2023-2024學年安徽省蕪湖市四校聯(lián)考高二上數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2023-2024學年安徽省蕪湖市四校聯(lián)考高二上數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．正方體中，E、F分別是與的中點，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.5．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.6．焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.7．設等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A.28 B.39C.56 D.1178．已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.9．過雙曲線右焦點F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點B，若，則雙曲線C的離心率為（）A.或 B.2或C.或 D.2或10．已知函數(shù)的定義域為，若，則（）A. B.C. D.11．已知正數(shù)x，y滿足，則取得最小值時（）A. B.C.1 D.12．給出命題：若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某位同學參加物理、化學、政治科目的等級考，依據(jù)以往成績估算該同學在物理、化學、政治科目等級中達的概率分別為假設各門科目考試的結(jié)果互不影響，則該同學等級考至多有1門學科沒有獲得的概率為___________.14．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若是等腰三角形，且，則的面積為___________.15．已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為____________________.16．在數(shù)列中，，，記是數(shù)列的前項和，則=___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上（1）求橢圓的標準方程；（2）若過定點的直線交橢圓于不同的兩點、(點在點、之間)，且滿足，求的取值范圍.19．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與交于不同的兩點，求面積的最大值.20．（12分）已知直線經(jīng)過點且斜率為（1）求直線的一般式方程（2）求與直線平行，且過點的直線的一般式方程（3）求與直線垂直，且過點的直線的一般式方程21．（12分）某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.22．（10分）為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機抽取了一個容量為200的樣本，測量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；（2）記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機器一個月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達到9000元，則需要對該工廠設備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設備實施升級改造.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標系，求出E,F,D,D1點的坐標，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎題.2、A【解析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.3、C【解析】直接由等差數(shù)列求和公式結(jié)合，求出，再由求和公式求出即可.【詳解】由題意知：，解得，則.故選：C.4、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B5、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.6、A【解析】直接由焦點位置及焦點到準線的距離寫出標準方程即可.【詳解】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準線的距離為，故拋物線的標準方程是.故選：A.7、B【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為等差數(shù)列中，，則.故選：B.8、B【解析】令，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B9、D【解析】求得點A，B的坐標，利用轉(zhuǎn)化為坐標比求解.【詳解】不妨設直線，由題意得，解得，即；由得，即，因為，所以，所以當時，，；當時，，則，故選：D10、D【解析】利用導數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由導數(shù)的定義可得.故選：D.11、B【解析】根據(jù)基本不等式進行求解即可.【詳解】因為正數(shù)x，y，所以，當且僅當時取等號，即時，取等號，而，所以解得，故選：B12、C【解析】若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不過第四象限，原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題；其逆命題為：若函數(shù)的圖象不過第四象限，則函數(shù)是冪函數(shù)是假命題，所以原命題的否命題也是假命題.故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題有一個．選C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】考慮3門或者2門兩種情況，計算概率得到答案.【詳解】.故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意可知，，再結(jié)合，即可求出各邊，從而求出的面積【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為故答案為：15、【解析】依題意，設所求的雙曲線的方程為.點為該雙曲線上的點，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.16、930【解析】當為偶數(shù)時，，所以數(shù)列前60項中偶數(shù)項的和，當為奇數(shù)時，，因此數(shù)列是以1為首項，公差為2等差數(shù)列，前60項中奇數(shù)項的和為，所以.考點：遞推數(shù)列、等差數(shù)列.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）詳見解析.【解析】（1）由，求導，得到，寫出切線方程；（2）求導，再分，，討論求解.【小問1詳解】解：因為，所以，則，所以，所以曲線在點處的切線方程是，即；【小問2詳解】因為，所以，當時，成立，則在上遞減；當時，令，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增；綜上：當時，在上遞減；當時，在上遞減，在上遞增；18、（1）（2）【解析】（1）代入點坐標，結(jié)合離心率，以及即得解；（2）設直線方程，與橢圓聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理和判別式，分析即得解【小問1詳解】由題意可知：，解得：橢圓的標準方程為：【小問2詳解】①當直線斜率不存在，方程為，則，.②當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立得：.由得：.設，，則，，又，，，則，，所以，所以，解得：,又，綜上所述：的取值范圍為.19、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計算得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標準方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設直線的方程為，由方程組得，設，，所以，，所以，所以，令（），則，，因為在上單調(diào)遞增，所以當，即時，面積取得最大值為.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1）（2）（3）【解析】（1）先寫點斜式方程，再化一般式，（2）根據(jù)平行設一般式，再代點坐標得結(jié)果，（3）根據(jù)垂直設一般式，再代點坐標得結(jié)果.【詳解】(1)(2)設所求方程為因為過點，所以(3)設所求方程為因為過點，所以【點睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.21、（1）；（2）估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2024年.【解析】（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；（2）代入，可估計2021年的營業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應的t的值為121，營業(yè)收入，所以估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為，所以估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號為14，即2024年.22、（1）件；（2）需要對該工廠設備實施升級改造.【解析】（1）根據(jù)評論分布直方圖面積之和為1列等式計算得，用200乘以內(nèi)頻率即可得出答案；（2）根據(jù)題意計算等品件，不合格品有件，進而得合格品有件，根據(jù)題意計算其利潤與9000比較判定需要對該工廠設備實施升級改造.【詳解】解：（1）因為，解得，所以200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)為（