2023-2024學(xué)年山東省陽(yáng)谷縣二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省陽(yáng)谷縣二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊所在平面外一點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.2．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.3．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.4．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.85．如圖，在長(zhǎng)方體中，是線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A. B.C. D.6．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，7．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與8．已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，，分別為，上的點(diǎn)，且，，，則（）A. B.C.1 D.9．已知空間四邊形，其對(duì)角線、，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.10．已知直線，兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則11．已知平面的一個(gè)法向量為，則x軸與平面所成角的大小為（）A. B.C. D.12．劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)______.14．如圖所示，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則__________.15．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為______.16．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行，設(shè)直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn).（1）求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；（2）若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B，且圓心C在直線上，求圓C的方程.18．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解.問(wèn)題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19．（12分）在一次重大軍事聯(lián)合演習(xí)中，以點(diǎn)為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒區(qū)域，任何船只不得經(jīng)過(guò)該區(qū)域．已知點(diǎn)正北方向海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東，且與點(diǎn)相距海里的位置，經(jīng)過(guò)小時(shí)又測(cè)得該船已行駛到位于點(diǎn)北偏東，且與點(diǎn)相距海里的位置（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；（2）該船能否不改變方向繼續(xù)直線航行？請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求異面直線與所成角余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角大小為?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2的周長(zhǎng)為6，離心率等于.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(4，0)的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時(shí)三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算，即可計(jì)算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)是時(shí)，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.2、A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A3、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：D4、C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】,或，即或.故選：C5、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】連接、，因，因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，且，則，因此，因此，.故選：A.6、D【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.7、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，故選：C8、B【解析】由，，得，然后利用向量的加減法法則把向量用向量表示出來(lái)，可求出的值，從而可得答案【詳解】解：因?yàn)?，，所以所?因?yàn)?，所以，所以，故選：B9、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點(diǎn)出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來(lái)表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時(shí)注意方法，即從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點(diǎn)，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個(gè)過(guò)程，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，A選項(xiàng)正確，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，和可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A11、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為，再利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解；【詳解】解：依題意軸的方向向量可以為，設(shè)x軸與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，故選：C12、B【解析】此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，該正六邊形是六個(gè)邊長(zhǎng)等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查幾何概率模型求解，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出正六邊形的面積和圓的面積.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及積的求導(dǎo)法則計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，則，所以.故答案為：14、##【解析】利用直線所過(guò)點(diǎn)求得直線的斜率，從而求得.【詳解】由圖象可知直線過(guò)，所以直線的斜率為，所以.故答案為：15、【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長(zhǎng)度即可.【詳解】點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.16、##31.5【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）由直線平行及所過(guò)的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程，進(jìn)而求A、B坐標(biāo).（2）由（1）求出垂直平分線方程，并聯(lián)立直線求圓心坐標(biāo)，即可求圓的半徑，進(jìn)而寫出圓C的方程.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，的斜率為，又直線與直線平行且過(guò)，所以直線為，即，令，則；令，則.所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：垂直平分線為，即，聯(lián)立，可得，即，故圓的半徑為，所以圓C的方程為.18、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選③：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.小問(wèn)1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以數(shù)列等差數(shù)列，所以.19、（1）海里/小時(shí)；（2）該船要改變航行方向，理由見解析.【解析】（1）設(shè)一個(gè)單位為海里，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可求得該船的行駛速度；（2）求出直線的方程，計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)一個(gè)單位為海里，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則坐標(biāo)平面中，，且，，則、、，，所以，所以、兩地的距離為海里，所以該船行駛的速度為海里/小時(shí).【小問(wèn)2詳解】解：直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以直線會(huì)與以為圓心，以個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓相交，因此該船要改變航行方向，否則會(huì)進(jìn)入警戒區(qū)域20、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問(wèn)題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據(jù)二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關(guān)系確定二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小問(wèn)2詳解】由題意直線平面，四邊形為正方形，故以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)面的法向量為，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值為21、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，點(diǎn)在線段上位于靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)處.【解析】（1）證明平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合的取值范圍可求得的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明：，，為的中點(diǎn)，則且，四邊形為平行四邊形，.，即，，又平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】解：，為的中點(diǎn)，.平面平面，且平面平面，平面，平面.如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，則，，異面直線與所成角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，其中，所以，，且，設(shè)平面法向量為，所以，令，可得，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，二面角為，則，整理可得，因，解得.故存在點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上位于靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)處.22、（1）；（2）或.【解析】（1）由條件得，再結(jié)合，可求得橢圓方程；（2）由題意設(shè)直線l：x=my+4，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，整理后利用根與系的關(guān)系可得，，再由