重慶市南開(kāi)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三一輪測(cè)試數(shù)學(xué)試題

重慶市南開(kāi)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三一輪測(cè)試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則內(nèi)角（）A． B． C． D．2．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位3．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．4．黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門(mén)進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門(mén)的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．5．已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，是上一點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則為()A． B．40 C．16 D．6．已知雙曲線(xiàn)C：=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為的直線(xiàn)交C的右支于點(diǎn)A，若|OA|=|OF|，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C．2 D．+17．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．8．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．9．已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題：①在拋物線(xiàn)上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)僅有一個(gè)；②若是拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；③無(wú)論過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)在什么位置，總有；④若點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為，則三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．11．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]12．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，那么該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)是曲線(xiàn)（）圖象上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____.14．已知，那么______.15．已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若，設(shè)，且，則該雙曲線(xiàn)的焦距的取值范圍是________.16．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為_(kāi)___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，證明：18．（12分）已知橢圓與拋物線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)，且離心率為，設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)與軸不垂直的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界）時(shí)，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.19．（12分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，求證：M，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）已知點(diǎn)在棱上且，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.22．（10分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．2、D【解析】，所以要的函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到，故選D3、B【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.4、D【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門(mén)的發(fā)展有顯著效果，故選D．5、D【解析】

如圖所示，過(guò)分別作于，于，利用和，聯(lián)立方程組計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：過(guò)分別作于，于.，則，根據(jù)得到：，即，根據(jù)得到：，即，解得，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)中弦長(zhǎng)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點(diǎn)，則，整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.7、C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問(wèn)題，通過(guò)確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問(wèn)題可得解.8、A【解析】

根據(jù)題意，可得幾何體，利用體積計(jì)算即可.【詳解】由題意，該幾何體如圖所示：該幾何體的體積.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了常見(jiàn)幾何體的三視圖和體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

①：由拋物線(xiàn)的定義可知，從而可求的坐標(biāo)；②：做關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，通過(guò)分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取最小值，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求此時(shí)最小值；③：設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求，從而可判斷出的關(guān)系；④：計(jì)算直線(xiàn)的斜率之差，可得兩直線(xiàn)斜率相等，進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.【詳解】解：對(duì)于①，設(shè)，由拋物線(xiàn)的方程得，則，故，所以或，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有二個(gè)，故①不正確；對(duì)于②，不妨設(shè)，則關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，故②正確；對(duì)于③，由題意知，，且的斜率不為0，則設(shè)方程為：，設(shè)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程為，，整理得，則，所以，則.故的傾斜角互補(bǔ)，所以，故③正確.對(duì)于④，由題意知，由③知，則，由，知，即三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義，考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查了直線(xiàn)方程，考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題，結(jié)合初中的“飲馬問(wèn)題”分析出何時(shí)取最小值.10、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．11、B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率，觀察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率，，，過(guò)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)斜率為－1，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性規(guī)劃．解題關(guān)鍵是理解非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率，由直線(xiàn)與可行域的關(guān)系可得結(jié)論．12、A【解析】

由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，求出，由拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線(xiàn)，可得，則，故其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，，又，，則雙曲線(xiàn)的離心率為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)及利用過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率.弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線(xiàn)斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由切線(xiàn)方程得縱坐標(biāo)后可求得．【詳解】設(shè)，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值．本題屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由已知利用誘導(dǎo)公式可求，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵，∴，，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故，由雙曲線(xiàn)定義可得，再求的值域即可.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故.在中，由雙曲線(xiàn)的定義可得，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)定義及其性質(zhì)，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.16、【解析】，所以．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類(lèi)討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；（Ⅱ）求導(dǎo)，，由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，求出，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn)，即可證明出.【詳解】解：（Ⅰ），，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，；在區(qū)間上唯一零點(diǎn)；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在無(wú)極值點(diǎn)；在有極小值點(diǎn)，即為；在有極大值點(diǎn)，即為，由，即，，2…，，，，，，以及的單調(diào)性，，，，，由函數(shù)在單調(diào)遞增，得，，由在單調(diào)遞減，得，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題和證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.18、（1）（2）或【解析】

（1）由已知條件得到方程組，解得即可；（2）由題意得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由得到的范圍，設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為則，所以在軸上方，只需位于內(nèi)（含邊界）就可以，即滿(mǎn)足，得到不等式組，解得即可；【詳解】解：（1）由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為聯(lián)立，消元整理得，，由，解得設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以在軸上方，只需位于內(nèi)（含邊界）就可以，即滿(mǎn)足，即，解得或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、(1)AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】

設(shè).（1）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，，所以直線(xiàn)AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，則，故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（2）根據(jù)題意得點(diǎn)，若直線(xiàn)AB的斜率為0，則直線(xiàn)AB的方程為，A、C兩點(diǎn)重合，顯然M，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)；若直線(xiàn)AB的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，則，設(shè)直線(xiàn)BM、CM的斜率分別為、，則，即=，即M，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)．（3）根據(jù)題意，得直線(xiàn)GH的斜率存在，設(shè)該直線(xiàn)的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，結(jié)合，得，當(dāng)時(shí)，該直線(xiàn)為軸，即，此時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)P都滿(mǎn)足，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，代入橢圓C的方程，得，整理，得，再結(jié)合，得到，即，綜上，得到實(shí)數(shù)的取值范圍是．20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）通過(guò)證明面，即可由線(xiàn)面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求到面的距離，利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）因?yàn)槔庵侵比庵?，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點(diǎn)所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點(diǎn)睛】本題考查由線(xiàn)面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點(diǎn)面距離，屬綜合中檔題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識(shí)可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標(biāo)系，可求得面PAB的法向量，再運(yùn)用線(xiàn)面角的向量求法，可求得直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.【詳解】（