2024屆上海市上海外國語大學附中高二數學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆上海市上海外國語大學附中高二數學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的焦點坐標為（）A. B.C. D.2．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A B.C. D.3．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.4．已知雙曲線的方程為，則下列關于雙曲線說法正確的是（）A.虛軸長為4 B.焦距為C.焦點到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為5．學校為了解學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學進行調查，結果顯示這些同學的支出都在（單位：元）內，其中支出在（單位：元）內的同學有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，則n的值為（）A.100 B.120C.130 D.3906．圓關于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.7．已知等比數列滿足，，則（）A. B.C. D.8．已知是雙曲線：的右焦點，是坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.9．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.10．甲、乙兩名射擊運動員進行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.9811．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或12．已知數列的前n項和為，，，則=（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經過點作直線，直線與連接兩點線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍是________14．過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，且點的橫坐標為，過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，則的面積為___________.15．若，則___________16．若，且數列是嚴格遞增數列或嚴格遞減數列，則實數a取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值18．（12分）已知雙曲線，拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，點為拋物線上一點.（1）求雙曲線的焦點坐標；（2）若點到拋物線的焦點的距離是5，求的值.19．（12分）已知函數.（1）求的單調區(qū)間；（2）討論的零點個數.20．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值21．（12分）已知函數，其中為常數，且（1）求證：時，；（2）已知a，b，p，q為正實數，滿足，比較與的大小關系.22．（10分）某校高二年級全體學生參加了一次數學測試，學校利用簡單隨機抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學的數學測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數據的中位數相等且平均數也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學中隨機抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】把雙曲線方程化為標準形式，直接寫出焦點坐標.【詳解】，焦點在軸上，，故焦點坐標為.故選：C.2、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.3、A【解析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關系，屬于直線方程的基礎題型，需要學生對基礎知識熟練掌握4、D【解析】根據雙曲線的性質逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點在軸上，，，，所以虛軸長為6，故A錯誤；焦距為，故B錯誤；漸近線方程為，故D正確；焦點到漸近線的距離為，故C錯誤；故選：D.5、A【解析】根據小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數的頻率之和為0.33,從而得到位于30～50的數據的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為位于10～20、20～30的據的頻率分別為0.1、0.23可得位于10～30的前3組數的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50數據的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學有67人,即位于30～50的頻數為67，∴根據頻率計算公式，可得解之得.故選：A6、D【解析】先根據圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.7、D【解析】由已知條件求出公比的平方，然后利用即可求解.【詳解】解：設等比數列的公比為，因為等比數列滿足，，所以，所以，故選：D.8、A【解析】由條件建立a，b，c的關系，由此可求離心率的值.【詳解】設，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.9、A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題10、A【解析】依據獨立事件同時發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A11、D【解析】設圓心坐標，由點到直線距離公式可得或，進而求得答案【詳解】設圓心坐標，因為圓與直線相切，所以由點到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程，屬于一般題12、D【解析】利用公式計算得到，得到答案【詳解】由已知得，即，而，所以故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出的斜率，結合圖形可得結論【詳解】，，而，因此，故答案為：14、##【解析】不妨設點為第一象限內的點，求出點的坐標，可求得直線、的方程，求出點、的坐標，可求得以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設點為第一象限內的點，設點，其中，則，可得，即點，拋物線的焦點為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，直線的方程為，拋物線的準線方程為，聯(lián)立，可得點，點到直線的距離為，因此，.故答案為：.15、【解析】先求出函數的導函數，再求出，即可得出答案.【詳解】解：由，得，則，所以，所以，所以.故答案為：.16、【解析】根據數列遞增和遞減的定義求出實數a的取值范圍.【詳解】因為數列是嚴格遞增數列或嚴格遞減數列，所以.若數列是嚴格遞增數列，則，即，即恒成立，故；若數列是嚴格遞減數列，則，即，即恒成立，由，故；綜上，實數a的取值范圍是故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別表示出B、D、E、F點的坐標，然后通過計算向量數量積來進行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標系，分別表示出對應點的坐標，然后計算平面與平面的法向量，然后通過法向量去計算兩平面所成的銳二面角即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，，分別為，，的中點，則，，證明：因為，，所以，所以【小問2詳解】設平面的法向量為，因為，，所以，令，得設平面的法向量為，則令，得因為所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為18、（1）；（2）.【解析】（1）根據雙曲線的方程求出即得雙曲線的焦點坐標；（2）先求出的值，再解方程得解.【詳解】（1）因為雙曲線的方程為，所以.所以.所以.所以雙曲線的焦點坐標分別為.（2）因為拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，所以拋物線的焦點坐標是(2，0)，所以.因為點為拋物線上一點，所以點到拋物線的焦點的距離等于點到拋物線的準線的距離.因為點到拋物線的焦點的距離是5，即，所以.【點睛】本題主要考查雙曲線的焦點坐標的求法，考查拋物線的定義和幾何性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數的導數，再運用導數求解函數的單調區(qū)間即可；（2）根據導數分析原函數的極值，進而討論其零點個數.【詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；⑤當時，方程有1個實根，即有1個零點.綜上，當或時，有1個零點；當或時，有2個零點；當時，有3個零點.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）利用直線的方向向量，平面的法向量，計算線面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設平面的法向量為，則，令，則，所以.設直線與平面所成角為，則.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據導數判斷出函數的單調性求出其最大值，即可證出；（2）由（1）知：，再變形即可得出小問1詳解】因為，∴在上單調遞減，又因，故當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.【小問2詳解】由（1）知：，兩邊同乘以a得：，∴，即.22、（1），（2）【解析】（1）根據莖葉圖得甲班中位數為，由此能求出，根據由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學中