2024屆廣東省廣州市增城一中數(shù)學高二上期末教學質量檢測試題含解析

2024屆廣東省廣州市增城一中數(shù)學高二上期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的單調增區(qū)間為（）A. B.C. D.3．如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點，點G在EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.4．曲線在處的切線如圖所示，則（）A.0 B.C. D.5．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，6．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準線交于點，若，則的斜率為（）A. B.C. D.7．拋物線C：的焦點為F，P，R為C上位于F右側的兩點，若存在點Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.8．已知，為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.19．如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點，則化簡的結果為（）A. B.C. D.10．若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點，若C為直線與y軸的交點，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.12．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，點P，Q分別是棱BC，CD上的動點，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直線CC'與平面PQC'所成的角為30°，則△PQC'的面積的最小值是__14．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.（?。?5．某地區(qū)有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.16．過拋物線的焦點作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線與A，C，B，D四點，則四邊形ABCD面積的最小值為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）曲線的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，C上的點M滿足，且直線的斜率之積等于（1）求C的方程；（2）過點的直線l交C于A，B兩點，若，其中，證明：18．（12分）已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標為2.（1）求拋物線的標準方程；（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.19．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為（1）若，，求三棱錐的體積；（2）若M為BC的中點，求直線AD與EM所成角的取值范圍21．（12分）已知函數(shù)，當時，函數(shù)有極值1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關于x的方程有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，（1）若，求c的值；（2）求最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.2、D【解析】先求定義域，再求導數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域為令，解得故選：D【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題.3、B【解析】利用空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為，所以，因為E，F(xiàn)分別為SA，BC的中點，所以,故選：B4、C【解析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【詳解】由直線經過，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【點睛】用導數(shù)求切線方程常見類型：(1)在出的切線：為切點，直接寫出切線方程：；(2)過出的切線：不是切點，先設切點，聯(lián)立方程組，求出切點坐標，再寫出切線方程：.5、A【解析】設平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.6、C【解析】設直線的方程為，其中，設點、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，設直線的方程為，其中，設點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.7、A【解析】不妨設，不妨設，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質列出的方程求得后可得結論【詳解】如圖所示，設，不妨設，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A8、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當且僅當時等號成立，故的最小值為1，故選：D.9、C【解析】根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義，即可得到答案；【詳解】故選：C10、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時，不等式為，顯然成立；時，應滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：A11、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點的橫坐標，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當時，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D12、A【解析】可由三視圖還原原幾何體，然后根據(jù)題意的邊角關系，完成體積的求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖：其中平面，，則該四面體的體積為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】設三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由體積法求得的關系，由直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面積的最小值【詳解】解：設三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由長方體性質知兩兩垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由體積可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面積的最小值是8故答案為：814、4500【解析】根據(jù)題意可知大圓柱底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質量為.故答案為：4500.15、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數(shù)的全排列.【詳解】根據(jù)題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205016、512【解析】設出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結合拋物線的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.【詳解】拋物線焦點的坐標為，由題意可知：直線存在斜率且不為零，所以設直線的斜率為，所以直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立得：，設，所以，由拋物線的定義可知：，因為直線互相垂直，所以直線的斜率為，同理可得：，所以四邊形ABCD面積為：，當且僅當時取等號，即當時取等號，故答案為：512三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線的斜率之積等于，列出方程，化簡對比系數(shù)可得；（2）分直線l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線上，且該直線是的中垂線即可得到證明.【小問1詳解】因為C上的點M滿足，所以C表示焦點在x軸上的橢圓，且，即，，所以，設，則，①所以直線的斜率，直線的斜率，由已知得，即，②由①②得，所以C的方程為【小問2詳解】當直線l的斜率為0時，A與重合，B與重合，，，成立.當直線l的斜率不為0時，設l的方程為聯(lián)立方程組，消x整理得所以，解得或設，則，由，得，所以設，由，得，所以，所以，所以點T在直線上，且，所以是等腰三角形，且，所以，綜上，【點睛】關鍵點點晴：本題第二問突破點是證明T在定直線上，且該直線是的垂直平分線，從而得到，考查學生的數(shù)學運算能力，轉化化歸思想.18、(1);(2)見解析.【解析】(1)涉及中點弦,用點差法處理即可求得,進而求得拋物線方程;(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設,直線,則直線分別和拋物線方程聯(lián)立,解得利用,結合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.【詳解】(1)設,則,兩式相減,得:由弦中點縱坐標為2,得,故.所以拋物線的標準方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設直線由得由點在拋物線上,可知上述方程的一個根為.即,同理.直線的斜率為定值.【點睛】本題考查應用點差法處理中點弦問題,直線與拋物線中,斜率為定值問題,考查分析問題的能力,考查學生的計算能力,難度較難.19、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進而結合求解即可得答案；（2）設點，，進而聯(lián)立并結合題意得或，進而結合韋達定理得，再的中點為，證明，進而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，一個焦點為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設點，則點,所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因為，故或設，所以設向量，所以，所以，即，設的中點為，則所以，又因為，所以，所以，因為點關于軸的對稱點為.所以，所以，所以是等腰直角三角形.20、（1）（2）【解析】（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面積和高，進而求出三棱錐的體積；（2）利用空間基底表達出，結合第一問結論求出，從而求出答案.【小問1詳解】取AC的中點F，連接FD，F(xiàn)E，由BC=2，則，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即為二面角的平面角，即，連接DE，作DH⊥FE，因為，所以平面DEF，因為DH平面DEF，所以AC⊥DH，因為，所以DH⊥平面ABC，因為，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），則，因為，，所以△DEF為等邊三角形，則，故三棱錐的體積；【小問2詳解】設，則，，由（1）知：，，取為空間中的一組基底，則，由第一問可知：，則其中，且，，故，由第一問可知，又是的中點，所以，所以，因為三棱錐中，所以，所以，故直線AD與EM所成角范圍為.【點睛】針對于立體幾何中角度范圍的題目，可以建立空間直角坐標系來進行求解，若不容易建立坐標系時，也可以通過基底表達出各個向量，進而求出答案.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，可得可得結果.（2）根據(jù)等價轉換的思想，可得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，并比較的極值與的大小關系，可得結果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數(shù)的解析式為（2）由（1）有可知：故函數(shù)的增區(qū)