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高斯消元法在前面的幾節(jié)課,已經(jīng)用加減消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程組,其基本的思想就是從已知的方程導(dǎo)出未知數(shù)較少的方程組,直到最后得到一個(gè)一元一次方程,這種做法可適用于一般的n元一次方程組,但是由于未知數(shù)的增加,我們希望我們的消元是有規(guī)律的,以避免混亂,因此本節(jié)課介紹高斯消元法。例題講解
已知
第一步,把方程組寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式
①
②第二步,把標(biāo)準(zhǔn)形式的方程組化成階梯形①×(-),加到方程②上,得③
④由③、④組成的方程叫做階梯形方程,其中第二個(gè)方程已經(jīng)不含未知數(shù)x.
第三步,解方程④,得y=3
往回代入③,解得x=-1因此原方程的解是這種解一次方程組的方法叫做高斯消元法,其中第二步叫做消元算法,第三步叫做回代算法。
高斯消元法不僅可以用來(lái)解任意一個(gè)二元一次方程組,而且可以用來(lái)解任意一個(gè)三元一次方程組,以及解任意一個(gè)n元一次方程組,其中n是任一正整數(shù)且n≥2.(注:有n個(gè)未知數(shù),并且含未知數(shù)的每一項(xiàng)都是1次的方程叫做n元一次方程。含有相同未知數(shù)的若干個(gè)n元一次方程聯(lián)立起來(lái),組成的方程組叫做n元一次方程組。)高斯消元法的實(shí)質(zhì)在我國(guó)《九章算術(shù)》的“方程”一章中就已體現(xiàn),叫高斯消元法是西方人的叫法,實(shí)際比九章算術(shù)晚了1000多年。練習(xí):用高斯消元法解方程組.練習(xí):利用高斯消元法解方程組小結(jié)
利用高斯消元法解n元一次方程組的步驟:
第一步,寫成標(biāo)準(zhǔn)形式;第二步,化
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