L12-CH5 傅立葉變換的基本性質(zhì)

信號與系統(tǒng)SignalsandSystems信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域分析連續(xù)非周期信號的頻譜常見連續(xù)時間信號的頻譜

連續(xù)時間Fourier變換的性質(zhì)

傅立葉變換的基本性質(zhì)1.

線性特性 2.

共軛對稱特性3.

對稱互易特性 4.

展縮特性 5.

時移特性6.

頻移特性7.

時域卷積特性 8.

頻域卷積特性9.

時域微分特性10.

積分特性 11.

頻域微分特性12.

能量定理1.線性特性其中a和b均為常數(shù)。2.共軛對稱特性當(dāng)f(t)為實函數(shù)時，有|F(jw)|=|F(-jw)|，

(w)=-

(-w)

F(jw)為復(fù)數(shù)，可以表示為2.共軛對稱特性當(dāng)f(t)為實偶函數(shù)時，有F(jw)=F*(jw)，

F(jw)是w的實偶函數(shù)

當(dāng)f(t)為實奇函數(shù)時，有F(jw)=-

F*(jw)，F(xiàn)(jw)是w的虛奇函數(shù)

3.時移特性式中t0為任意實數(shù)證明：令x=t-t0，則dx=

dt，代入上式可得信號在時域中的時移，對應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。例1

試求圖示延時矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。解：

無延時且寬度為

的矩形脈沖信號f(t)

如圖，因為，故由延時特性可得其對應(yīng)的頻譜函數(shù)為4.展縮特性證明:令x=at，則dx

=adt

，代入上式可得時域壓縮，則頻域展寬；展寬時域，則頻域壓縮。4.展縮特性

尺度變換后語音信號的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段語音信號(“對了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)5.互易對稱特性6.頻移特性（調(diào)制定理）若則式中w0為任意實數(shù)證明：由傅里葉變換定義有6.頻移特性（調(diào)制定理）信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后，其頻譜是將原來信號頻譜向左右搬移w0，幅度減半。同理例2

試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后信號的頻譜函數(shù)。

應(yīng)用頻移特性可得解:

已知寬度為

的矩形脈沖信號對應(yīng)的頻譜函數(shù)為例2

試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后信號的頻譜函數(shù)。

解:7.時域積分特性例3

試?yán)梅e分特性求圖示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

利用時域積分特性，可得由于例4

試?yán)梅e分特性求圖示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

將f(t)表示為f1(t)+f2(t)即8.時域微分特性若則例5

試?yán)梦⒎痔匦郧缶匦蚊}沖信號的頻譜函數(shù)。解：

由上式利用時域微分特性，得因此有例6

試?yán)梦⒎痔匦郧髨D示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

利用時域微分特性，可得？信號的時域微分，使信號中的直流分量丟失。8.時域微分特性—修正的時域微分特性記

f'(t)=f1(t)則

例7

試?yán)眯拚奈⒎痔匦郧髨D示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

利用修正的微分特性，可得與例4結(jié)果一致！9.頻域微分特性若將上式兩邊同乘以j得證明：例8

試求單位斜坡信號tu(t)的頻譜。解：

已知單位階躍信號傅里葉變換為:故利用頻域微分特性可得:10.時域卷積特性證明：例9

求如圖所示信號的頻譜。解：例10

計算其頻譜Y(jw)。解：利用Fourier變換的卷積特性可得11.頻域卷積特性（調(diào)制特性）證明：12.非周期信號的能量譜密度12.非周期信號的能量譜密度上式表明信號的能量也可以由|F(jw)|2在整個頻率范圍的積分乘以1/2

來計算。物理意義：非周期能量信號的歸一化能量在時域中與在頻域中相等，保持能量守恒。

帕什瓦爾能量守恒定理：12.非周期信號的能量譜密度

帕什瓦爾能量守恒定理：定義單位角頻率的信號能量為能量頻譜密度函數(shù)，簡稱能量頻。例11

計算。解：由

根據(jù)Parseval能量守恒定律，可得傅里葉變換性質(zhì)一覽表1.線性特性

2.對稱互易特性3.展縮特性

4.時移特性 5.頻移特性6.時域卷積特性

7.頻域卷積特性8.時域微分特性9.積分特性

10.頻域微分特性

重要概念：非周期信號的頻譜

1)非周期信號的頻譜與周