2024屆廣東省江門市普通高中高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣東省江門市普通高中高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.2．等比數(shù)列的公比，中有連續(xù)四項在集合中，則等于（）A. B.C D.3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.4．已知橢圓是橢圓上關于原點對稱的兩點，設以為對角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則（）A.1 B.C. D.5．已知，分別是圓和圓上的動點，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.6．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，7．若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.8．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.29．若等比數(shù)列的前n項和，則r的值為（）A. B.C. D.10．為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓練，現(xiàn)從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進行射門訓練，他們的進球次數(shù)如折線圖所示，則在這次訓練中以下說法正確的是（）A.甲隊球員進球的中位數(shù)比乙隊大 B.乙隊球員進球的中位數(shù)比甲隊大C.乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定 D.甲隊球員進球數(shù)的極差比乙隊小11．已知函數(shù)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.12．在棱長為1的正方體中，點，分別是，的中點，點是棱上的點且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期）.數(shù)學上把這樣的對稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為___14．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實數(shù)m的值為________.15．有一組數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)是，則其方差是________.16．已知點，是橢圓內(nèi)的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且，，數(shù)列滿足：，，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍18．（12分）已知圓過點，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，反射光線剛好經(jīng)過圓心，求反射光線的方程.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，若.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.20．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與交于不同的兩點，求面積的最大值.21．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長22．（10分）設函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的極值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.2、C【解析】經(jīng)分析可得，等比數(shù)列各項的絕對值單調(diào)遞增，將五個數(shù)按絕對值的大小排列，計算相鄰兩項的比值，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因為等比數(shù)列中有連續(xù)四項在集合中，所以中既有正數(shù)項也有負數(shù)項，所以公比，因為，所以，且負數(shù)項為相隔兩項，所以等比數(shù)列各項的絕對值單調(diào)遞增，按絕對值排列可得，因，，，，所以是中連續(xù)四項，所以，故選：C.3、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【詳解】設的公差是，即，顯然，且是常數(shù)，是等比數(shù)列，若中一個為1，則，則不是等比數(shù)列，只要，，都不可能是等比數(shù)列，如，，故選：A4、C【解析】根據(jù)橢圓的對稱性和平行四邊形的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】是橢圓上關于原點對稱兩點，所以不妨設，即，因為平行四邊形也是中心對稱圖形，所以也是橢圓上關于原點對稱的兩點，所以不妨設，即，，得：，即，故選：C5、B【解析】由已知可得，，求得關于直線的對稱點為，則，計算即可得出結果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑設關于直線的對稱點為，則解得，則因為，分別在圓和圓上，所以，，則因為，所以故選：B.6、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結合已知條件，即可求得結果.【詳解】因為命題p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.7、A【解析】由和的分母異號可得【詳解】由題意，解得或故選：A8、A【解析】根據(jù)弦長求得的關系式，結合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立.故選：A9、B【解析】利用成等比數(shù)列來求得.【詳解】依題意，等比數(shù)列的前n項和，，，所以.故選：B10、C【解析】根據(jù)折線圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖，甲隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，乙隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數(shù)都為5，甲、乙進球中位數(shù)相同都為5，A、B錯誤；甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定，C正確.甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C11、A【解析】利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關系及導數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由函數(shù)f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數(shù)y＝f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線的斜率為0，故BCD錯誤，A正確.故選：A.12、A【解析】建立空間直角坐標系，寫出點、、、和向量的、坐標，運用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有，共個，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為，故答案為：14、1【解析】由兩條直線垂直可知，進而解得答案即可.【詳解】因為兩條直線垂直，所以.故答案為：1.15、2【解析】先按照平均數(shù)算出a，再按照方差的定義計算即可?！驹斀狻俊撸?，方差，故答案為：2.16、##【解析】結合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點，設左焦點為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得，由得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用錯位相減法求和即得.(3)將問題等價轉化為對任意恒成立，構造數(shù)列并判斷其單調(diào)性，即可求解作答.【小問1詳解】數(shù)列的前項和為，，，當時，，則，而當時，，即得，因此，數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，數(shù)列中，，，則數(shù)列是等差數(shù)列，而，，即有公差，則，所以數(shù)列，的通項公式分別是：，.【小問2詳解】由(1)知，，則，則有，兩式相減得：，從而得，所以數(shù)列的前n項和.【小問3詳解】由(1)知，，依題意得對任意恒成立，設，則，當，，為單調(diào)遞減數(shù)列，當，，為單調(diào)遞增數(shù)列，顯然有，則當時，取得最大值，即最大值是，因此，，所以實數(shù)k取值范圍是.【點睛】思路點睛：一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解18、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)題意設圓心，利用兩點坐標公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標和半徑，進而得出圓的標準方程；(2)根據(jù)點關于坐標軸對稱的點的特征可得，利用直線的兩點式方程即可得出結果.【小問1詳解】圓過點，，因為圓心在直線：：上，設圓心，又圓過點，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點關于軸的對稱點，則反射光線必經(jīng)過點和點，由直線的兩點式方程可得，即：.19、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項，然后仿寫，作差即可得到的通項公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項公式，觀察是由一個等差數(shù)列加上一個等比數(shù)列得到，要求其前項和，采用分組求和法結合公式法可求出前項和【小問1詳解】當時，，解得；當時，，∴，化簡得，∴是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴20、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計算得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標準方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設直線的方程為，由方程組得，設，，所以，，所以，所以，令（），則，，因為在上單調(diào)遞增，所以當，即時，面積取得最大值為.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.21、（1）證明見解析；（2）當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關系，最后得到答案；（2）當圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率