2024屆河南省豫南九校高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆河南省豫南九校高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.2．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.4．直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B.C. D.45．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.6．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為互斥事件的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；至多有1個(gè)紅球7．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或8．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.649．如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，為的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.911．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.12．?dāng)?shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)，則平面與平面夾角的正切值為_(kāi)__________.14．千年一遇對(duì)稱(chēng)日，萬(wàn)事圓滿(mǎn)在今朝，年月日又是一個(gè)難得的“世界完全對(duì)稱(chēng)日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱(chēng)的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對(duì)稱(chēng)自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個(gè)（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__15．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布（），若ξ在內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在內(nèi)取值的概率為_(kāi)_____16．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，且，.求證：為定值，并計(jì)算出該定值.18．（12分）已知圓：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)A的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于B，C兩點(diǎn)，且.（1）證明：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為定值；（2）若點(diǎn)C在圓內(nèi)，且過(guò)點(diǎn)C與垂直的直線(xiàn)與圓交于D，E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積的最大值.19．（12分）如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.20．（12分）圓過(guò)點(diǎn)A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周長(zhǎng)最小的圓的方程；（2）圓心在直線(xiàn)2x－y－4＝0上的圓的方程21．（12分）已知拋物線(xiàn)C：，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于P，Q兩點(diǎn).（1）設(shè)點(diǎn)B在x軸上，分別記直線(xiàn)PB，QB的斜率為.若，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)PQ的平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值.22．（10分）某廠(chǎng)A車(chē)間為了確定合理的工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了五次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：加工零件的個(gè)數(shù)x12345加工的時(shí)間y（小時(shí)）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求出y關(guān)于x的回歸方程；（3）試預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要多少時(shí)間？參考公式：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離，所以弦長(zhǎng)為.故選：A.2、D【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角△中應(yīng)用等面積法求到直線(xiàn)的距離.【詳解】由正方體的性質(zhì)：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.3、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D4、B【解析】求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得到，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，故選：B.5、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得，所以.故選：C.6、C【解析】根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行分析，利用互斥事件的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“至多有1個(gè)紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個(gè)白球”與“至多有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故D錯(cuò)誤.故選：C7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.8、A【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A9、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】.故選：D.10、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.【詳解】設(shè)公差，.故選：D11、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：B12、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)椋?，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.【點(diǎn)睛】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對(duì)其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見(jiàn)的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件可得均為等腰直角三角形，從而，先證明平面，從而，即得到為平面與平面夾角的平面角，從而可求解.【詳解】由，則，則在直三棱柱中,平面，又平面,則又，所以平面平面,所以由由條件可得均為等腰直角三角形，則所以，即,由所以平面,又平面所以，即為平面與平面夾角的平面角.在直角中,所以故答案為：14、【解析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】?jī)晌粩?shù)的回文奇數(shù)有，共個(gè)，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：15、4##【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解【詳解】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布（），即正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知ξ在與取值的概率相同，所以ξ在內(nèi)取值的概率為0.4.故答案為：0.416、【解析】代入，展開(kāi)整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，則，整理得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫(xiě)出橢圓的方程即可；（2）易知直線(xiàn)斜率存在，令，，，，，將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值，從而解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問(wèn)2詳解】易知直線(xiàn)斜率存在，令，，，由，因?yàn)?，所以，?1-x1因?yàn)?，所以，?4-x1由①，由②將，代入上式，得18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合，得到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）所設(shè)，表示出弦長(zhǎng)，再求出，進(jìn)而表示出四邊形ADBE的面積，據(jù)此求其最大值,【小問(wèn)1詳解】由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知直線(xiàn)的斜率存在且不為零，設(shè)直線(xiàn)：，，，聯(lián)立，得，則，即，由韋達(dá)定理得，由，即，得，即，代入，得或，又拋物線(xiàn)開(kāi)口向右，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【小問(wèn)2詳解】由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，解得，又，得的斜率，故的方程為，即，故圓心到直線(xiàn)的距離為，由垂徑定理得，故，（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，所以四邊形的面積的最大值為.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，利用線(xiàn)面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長(zhǎng)，取中點(diǎn)，可證，如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則、E分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面積為，，易得菱形邊長(zhǎng)為，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的法向量，由得，令，則所以一個(gè)法向量，因?yàn)?，，所以平面PAD，所以平面的一個(gè)法向量所以，又二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明平行的定理，證明線(xiàn)面平行時(shí)，常用中位線(xiàn)法和平行四邊形法來(lái)證明；利用空間向量求解二面角為常考題型，步驟為建系、求點(diǎn)坐標(biāo)、求所需向量坐標(biāo)、求法向量、利用夾角公式求解，屬基礎(chǔ)題.20、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根據(jù)當(dāng)AB為直徑時(shí)，過(guò)A，B的圓的半徑最小進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)垂徑定理，通過(guò)解方程組求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出圓的方程.【詳解】解：（1）當(dāng)AB為直徑時(shí)，過(guò)A，B的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即AB中點(diǎn)(0，1)為圓心，半徑r＝|AB|＝.故圓的方程為x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線(xiàn)的斜率為，AB的垂直平分線(xiàn)的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圓心坐標(biāo)是C(3，2)又r＝|AC|＝＝2.所以圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.21、（1）（2）【解析】（1）直線(xiàn)的方程為，其中，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)的方程為，利用傾斜角定義知，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而得解.小問(wèn)1詳解】由題意，直線(xiàn)的方程為，其中.設(shè)，聯(lián)立，消去得..，，即.，即.，