福建省泉州市德化第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

福建省泉州市德化第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.2．曲線與曲線（）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等3．已知遞增等比數(shù)列的前n項和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前6項的和（）A.510 B.126C.256 D.5125．已知等差數(shù)列的前項和為，，公差，．若取得最大值，則的值為（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或106．若向量，，則（）A. B.C. D.7．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?38．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.9．如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.10．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.11．已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.12．甲、乙同時參加某次數(shù)學(xué)檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為______.14．展開式中，各項系數(shù)之和為1，則實數(shù)_______．（用數(shù)字填寫答案）15．已知圓被軸截得的弦長為4，被軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，則圓心的軌跡方程為______，若點(diǎn)，，則周長的最小值為______16．已知三個數(shù)2，，6成等比數(shù)列，則實數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是該橢圓上的一個動點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由18．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最大值.19．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且（）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個實數(shù)，使這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：20．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離22．（10分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)，且的面積等于（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在直線PB上時，直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.2、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對照選項可知：焦距相等.故選：D.3、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項公式與前項和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D4、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件，求得，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，可得，解得，所以數(shù)列前6項的和.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.5、B【解析】根據(jù)題意可知等差數(shù)列是，單調(diào)遞減數(shù)列，其中，由此可知，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列中，所以，所以，即，又等差數(shù)列中，公差，所以等差數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以等差數(shù)列的前項和為取得最大值，則的值為7或8.故選:B.6、D【解析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D7、B【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，過點(diǎn)時，取得最大值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過點(diǎn)時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B8、C【解析】由題設(shè)易知是的中垂線，進(jìn)而可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.9、A【解析】利用空間向量基本定理求解即可【詳解】由于M是的中點(diǎn)，所以故選：A10、A【解析】先化簡函數(shù)表達(dá)式，然后再平移即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象.故選：A11、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點(diǎn)在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D12、D【解析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數(shù)學(xué)檢測，成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優(yōu)秀的概率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】作出約束條件對應(yīng)的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時，取得最小值，求解即可.【詳解】作出約束條件對應(yīng)的可行域，如下圖陰影部分，聯(lián)立，可得交點(diǎn)為，目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時，取得最小值，即.故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】通過給二項式中的賦值1求出展開式的各項系數(shù)和，即可求出詳解】解：令，得各項系數(shù)之和為，解得故答案為：15、①.②.【解析】設(shè)，圓半徑為，進(jìn)而根據(jù)題意得，，進(jìn)而得其軌跡方程為雙曲線，再根據(jù)雙曲線的定義，將周長轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而求解.【詳解】解：如圖1，因為圓被軸截得的弦長為4，被軸分成兩部分的弧長之比為1∶2，所以，，所以中點(diǎn)，則，，所以，故設(shè)，圓半徑為，則，，，所以，即所以圓心的軌跡方程為，表示雙曲線，焦點(diǎn)為，，如圖2，連接，由雙曲線的定義得，即，所以周長為，因為，所以周長的最小值為故答案為：；.16、【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因為三個數(shù)2，，6成等比數(shù)列，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡求得直線的斜率.【小問1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問2詳解】存在．理由如下：顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時，不滿足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線與橢圓的兩個不同的交點(diǎn)，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使18、（1）①，在上單減；②，在上單增，單減；（2）.【解析】（1），根據(jù)函數(shù)定義域，分，，討論求解；（2）根據(jù)（1）知：分，，，討論求解.【小問1詳解】解：(1)定義域，①時，成立，所以在上遞減；②時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單增，單減；【小問2詳解】由（1）知：時，在單減，所以；時，在單減，所以；時，在上單增，上遞減，所以；時，在單增，所以；綜上：.19、（1）（2）見解析【解析】（1）由兩式相減得，所以（）因為等比，且，所以，所以故（2）由題設(shè)得，所以，所以，則，所以20、（1）；（2）.【解析】解不等式求得為真、為真分別對應(yīng)的解集；（1）由為真可得全真，兩解集取交集可得結(jié)果；（2）由和的真假性可得一真一假，則分為真假和假真兩種情況求得解集.【小問1詳解】若為真，則，即，即，所以或，若為真，則，所以，因為為真命題，所以均為真命題.所以實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】若為假命題，為真命題，則一真一假，若真假，則，解得或，若假真，則，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積和以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點(diǎn)，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為22、（1）（2）【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直