八年級數(shù)學上冊（蘇科版）第3章 勾股定理 單元測試（含解析）

第第頁八年級數(shù)學上冊（蘇科版）第3章勾股定理單元測試（含解析）第3章勾股定理（單元測試·基礎卷）

【要點回顧】

【知識點1】勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.（即：）

【知識點2】勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a、b、c，滿足，那么這個三角形是直角三角形.

【知識點3】勾股數(shù)

滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A．B．C．D．

2．如圖所示，一文物被探明位于點地下處，由于A點地面下有障礙物，考古人員不能垂直下挖，他們從距離點的B處斜著挖掘，那么要找到文物至少要挖（）米

A．14B．48C．50D．60

3．如圖，陰影部分是一個半圓，則這個半圓的面積是（）．

A．B．C．D．

4．《九章算術》中有一題：今有開門去閫十寸，不合二寸，問門廣幾何？大意是：如圖，從點（是的中點）處推開雙門，點與點距離門檻的距離，都為10寸，雙門間隙，的距離為2寸（即為2寸），根據(jù)題意可列出的等式關系是（）．

A．B．

C．D．

5．如圖，以和b為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長是下列哪一個關于x的方程的根（）

A．B．C．D．

6．如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門鈴5m及5m以內時，門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”．如②圖所示，一個身高1.5m的學生走到D處，門鈴恰好自動響起，則BD的長為（）

A．3米B．4米C．5米D．7米

7．傳說，古埃及人常用“拉繩”的方法畫直角，有一根長為m的繩子，古埃及人用這根繩子拉出了一個斜邊長為n的直角三角形，那么這個直角三角形的面積用含m和n的式子可表示為（）

A．B．C．D．

8．如圖，A，B兩地距公路l的距離分別為AC、BD，BD＝4km，小華從A處出發(fā)到公路l上的點P處取一物品后去到B處，全程共18km，已知PC＝5km，PD＝3km，則A處距離公路l(AC)（）

A．13kmB．12kmC．8kmD．8km

9．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如圖方式擺放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一條直線上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是線段AD上的動點，N是線段BC上的動點，MN的長度不可能是（）

A．9B．12C．14D．16

10．圖，已知A村莊與B村莊相距，A村莊的土地灌溉點在C點處，B村莊的土地灌溉點在D處．已知，現(xiàn)要在線段之間選一點建一水站E，使得水站E分別到灌溉點C與灌溉點D的距離之和最短，最短距離是（）

A．10B．17C．14D．13

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則AB2+AC2+BC2＝．

12．已知某直角三角形的一條直角邊和斜邊長分別為和．

（1）該直角三角形的另一直角邊長為________；

（2）該直角三角形斜邊上的高為________．

13．如圖，某處有一塊長方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，僅僅少走了米．

14．如圖，在，，以的三邊為邊向外作正方形，正方形，正方形，P是上一點，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則四邊形的面積等于．

15．若Rt△ABC兩直角邊上的中線分別是AE和BD，則AE2+BD2與AB2的比值是．

16．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高的端點A到達，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．

17．如圖，在筆直的公路旁有一個城市書房C，C到公路的距離為80米，為100米，為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車鳴笛聲會使以公交車為中心170米范圍內受到噪音影響，那么公交車至少秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．

18．到目前為止，勾股定理的證明已超過種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個直角三角形如圖擺放，已知，點F落在上，點C與點E重合，斜邊與斜邊交于點M，連接，，若，，則四邊形的面積為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19．（8分）如圖，一架梯子AB長5m，斜靠在一面豎直的墻上．若要使梯子頂端離地面的豎直高度AC為4.8m，求此時梯子底端離墻的距離BC．

20．（8分）如圖，點O是位于東西海岸線的一個港口，A，B兩艘客輪從港口O同時出發(fā)，A客輪沿北偏東75°航行，航速是每小時18海里，B客輪沿北偏西15°方向航行，航速是每小時24海里，請計算3小時之后兩客輪之間的距離．

21．（10分）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶，曾經(jīng)提出用三角形的三邊求面積的秦九韶公式．他的方法大致如下：如圖，給定一個三角形，三邊分別為，，，過點作于，為，的公共邊，則可以利用這個等量關系，運用勾股定理建立方程，求出，再求出高，從而求出三角形的面積．

請你用這一方法，解決下列問題：

已知，，，，求的面積．

22．（10分）教版八年級上冊課本第85頁中有下面這道題：

小明同學按照下面的方法解決了這個問題：

如圖，過點A作，延長至D，使，連接，交直線l于點C，連接，此時最短，根據(jù)對稱可知：，∴此時最短．

請你幫助小明解決如下問題：過點B作，垂足為F，若米，米，米，求的長．

23．（10分）問題情境：

勾股定理是一個古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法．下面利用拼圖的方法探究證明勾股定理．

定理表述：

（1）請你結合圖1中的直角三角形，敘述勾股定理（可以選擇文字語言或符號語言敘述）；

嘗試證明：

（2）利用圖1中的直角三角形可以構造出如圖2的直角梯形，請你利用圖2證明勾股定理．

定理應用：

（3）某工程隊要從點A向點E鋪設管道，由于受條件限制無法直接沿著線段鋪設，需要繞道沿著矩形的邊和鋪設管道，經(jīng)過測量米，米，已知鋪設每米管道需資金1000元，請你幫助工程隊計算繞道后費用增加了多少元？

24．（12分）

請閱讀《三角板中的學問》，并完成以下問題：

三角板中的學問

直角三角板是我們學習中常用的作圖工具，我們知道一副直角三角板中，一個三角板是等腰直角三角形，另一個直角三角板有一個銳角為，且角所對的直角邊是斜邊的一半．

數(shù)學小組的同學們在活動中進行了量一量、拼一拼的活動．

填空：如圖①，希望小組的同學們量出的直角三角板最短直角邊為，則較長直角邊約為．

探究一：智慧小組把一副直角三角形按如圖②所示方式疊放在一起，，與交于點F，求的度數(shù)并說明理由．

探究二：創(chuàng)新小組把一副直角三角形按如圖③所示方式疊放在一起，，求的度數(shù)并說明理由．

參考答案

1．D

【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項判斷，即可求解．

解：A、，不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

B、，不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

C、，不是“勾股數(shù)”，故本選項不符合題意；

D、，是“勾股數(shù)”，故本選項符合題意；

故選：D

【分析】此題主要考查了勾股數(shù)，關鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．

2．C

【分析】根據(jù)題意，，根據(jù)勾股定理即可求解．

解：∵，，

∴

故選：C．

【分析】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．

3．B

【分析】根據(jù)圖中的直角三角形中已知斜邊與一條直角邊，求出直徑，計算圓的面積即可．

解：由圖中直角三角形中：斜邊，一條直角邊，根據(jù)勾股定理可得：

，

這個半圓的面積

故選：B．

【分析】本題考查了勾股定理及圓的面積計算，關鍵是掌握勾股定理所揭示的直角三角形邊長之間關系和圓的面積公式．

4．C

【分析】在中，用含有的式子表示，根據(jù)勾股定理列出等式關系即可．

解：由題意得：，，

寸，寸，

寸，

在中，由勾股定理得：

，

即，

故選：C．

【分析】本題考查了勾股定理的應用，理清楚題意，構建直角三角形是解題的關鍵．

5．A

【分析】設，利用勾股定理得出答案．

解：設，

根據(jù)勾股定理得：，

整理得：，

故選：A．

【分析】本題考查了勾股定理，利用勾股定理列出式子是解題的關鍵．

6．B

【分析】根據(jù)題意構造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．

解：由題意可知．，，

由勾股定理得，

故離門4米遠的地方，燈剛好打開．

故選：B．

【分析】本題考查正確運用勾股定理，解題的關鍵是善于觀察題目的信息．

7．A

【分析】設這個直角三角形的兩直角邊分別為a，b，根據(jù)三角形的周長以及勾股定理得出方程組，利用完全平方公式求出2ab=（a+b）2-（a2+b2）=m2-2mn，兩邊除以4即可求出這個直角三角形的面積．

解：設這個直角三角形的兩直角邊分別為a，b，

由題意可得，，

∴2ab=（a+b）2-（a2+b2）=（m-n）2-n2=m2-2mn，

∴這個直角三角形的面積=ab=，

故選：A．

【分析】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．也考查了完全平方公式，三角形的周長與面積．

8．B

【分析】由題意根據(jù)勾股定理先求出BP，進而得出AP并根據(jù)勾股定理即可得出AC的長.

解：∵，,

∴,

∵，

∴，

∵，

∴.

故選：B.

【分析】本題考查勾股定理的實際應用，熟練掌握勾股定理即進行分析是解題的關鍵.

9．D

【分析】當MN⊥BC時最短;當M在點A,N在點C時,MN最長,利用勾股定理計算即可;

解：解:當MN⊥BC時

MN最短=AB=AE+BE=4+5=9

當M在點A，N在點C時,

MN最長===15

∴9≤MN≤15

故答案選D

【分析】本題考查了兩條平行線之間的距離以及勾股定理,識別出MN最短情況和最長情況是解題的關鍵．

10．D

【分析】作點C關于的對稱點，連接，連接，交于E，過點D作，交的延長線于F，再根據(jù)勾股定理求解即可．

解：作點C關于的對稱點，連接，連接，交于E，過點D作，交的延長線于F，

∴，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴，

在中，

∵，

∴，

∴，

故選：D．

【分析】本題考查了軸對稱的性質，勾股定理，能夠根據(jù)題意找出點E是解題的關鍵．

11．50

【分析】根據(jù)∠C的度數(shù)確定△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，再根據(jù)勾股定理即可求解．

解：∵△ABC中，∠C=90°，

∴△ABC為直角三角形，且AB為斜邊．

∵AB=5，

∴．

故答案為：50．

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握該知識點是解題關鍵．

12．；

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出直角三角形的另一條直角邊；（2）根據(jù)面積相等求出斜邊上的高即可．

解：（1）由勾股定理可得另一直角邊長為；

（2）設該直角三角形斜邊上的高為，

根據(jù)面積相等可得，

解得：．

故答案為：（1）；（2）．

【分析】本題考查了勾股定理的逆應用和求三角形的高，正確計算是解答本題的關鍵．

13．4

【分析】利用勾股定理求出的長即可得到答案．

解：∵在中，，

∴，

∴，

∴僅僅少走了4米，

故答案為：4．

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，熟知勾股定理是解題的關鍵．

14．18.5

【分析】先求出的邊長，再利用進四邊形的面積解題即可得到答案．

解：正方形和正方形的面積分別為，，且，，

正方形的面積

,

四邊形的面積

故答案為：．

【分析】本題考查了勾股定理，正確掌握勾股定理是解題的關鍵．

15．5：4

【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，再將等式變形為：AE2+BD2=AB2+CD2+CE2，結合三角形中線的性質可得CD2+CE2=AB2，進而可求解．

解：如圖，∠C=90°，

由勾股定理可得：AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，

①+②得AE2+BD2=AC2+CE2+BC2+CD2=AB2+CD2+CE2，

∵AE，BD是△ABC的中線，

∴CD=AC，CE=BC，

∴CD2+CE2=（AC）2+（BC）2=AB2，

∴AE2+BD2=AB2+AB2=AB2，

即AE2+BD2與AB2的比值是5：4．

故答案為：5：4．

【分析】本題主要考查勾股定理，三角形的中線，靈活運用勾股定理解題是求解的關鍵．

16．

【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進行求解即可．

解：∵圓柱底面圓的周長為，高為5，

∴將側面展開為一長為12，寬為5的矩形，

如圖，則：，

∴；

即：螞蟻爬行的最短距離為13．

故答案為：．

【分析】本題考查勾股定理的應用—最短路徑問題．解題的關鍵是將幾何體展開，利用勾股定理進行求解．

17．70

【分析】如圖，設米，由勾股定理求出和的長，則可求出答案．

解：如圖，設米，

∵，米，

∴（米），

∵米，米，

∴（米），

∴（米），

∴公交車鳴笛聲會受到噪音影響的時間為（秒），

故答案為：70．

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．

18．53

【分析】根據(jù)全等三角形的性質可得，，再根據(jù)四邊形的面積等于的面積與的面積的和，列出算式計算即可求解．

解：∵，

∴，，

∴．

故答案為：．

【分析】本題考查了勾股定理的證明，關鍵是求出，，以及由圖形得到四邊形的面積等于的面積與的面積的和．

19．此時梯子底端離墻的距離為1.4m．

【分析】利用勾股定理解答即可．

解：∵△ABC是直角三角形，

∴

答：此時梯子底端離墻的距離為1.4m．

【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是熟練掌握勾股定理，如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2；即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

20．90海里

【分析】根據(jù)題意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解．

解：根據(jù)題意得：∠AOB=75°+15°=90°，

OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），

根據(jù)勾股定理得：海里，

即3小時之后兩客輪之間的距離90海里．

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．

21．的面積為84

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理可以列出相應的方程，然后求出BD的長，再求出AD的長，即可計算出△ABC的面積．

解：設BD的長為x，則CD的長為14-x，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°

∴AD2=AB2-BD2

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