安徽省安慶五校聯(lián)盟2023年高考考前沖刺卷：數(shù)學試題試卷

安徽省安慶五校聯(lián)盟2023年高考考前沖刺卷：數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設摸得白球數(shù)為，已知，則A． B． C． D．2．某中學有高中生人，初中生人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A．5 B． C．13 D．4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．5．設，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．6．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．7．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若關于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知為等比數(shù)列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．10．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻．這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（）A． B． C． D．12．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有2名老師和3名同學，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學生人數(shù)，則對應的排法有______種；______；14．近年來，新能源汽車技術不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.15．雙曲線的離心率為_________．16．已知向量，且向量與的夾角為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是:（是參數(shù)）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.（2）設為曲線上任意一點，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的右焦點為，過作軸的垂線交橢圓于點（點在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.（1）設橢圓的離心率為，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.19．（12分）某藝術品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側面用于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設，圓錐的側面積為.（1）求關于的函數(shù)關系式；（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積最大.求取得最大值時腰的長度.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線上的點M對應的參數(shù)，射線與曲線交于點．（1）求曲線，的直角坐標方程；（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．21．（12分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．【點睛】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用．2、B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎題.3、C【解析】

先化簡復數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C【點睛】考查復數(shù)的運算，是基礎題.4、A【解析】

根據(jù)題意，可得幾何體，利用體積計算即可.【詳解】由題意，該幾何體如圖所示：該幾何體的體積.故選：A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題．5、D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點：平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數(shù)量積及平面幾何知識，又能考查學生的數(shù)形結合能力及轉化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運算進行轉化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.6、D【解析】

利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.7、C【解析】

由可得，再利用計算即可.【詳解】因為，，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查二倍角公式的應用，考查學生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎題.8、C【解析】

求導，先求出在單增，在單減，且知設，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構造法：構造函數(shù)(易求，可解)，轉化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).9、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標和性質可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設等比數(shù)列的公比為,則當時,,∴；當時,,∴.故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質應用,意在考查學生的數(shù)學運算能力,屬于基礎題.10、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關系，考查運算求解能力，屬于中等題.11、D【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．記這5部專著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為．故選D．【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.12、C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36；1.【解析】

的可能取值為0，1，2，3，對應的排法有：.分別求出，，，，由此能求出.【詳解】解：有2名老師和3名同學，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學生人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3，對應的排法有：.∴對應的排法有36種；，，，，∴故答案為：36；1.【點睛】本題考查了排列、組合的應用，離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，屬于中檔題.14、【解析】

記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：，由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：故答案為：【點睛】本題考查了條件概率的應用，考查了學生概念理解，數(shù)學應用，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.15、2【解析】16、1【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可．【詳解】解：∵向量，且向量與的夾角為，∴||；所以：?（）2cos2﹣2＝1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】

（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，在直角坐標條件下求出曲線的圓心坐標和半徑，將直線的參數(shù)方程化為普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）將圓化為參數(shù)方程形式，代入由三角公式化簡可求其取值范圍．【詳解】（1）曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為：直線的直角坐標方程為：圓心到直線l的距離（弦心距）圓心到直線的距離為：或（2）曲線的方程可化為，其參數(shù)方程為：為曲線上任意一點，的取值范圍是18、（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】

（1）寫出，根據(jù)，斜率乘積為-1，建立等量關系求解離心率；（2）寫出直線AB的方程，根據(jù)韋達定理求出點B的坐標，計算出弦長，根據(jù)垂直關系同理可得，利用等式即可得解.【詳解】（1）由題可得，過點作直線交橢圓于點，且，直線交軸于點.點為橢圓的右頂點時，的坐標為，即，，化簡得：，即，解得或（舍去），所以；（2）橢圓的方程為，由（1）可得，聯(lián)立得：，設B的橫坐標，根據(jù)韋達定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，則，化簡得：，，此方程無解，所以不存在使得成立.【點睛】此題考查求橢圓離心率，根據(jù)直線與橢圓的位置關系解決弦長問題，關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋達定理在解決解析幾何問題中的應用.19、（1），（2）側面積取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為【解析】試題分析：（1）由條件，，，所以S，；（2）令，所以得，通過求導分析，得在時取得極大值，也是最大值．試題解析：（1）設交于點，過作，垂足為，在中，，，在中，，所以S，（2）要使側面積最大，由（1）得：令，所以得，由得：當時，，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在時取得極大值，也是最大值；所以當時，側面積取得最大值，此時等腰三角形的腰長答：側面積取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為．20、（1）．．（2）【解析】

（1）先求解a,b，消去參數(shù)，即得曲線的直角坐標方程；再求解，利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得曲線的直角坐標方程；（2）由于，可設，，代入曲線直角坐標方程，可得的關系，轉化，可得解.【詳解】（1）將及對應的參數(shù)，代入得，即，所以曲線的方程為，為參數(shù)，所以曲線的直角坐標方程為．設圓的半徑為R，由題意，圓的極坐標方程為（或），將點代入，得，即，所以曲線的極坐標方程為，所以曲線的直角坐標方程為．（2）由于，故可設，代入曲線直角坐標方程，可得，，所以．【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標，參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標的幾何意義的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中