三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法_第1頁
三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法_第2頁
三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法_第3頁
三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法_第4頁
三角形三條高線交于一點(diǎn)的六種證明方法_第5頁
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文檔簡介

PAGEPAGE4三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明證法一：運(yùn)用同一法證三條高兩兩相交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)。已知：△ABC的兩條高BE、CF相交于點(diǎn)O，第三條高AD交高BD于點(diǎn)Q，交高CF于點(diǎn)P。求證：P、Q、O三點(diǎn)重合證明：如圖，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴，即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴，即AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∵AB·AF=AC·AE，AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=AD·AP∴AQ=AP∵點(diǎn)Q、P都在線段AD上∴點(diǎn)Q、P重合∴AD與BE、AD與CF交于同一點(diǎn)∵兩條不平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn)∴BE與CF也交于此點(diǎn)∴點(diǎn)Q、P、O重合。證法二：連結(jié)一頂點(diǎn)和兩高交點(diǎn)的線垂直于第三邊，運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)。已知：△ABC的兩條高AD、BE相交于點(diǎn)O，第三條高CF交高AB于點(diǎn)F，連結(jié)CO交AB于點(diǎn)F。求證：CF⊥AB。證明:∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。注：證法一和證法二是證明共點(diǎn)線的常用方法。設(shè)ΔABC，三條高線為AD、BE、CF，AD與BE交于H，連接CF。向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c。

因?yàn)锳D⊥BC，BE⊥AC，

所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，

即向量a·(向量c-向量b)=0，

向量b·(向量a-向量c)=0，

亦即

向量a·向量c-向量a·向量b=0

向量b·向量a-向量b·向量c=0

兩式相加得

向量c·(向量a-向量b)=0

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