2024屆江蘇省南京市江寧區(qū)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆江蘇省南京市江寧區(qū)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.2．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫出（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.643．點(diǎn)到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.44．若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或5．若，則=（）A.244 B.1C. D.6．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則7．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.8．若1，m，9三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或29．已知，，，，則（）A. B.C. D.10．為了解一片大約一萬株樹木的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹木的底部周長(zhǎng)（單位：㎝）.根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖，那么在這片樹木中，底部周長(zhǎng)小于110㎝的株樹大約是（）A.3000 B.6000C.7000 D.800011．已知集合，集合或，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B.C. D.12．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________14．寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式____________，使它同時(shí)滿足下列條件：①，②，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和.（寫出滿足條件的一個(gè)答案即可）15．已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為______________.16．已知圓錐的母線長(zhǎng)為cm，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為____cm.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心為，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上（1）求圓C的方程；（2）直線l：與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，P（異于點(diǎn)M，N）為圓C上一點(diǎn)，求△PMN面積的最大值18．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線，與直線和橢圓分別交于兩點(diǎn)，（與不重合）.判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由.19．（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且過點(diǎn).（1）求雙曲線漸近線方程；（2）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值21．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.2、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列，共可寫出個(gè)三位數(shù).故選：A3、B【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.4、D【解析】根據(jù)曲線方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線表示在軸上方的圖象，畫出圖形，根據(jù)圖形上直線的三個(gè)特殊位置，當(dāng)已知直線位于直線位置時(shí)，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；當(dāng)已知直線位于直線及直線的位置時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的的值，寫出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據(jù)曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當(dāng)直線在直線的位置時(shí)，直線與橢圓相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡(jiǎn)得：，解得或(舍去)，則時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線剛好有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線在直線位置時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D5、D【解析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時(shí)，整理得：令x=2時(shí)，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.6、D【解析】根據(jù)空間里面直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.7、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，而，所?因?yàn)?，且，所?即.故選：A8、D【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計(jì)算即可得到【詳解】三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則，解得，，當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，則；當(dāng)時(shí)，曲線為為雙曲線，則離心率故選：9、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故，又，在上的增函?shù)，故，故，故選：D.10、C【解析】先由頻率分布直方圖得到抽取的樣本中底部周長(zhǎng)小于110㎝的概率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖可得，樣本中底部周長(zhǎng)小于110㎝的概率為，因此在這片樹木中，底部周長(zhǎng)小于110㎝的株樹大約是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.11、A【解析】先化簡(jiǎn)集合，再由集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可【詳解】，或，故故選：A12、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，非充分，故A錯(cuò).當(dāng)不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當(dāng)在中，，反之，故為充要條件，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，，，充分條件，因?yàn)椋?dāng)時(shí)成立，非必要條件，故D錯(cuò).故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，分段函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)，則在每個(gè)函數(shù)內(nèi)單調(diào)，注意銜接點(diǎn)的函數(shù)值.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)且在區(qū)間上也是增函數(shù)，對(duì)于函數(shù)在上是增函數(shù)，則；①對(duì)于函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，，外函數(shù)為定義域內(nèi)的減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)在上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”可得時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意，故舍去，（2）當(dāng)時(shí)，外函數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則內(nèi)函數(shù)在上也是增函數(shù)，且對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函數(shù)則在銜接點(diǎn)處函數(shù)值應(yīng)滿足：，化簡(jiǎn)得，③由①②③得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用單調(diào)性求參數(shù)方法如下：（1）依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；（3）分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值14、(答案合理即可)【解析】當(dāng)時(shí)滿足，利用作差比較法即可證明.【詳解】解：當(dāng)時(shí)滿足條件①②，證明如下：因?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，.故答案為：(答案合理即可).15、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時(shí)，由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)P為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形的問題，考查正弦定理的應(yīng)用.16、【解析】根據(jù)題意可知圓錐側(cè)面展開圖的半圓的半徑為cm，再根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，又圓錐的母線長(zhǎng)為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)直徑兩端點(diǎn)分別為，，由中點(diǎn)公式求參數(shù)a、b，進(jìn)而求半徑，即可得圓C的方程；（2）利用弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系求，再由圓心到直線l的距離求P到直線l的距離的最大值，即可得△PMN面積的最大值【小問1詳解】設(shè)直徑兩端點(diǎn)分別為，，則，，所以，，則圓C半徑，所以C的方程為【小問2詳解】圓心C到直線l的距離，則，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為，所以，△PMN面積的最大值為18、（1）（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）根據(jù)離心率及頂點(diǎn)坐標(biāo)求出即可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（），求出的坐標(biāo)，設(shè)是以為直徑的圓上的點(diǎn)，利用向量垂直可得恒成立，可得定點(diǎn)，斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可.【小問1詳解】由題意得，，，又因?yàn)?，所?所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】以為直徑的圓過定點(diǎn).理由如下：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（）.令，得，所以.由得，則或，所以.設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，.由題意，，則以為直徑的圓的方程為.即恒成立即解得故以為直徑的圓恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓也過點(diǎn).綜上，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).19、（1）（2）【解析】（1）將已知點(diǎn)代入雙曲線方程，然后可得；（2）由雙曲線右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同可解.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以所以，得又因?yàn)?，所以所以雙曲線的漸近線方程【小問2詳解】由（1）得所以所以雙曲線的右焦點(diǎn)是所以拋物線的焦點(diǎn)是所以，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用空間向量求出空間直線的向量積，即可證明兩直線垂直.（2）利用空間向量求直線與平面所成空間角的正弦就是就出平面的法向量與直線的方向向量之間夾角的余弦即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)?，，所以，即；【小?詳解】設(shè)平面的法向量為因?yàn)?，由，得，令，則所以平面的一個(gè)法向量為，又所以故直線與平面所成角的正弦值為21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個(gè)法向量和平面DCM的一個(gè)法向量，然后由求解【小問1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余