存在，.」、

由?(1)可知S"BP=/x，SA4TO=-JAM,

若S“*=暴血8《，.則—#+4片=打?■■

即，-81=0解得xi=8,X2=0（舍去）

..*?Ar**A，-^i/f

???OV8V12,

???在8C邊上存在一點(diǎn)尸（8尸=8）,彳吏ZVCP。的面積等于△A8P的面積的土

■■w?

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直

角三角形的性質(zhì)廛解一元』次方程的能力「［、,.\.,.）、

10.如圖，在直角三角形ABC中，角B等于90度，AB等于6厘米，BC等于8厘米，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿

A8邊向點(diǎn)8以lcm/s的速度移動，點(diǎn)。從8點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cmis的速度移動，如果P,Q分

別從A,B同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P或點(diǎn)。到達(dá)終點(diǎn)時停止運(yùn)動.則當(dāng)運(yùn)動幾秒時，以。BP為頂點(diǎn)的三角形與

三角形ABC相似？

1■

【分析】首先設(shè)經(jīng)過f秒，△PB。與/MB。相似，則AP=5,BP=6-t（cm）,BQ=2tcm,然后分別

從若APBQSAABC與若APBQSACBA去分析，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,，即可求得答案.

【解答】解：設(shè)經(jīng)過;秒，△PB。與A48c相機(jī)則AP=e?,BP=6-t（an）,BQ=2tcm,

-'?PBBQ

①若△PBQS/XABC,則——=——，

ABBC

?6-t2t

即---=—,?..-

68

.12?'>?「?'?'.>

..U虧，

』f-?PBBQ，，，

②若△PBQ“Z\C8A,則一=——，

BCAB

口6-t2t

即---=——，

86

■/n■K，>■■..*■

解得：仁普,；，?，

1218

/.經(jīng)過gs或mS時，△PBQ與△A8C相似.

【?點(diǎn)評】此題考查了相似三?形的判房與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合思,想、分類｝寸論思想與

方程思想的應(yīng)用：

11.如圖，在矩形ABC。中，AB^Scm,8c=7a”，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿48方向以Icro/s的速度向點(diǎn)8移

動，同時，點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以2c,"/s的速度向點(diǎn)C移動，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停

止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f秒.

(1)當(dāng)r為何值時，/XBEF的面積為5CM2?

(2)當(dāng)，為何值時，-△BEF與△48。相似？

乂1--------------------.

I

E、

3產(chǎn)C

【分析】(1)用J表示出8E及8尸的長，再由圭角舷的面積公式即可得出結(jié)論;-

,(2)分△8后用28。與所與△A/)8兩種情況進(jìn)行討論即可：

【解答】解：(1)-：AB=5cm,8C=7cro；點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以lc〃?/s的速度向點(diǎn)B移動,

同時，點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā)，沿BC方向以2c〃?/s的速度向點(diǎn)C移動,'

：.BE=5t,BF=2t.

:ABEF的面積為5f”,二

二］尸BE=5,.即1x2/X(57)=5,解得H=殳￥1(舍去)，/2=汨1.

答；當(dāng)仁卷§時，ABE尸的面積為5a后山-$(**務(wù).//*.

(2)〈BE=5-t,BF=2t,.

,>>，BEBF5-t2t:,35.--

??.當(dāng)時，一=一,即一!=—,解得仁獸?

?ABAD5.717

當(dāng)/\BEF與△4DB時，一=—,即一=一,解得t=黑

ADAB75.19

3525

綜卜.所述，當(dāng)，為一秒或一秒時，5E尸與△43。相似.

【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解.

12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形04BC為矩形，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,3),動點(diǎn)M,

N分別從O,8同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運(yùn)動.其中，點(diǎn)M沿04向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC

向終點(diǎn)C運(yùn)動.其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿3N向終點(diǎn)C運(yùn)動.過點(diǎn)M作MPLOA,交

ACTP，連接NP,設(shè)M、N運(yùn)動的時間為，秒(0</<4).

o5

(DP點(diǎn)的坐標(biāo)為(」_,-方+3),PC=-t(用含x的代數(shù)式表示)；

?--

(2)求當(dāng)f為何值時，以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△A8C相似；

(3)在平面內(nèi)是否存在一個點(diǎn)E,使以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出f的

值，若不存在，說明理由.

【分析】(1)先確定出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線AC解析式，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后用兩點(diǎn)間的距

?,離公式即可得出結(jié)論；

?(2)先得出AC±5,BN=t,CW=4-/,,用相似三角形的性質(zhì)列出方律即可求出時間/；

(3)由菱形的屜質(zhì)，鄰邊相等即可分三軸情況列方程即可求出時間八

，，，<f>■.f>

【解答】解：(1)???四邊形O48C為矩形，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,3),

：.c(0,3),,.?.直線AC解析式為y=-1x+3,

?點(diǎn)M從點(diǎn)。向點(diǎn)力以窟秒1個單位的速度運(yùn)勃，.

'：.OM^t,當(dāng)(=油，y==玄+3,.*\，「

4

‘3''，,

*'?P(3—于+3),

VC(0,3),一

.--.：.CP=Jt2+3-3)2=.4.--

故答案為：/,一/+3,1

,(2)VA(4,0),伉(4,37,..

??.OA=3C=4,03=3,

：.AC=5,

由運(yùn)動知，BN=h

:.CN=A-t,

由（1）知，CP=%，

??,2AC3=NPCM以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△A8d相似,

—.BCAC

①當(dāng)—=—時L,

JCNCP

：.t=2

,BCAC,

②拳一=一時,

CPCN

64

為2或A一1時，以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△A4C相似.

⑶由⑴?知，CP=PLt,一孑+3),

由(2)知，CN=4-r,

'：.N(4-63),

:?PN=J(4-t-t)2+(3+|t-3)2=J(2、_4)2+2t2,

：以C、P、N、￡為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,

.,.①當(dāng)CPFCN時，

5

4

?一16

../一q'

②當(dāng)CP=PN時,*=J(2t—4尸+/t2,

；.f=4(舍)或f=g

@當(dāng)。7=朋時34-仁J(2t-4)2+簫2,

；.f=0(舍)或仁需，

164128

以C、P、N、E溝頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，(的值為q?或1或F■秒..

Ly*9357

【?點(diǎn)評】此題是相似三角形綜?合題，主要考查了平面坐標(biāo)?系內(nèi)兩點(diǎn)間的公式，相似?三角形的性質(zhì)，菱形

的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵分類討論思想，?是一道比較簡單的中考?？碱}.

13.如圖，已知△ABC是邊長為12cm的等邊二角形，動點(diǎn)尸，。同時從48兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、8c勻

速運(yùn)動，其中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是2cm/s,點(diǎn)。運(yùn)動的速度是4a〃/s,當(dāng)點(diǎn)Z到達(dá)點(diǎn)C時?，P、。兩點(diǎn)都停

止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f(s),解答下列問題：

(1)當(dāng)f=2時，'判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

(2)設(shè)△8PQ的面積為S(5?),求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)作。R〃區(qū)4交AC于點(diǎn)R,連接PR,當(dāng).為何值時，XAPRsXPRQ.

【分析】(1)結(jié)論：△尸8。是等邊三角形：只要證明8尸=8。，/8=60°即可；

■(2)N8為60°特然角，過B作QEU8,解為E,向8Q、BP、高項的長可用7表示,T與川柒1

數(shù)關(guān)系式也可求:,

L?1J.w

(3)由題意△CRQ為等邊三角形，首先證明四邊形EPRQ是矩形，由△APRS^PRQ,可得出NQPR

=60°,利用60°的通殊角列出方程即可求得施值.

【解答】解「⑴結(jié)論：△2時是等宓」角形.

理由：??,A4BC是等邊三方形？

：.AB=BC=AC=12,,ZA=ZB=ZC=60o,

Vr=2,

：.AP=4,BQ=8,?

：.PB=AB-AP=S,

：.BP=BQ,VZB=60°,.

...△P8。是等邊巨篇形.’

Ir

(2)過Q作QE1M8,垂足為E,.

由QB=4z,得Q