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2023-2024學(xué)年安徽省六安中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若數(shù)列的前項(xiàng)和,則此數(shù)列是()A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列 D.以上說法均不對(duì)2.沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對(duì)2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的最大值為90萬(wàn)元,最小值為30萬(wàn)元 B.這一年的總利潤(rùn)超過400萬(wàn)元C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤(rùn)最大3.已知兩直線方程分別為l1:x+y=1,l2:ax+2y=0,若l1⊥l2,則a=()A2 B.-2C. D.4.學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽取了n位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在(單位:元)內(nèi),其中支出在(單位:元)內(nèi)的同學(xué)有67人,其頻率分布直方圖如圖所示,則n的值為()A.100 B.120C.130 D.3905.中,三邊長(zhǎng)之比為,則為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在這樣的三角形6.已如雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,,過的直線交雙曲線的右支于A,B兩點(diǎn),若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.7.?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線稱為歐拉線.已知的頂點(diǎn),,若其歐拉線的方程為,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.8.已知為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn),以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體,是底面圓上的弦,為等邊三角形,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.9.若直線的一個(gè)方向向量為,直線的一個(gè)方向向量為,則直線與所成的角為()A30° B.45°C.60° D.90°10.在四面體中,設(shè),若F為BC的中點(diǎn),P為EF的中點(diǎn),則=()A. B.C. D.11.下列命題中正確的是()A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱12.下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,如果輸入a=102,b=238,則輸出的a的值為()A.17 B.34C.36 D.68二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,則實(shí)數(shù)m的值為______.14.在正方體中,,,P,F(xiàn)分別是線段,的中點(diǎn),則點(diǎn)P到直線EF的距離是___________.15.設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則不等式解集為_______16.已知橢圓的弦AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線AB的斜率與直線OM的斜率之積等于_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線l:,圓C:.(1)當(dāng)時(shí),試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)恰好為,求k的值.18.(12分)設(shè)數(shù)列滿足(1)求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意恒成立.19.(12分)已知三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且C為鈍角.(1)求cosA;(2)若,,求三角形的面積.20.(12分)已知與定點(diǎn),的距離比為的點(diǎn)P的軌跡為曲線C,過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn).(1)求曲線C的軌跡方程;(2)若,求.21.(12分)已知橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn),且該橢圓的離心率為,(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(Ⅱ)求過點(diǎn)的直線與該橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求的面積.22.(10分)如圖甲,在直角三角形中,已知,,,D,E分別是的中點(diǎn).將沿折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置,且,連接,得到如圖乙所示的四棱錐,M為線段上一點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)過B,C,M三點(diǎn)的平面與線段A'E相交于點(diǎn)N,從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①;②直線與所成角的大小為;③三棱錐的體積是三棱錐體積的注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系和等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以是等差數(shù)列;當(dāng)時(shí),為非等差數(shù)列,非等比數(shù)列’當(dāng)時(shí),,所以是等比數(shù)列,故選:D2、B【解析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A:由圖可知,月收入的最大值為90,最小值為30,故A正確;B:各個(gè)月的利潤(rùn)分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,所以總利潤(rùn)為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬(wàn)元),故B錯(cuò)誤;C:這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30,故C正確;D:7月份的利潤(rùn)最大,為60萬(wàn)元,故D正確.故選:B3、B【解析】直接利用直線垂直公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)閘1⊥l2,所以k1k2=-1,即-=1,解得a=-2.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計(jì)算參數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.4、A【解析】根據(jù)小矩形的面積之和,算出位于10~30的2組數(shù)的頻率之和為0.33,從而得到位于30~50的數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67,再由頻率計(jì)算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10~20、20~30的小矩形的面積分別為位于10~20、20~30的據(jù)的頻率分別為0.1、0.23可得位于10~30的前3組數(shù)的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30~50數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學(xué)有67人,即位于30~50的頻數(shù)為67,∴根據(jù)頻率計(jì)算公式,可得解之得.故選:A5、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零,由此可知最大角為鈍角.【詳解】設(shè)三邊分別為,,,中的最大角為,,為鈍角,為鈍角三角形.故選:C.6、A【解析】先作輔助線,設(shè)出邊長(zhǎng),結(jié)合題干條件得到,,利用勾股定理得到關(guān)于的等量關(guān)系,求出離心率.【詳解】連接,設(shè),則根據(jù)可知,,因?yàn)?,由勾股定理得:,由雙曲線定義可知:,,解得:,,從而,解得:,所以,,由勾股定理得:,從而,即該雙曲線的離心率為.故選:A7、A【解析】設(shè),計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程,再求出外心坐標(biāo),根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程,最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè),由重心坐標(biāo)公式得,三角形的重心為,,代入歐拉線方程得:,整理得:①的中點(diǎn)為,,的中垂線方程為,即聯(lián)立,解得的外心為則,整理得:②聯(lián)立①②得:,或,當(dāng),時(shí),重合,舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選:A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵一是求出外心,二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.8、B【解析】設(shè),過點(diǎn)作的平行線,與平行的半徑交于點(diǎn),找出異面直線與所成角,然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設(shè),過點(diǎn)作的平行線,與平行的半徑交于點(diǎn),則,,所以為異面直線與所成的角,在三角形中,,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計(jì)算,一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角,考查計(jì)算能力,屬于中等題.9、C【解析】直接由公式,計(jì)算兩直線的方向向量的夾角,進(jìn)而得出直線與所成角的大小【詳解】因?yàn)?,,所以,所以,所以直線與所成角的大小為故選:C10、A【解析】作出圖示,根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則,即可得答案.【詳解】如圖示:連接OF,因?yàn)镻為EF中點(diǎn),,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),則,故選:A11、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故A錯(cuò)誤;拋物線的準(zhǔn)線方程為,故B錯(cuò)誤;拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,故C正確,D錯(cuò)誤;故選:C.12、B【解析】根據(jù)程序框圖所示代入運(yùn)行即可.【詳解】初始輸入:;第一次運(yùn)算:;第二次運(yùn)算:;第三次運(yùn)算:;第四次運(yùn)算:;結(jié)束,輸出34.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】分別求出橢圓和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可出值.【詳解】由橢圓方程可知,,,則,即橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∵拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,∴,即,故答案為:.14、【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法即可求解點(diǎn)P到直線EF的距離.【詳解】解:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,所以,,,所以,,所以點(diǎn)P到直線EF的距離.故答案為:.15、【解析】構(gòu)造函數(shù),結(jié)合題意求得,由此判斷出在上遞增,由此求解出不等式的解集.【詳解】令,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,不等式可化為,則,解得:【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)點(diǎn)是弦的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),利用點(diǎn)差法求解.【詳解】設(shè),且,則,(1),(2)得:,,.又,,.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)相離,理由見解析;(2)0或【解析】(1)求出圓心到直線的距離和半徑比較即可判斷;(2)求出圓心到直線的距離,利用弦長(zhǎng)計(jì)算即可得出.【詳解】(1)圓C:的圓心為,半徑為2,當(dāng)時(shí),線l:,則圓心到直線的距離為,直線l與圓C相離;(2)圓心到直線的距離為,弦長(zhǎng)為,則,解得或.18、(1)(2)存在【解析】(1)利用“退作差”法求得的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)求和法求得,由此求得.【小問1詳解】依題意①,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),②,①-②得,,時(shí),上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意恒成立.19、(1)(2)【解析】(1)由正弦定理邊化角,可求得角的正弦,由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由(1),由余弦定理,求出邊的長(zhǎng),進(jìn)一步求得面積【小問1詳解】因?yàn)?,由正弦定理得因,所?因?yàn)榻菫殁g角,所以角為銳角,所以【小問2詳解】由(1),由余弦定理,得,所以,解得或,不合題意舍去,故的面積為=20、(1)(2)或【解析】(1)設(shè)曲線上的任意一點(diǎn),由題意可得,化簡(jiǎn)即可得出(2)分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論,當(dāng)斜率不存在時(shí),即可求出、的坐標(biāo),從而求出,當(dāng)直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,,,聯(lián)立直線與圓的方程,消元列出韋達(dá)定理,則,即可求出,從而求出直線方程,由圓心在直線上,即可求出弦長(zhǎng);【小問1詳解】解:(1)設(shè)曲線上的任意一點(diǎn),由題意可得:,即,整理得【小問2詳解】解:依題意當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為,則,則或,即、,所以、,所以滿足條件,此時(shí),當(dāng)直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,,,則,消去整理得,由,解得或,所以、,因?yàn)?,,所以,解得,所以直線方程為,又直線過圓心,所以,綜上可得或;21、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意可以求出橢圓的焦點(diǎn),再根據(jù)橢圓的離心率公式,求出的值,然后結(jié)合橢圓的關(guān)系求出,最后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)根據(jù)平面向量共線定理可以得出A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,再設(shè)出直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求出直線AB的斜率,最后根據(jù)三角形面積結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出的面積.【詳解】(Ⅰ)由題意,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意可得,又,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(Ⅱ)設(shè),,由得:,驗(yàn)證易知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立橢圓方程,得:,整理得:,得:,將代入得,所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求直線斜率和三角形面積問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.22、(1)證明見解析(2)【解析】(1)由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得證;(2)分別選①,②,③可求得為的中點(diǎn),再以為坐標(biāo)原點(diǎn),向量的方向分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用
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