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青海省西寧市五中、四中、十四中2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期二??荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在中,,是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.843.已知集合(),若集合,且對(duì)任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.4.以下四個(gè)命題:①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1;②在回歸分析中,可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果,越小,模型的擬合效果越好;③若數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為4;④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù),其線性回歸方程,則“滿足線性回歸方程”是“,”的充要條件;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.15.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.26.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.607.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺8.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.9.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.10.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.11.()A. B. C. D.12.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若向量與向量垂直,則______.14.在四棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為矩形,,.若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上,則球的表面積為_____.15.已知點(diǎn)是雙曲線漸近線上的一點(diǎn),則雙曲線的離心率為_______16.已知集合,則____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與交于,兩點(diǎn).(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)設(shè)點(diǎn);若、、成等比數(shù)列,求的值18.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,證明:20.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若均為正實(shí)數(shù),且滿足,為的最小值,求證:.21.(12分)已知函數(shù)(),且只有一個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若,且,證明:.22.(10分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對(duì)稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當(dāng),時(shí),求證:①;②.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷,
②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,
③根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷,
④根據(jù)點(diǎn)滿足回歸直線方程,但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn),而回歸直線必過樣本中心點(diǎn),可進(jìn)行判斷.【詳解】①若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故①正確;
②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯(cuò)誤;
③若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;
④因?yàn)辄c(diǎn)滿足回歸直線方程,但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn),即,不一定成立,而回歸直線必過樣本中心點(diǎn),所以當(dāng),時(shí),點(diǎn)必滿足線性回歸方程;因此“滿足線性回歸方程”是“,”必要不充分條件.故④錯(cuò)誤;
所以正確的命題有①③.
故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性,擬合性檢驗(yàn),兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系,以及兩個(gè)變量的線性回歸方程,注意理解每一個(gè)量的定義,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球,所以為的中點(diǎn),設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.8、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】
列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.10、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.11、B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.12、B【解析】
求出,把坐標(biāo)代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計(jì)算參數(shù)值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解析】
直接根據(jù)向量垂直計(jì)算得到答案.【詳解】向量與向量垂直,則,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、【解析】
做中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,由已知條件可求出,運(yùn)用余弦定理可求,從而在平面中建立坐標(biāo)系,則以及的外接圓圓心為和長(zhǎng)方形的外接圓圓心為在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求,通過球心滿足,即可求出的坐標(biāo),從而可求球的半徑,進(jìn)而能求出球的表面積.【詳解】解:如圖做中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,由題意知,則設(shè)的外接圓圓心為,則在直線上且設(shè)長(zhǎng)方形的外接圓圓心為,則在上且.設(shè)外接球的球心為在中,由余弦定理可知,.在平面中,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸,以過點(diǎn)垂直于軸的直線為軸,如圖建立坐標(biāo)系,由題意知,在平面中且設(shè),則,因?yàn)椋越獾?則所以球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球的問題,考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有:一是通過將幾何體補(bǔ)充到長(zhǎng)方體中,將幾何體的外接球等同于長(zhǎng)方體的外接球,求出體對(duì)角線即為直徑,但這種方法適用性較差;二是通過球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直,設(shè)半徑列方程求解;三是通過空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解.15、【解析】
先表示出漸近線,再代入點(diǎn),求出,則離心率易求.【詳解】解:的漸近線是因?yàn)樵跐u近線上,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】考查雙曲線的離心率的求法,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算,屬于容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,直線的普通方程為;(2)【解析】
(1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化,即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,利用韋達(dá)定理得,,可得到,根據(jù)因?yàn)?,,成等比?shù)列,列出方程,即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線的極坐標(biāo)方程可化為,又由,可得曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),得,即直線的普通方程為;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,得,由,設(shè)方程的兩根分別為,,則,,可得,.所以,,.因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以,即,則,解得解得或(舍),所以實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程,以及參數(shù)方程與普通方程的互化,以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用,其中解答中熟記互化公式,合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求得平面的法向量與平面的法向量進(jìn)而求得二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接.又為的中點(diǎn),則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因?yàn)?為的中點(diǎn),所以.因?yàn)?所以.因?yàn)槠矫?所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)?所以點(diǎn).則.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個(gè)法向量為;顯然平面的一個(gè)法向量為;設(shè)二面角的大小為,則.故二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的問題,需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以及法向量的求法等.屬于中檔題.19、(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).見解析(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意,,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值,進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題;(Ⅱ)求導(dǎo),,由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為,,求出,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn),即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,在區(qū)間上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,在區(qū)間上唯一零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,;在區(qū)間上唯一零點(diǎn);綜上可知,函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點(diǎn);在有極小值點(diǎn),即為;在有極大值點(diǎn),即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調(diào)性,,,,,由函數(shù)在單調(diào)遞增,得,,由在單調(diào)遞減,得,即,故.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題和證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.20、(1)或(2)證明見解析【解析】
(1)將寫成分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),恒成立,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由解得所以的解集為或(2)由(1)可求得最小值為,即因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù),且(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”)所以,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的求法,考查利用基本不等式證明不等式,屬于中檔題.21、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時(shí),取最小值,由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),觀察可知?jiǎng)t有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得,由,可知,因?yàn)闀r(shí),為增函數(shù),即可得
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