2024屆上海市普陀區(qū)曹楊二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆上海市普陀區(qū)曹楊二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.2．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.3．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切4．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.5．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.6．某制藥廠為了檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗預(yù)防的作用，把名使用疫苗的人與另外名未使用疫苗的人一年中的記錄作比較，提出假設(shè)：“這種疫苗不能起到預(yù)防的作用”，利用列聯(lián)表計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知.則下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）A.若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病B.這種疫苗預(yù)防的有效率為C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”D.有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用7．已知過點(diǎn)A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）8．《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長(zhǎng)（直線到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.9．等比數(shù)列滿足，，則（）A.11 B.C.9 D.10．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A.2 B.3C.6 D.911．已知雙曲線，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2C. D.12．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值是__________.14．某高中高二年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進(jìn)行了一次測(cè)試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本量為40的樣本，再將40個(gè)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計(jì)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學(xué)生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)調(diào)查，求調(diào)查對(duì)象來自不同分組的概率.15．直線與圓相交于兩點(diǎn)M，N，若滿足，則________16．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到短袖的一個(gè)端點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且(其中為原點(diǎn))，求的取值范圍19．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線通過點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程20．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:21．（12分）如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則三棱錐F-ABC的體積為多少？22．（10分）已知與定點(diǎn)，的距離比為的點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.2、A【解析】由，可得等比數(shù)列公比q=2，利用等比數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式即可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，.故選：A.3、A【解析】首先求得點(diǎn)的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由條件可知，，化簡(jiǎn)為：，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A4、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時(shí)要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.6、C【解析】根據(jù)的值與臨界值的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】∵，，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”，C對(duì)，由已知數(shù)據(jù)不能確定若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病，A錯(cuò)，由已知數(shù)據(jù)不能判斷這種疫苗預(yù)防的有效率為，B錯(cuò)，由已知數(shù)據(jù)沒有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用,D錯(cuò)，故選：C.7、A【解析】設(shè)出切點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到切點(diǎn)處的斜率，由點(diǎn)斜式得到切線方程，化簡(jiǎn)為，整理得到方程有兩個(gè)解即可，解出不等式即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，則切線方程為：，切線過點(diǎn)代入得：，，即方程有兩個(gè)解，則有或.故答案為:A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求法，以及過某一點(diǎn)的切線方程的求法，其中應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般過某一點(diǎn)求切線方程的步驟為：一：設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)并且表示在切點(diǎn)處的斜率；二：根據(jù)點(diǎn)斜式寫切點(diǎn)處的切線方程；三：將所過的點(diǎn)代入切線方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)；四：將切點(diǎn)代入切線方程，得到具體的表達(dá)式.8、C【解析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計(jì)算【詳解】如圖，在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計(jì)算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力9、B【解析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列，得：，故選：B10、C【解析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.11、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計(jì)算即可作答.【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，所以該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2.故選：B12、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先利用展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和是求出，然后即可求出二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是，故有，可得，知當(dāng)時(shí)有.故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用二項(xiàng)式的系數(shù)和求參數(shù)，求二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.14、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)75；平均數(shù)；因?yàn)?，所以中位?shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分別有4個(gè)和2個(gè)，從6個(gè)樣本選2個(gè)共有個(gè)結(jié)果，記事件A=“調(diào)查對(duì)象來自不同分組”，結(jié)果有所以.15、【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知可得圓心到直線的距離，再由圓的弦長(zhǎng)公式可得,然后可解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，圓心到直線的距離因?yàn)?，所以，所以故答案為?6、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)點(diǎn)到短袖一個(gè)端點(diǎn)的距離為，然后根據(jù)即可；（2）先設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理得到，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后根據(jù)建立關(guān)于直線的斜率的不等式，解出不等式即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，則有：點(diǎn)到短袖一個(gè)端點(diǎn)的距離為，則有：則有：故橢圓的方程為：【小問2詳解】設(shè)過點(diǎn)作斜率為的直線的方程為：聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：則有：,直線過點(diǎn)，所以恒成立，不妨設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，則有：又且則有：將，代入后可得：若，則有：解得：或18、（1）；（2）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，即得雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，從而易求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，得的取值范圍，設(shè)，由韋達(dá)定理得則代入可求得的范圍【詳解】(1)設(shè)雙曲線的方程為，則，再由，得故的方程為(2)將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，得①設(shè)則又，得，，即，解得②由①②得＜k2＜1，故的取值范圍【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線相交中的范圍問題．應(yīng)注意：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點(diǎn)、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)而求，由題設(shè)向量垂直的坐標(biāo)表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線的方程為，又到焦點(diǎn)的距離是1，∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是（2）假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯(lián)立可得交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成立，∴直線的斜率存在．設(shè)直線為，整理得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當(dāng)時(shí)，直線的方程是，不滿足，舍去當(dāng)時(shí)，直線的方程是，即，∴直線的方程是20、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見詳解【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在唯一的，使得，?①當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設(shè)，.則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以，即，所以，所以時(shí)，.方法二：設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，.【點(diǎn)睛】不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個(gè)：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點(diǎn)，結(jié)合已解答問題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，再