高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）選修1 3.3 拋物線 解答題綜合卷章節(jié)綜合練習(xí)題（答案+解析）

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3.3拋物線解答題綜合卷

一、解答題

1．（2023高二上·淮安期中）已知雙曲線

的離心率為

，拋物線

（

）的焦點為

，準線為

，

交雙曲線

的兩條漸近線于

、

兩點，

的面積為8.

（1）求雙曲線

的漸近線方程；

（2）求拋物線

的方程.

2．（2023高二上·河北期中）拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，且線段中點M的縱坐標為1，l與x軸交于點P．

（1）若，求l的方程；

（2）若，求．

3．（2023高二上·保定期中）設(shè)拋物線的焦點為，過的直線與交于，兩點．

（1）若，求的方程．

（2）以，為切點分別作拋物線的兩條切線，證明：兩條切線的交點一定在定直線上，且．

4．（2022高三上·西寧期末）已知拋物線與直線交于P，Q兩點，O為坐標原點，.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若的面積為，求直線l的方程.

5．（2022高二上·富平期末）設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且，線段的中點到軸的距離為3.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線與圓和拋物線均相切，求實數(shù)的值.

6．已知拋物線與直線相交于兩點，為坐標原點，.

（1）求；

（2）已知點，過點的直線交拋物線于兩點（異于點），證明：為直角.

7．（2023高三上·南京月考）已知拋物線：，點，直線過點M且與拋物線交于A，B兩點.

（1）若，直線的斜率為2，求的長；

（2）在軸上是否存在異于點M的點N，對任意的直線，都滿足若存在，指出點N的位置并證明，若不存在請說明理由.

8．（2023高三上·江西月考）已知拋物線上一點到其焦點的距離為，過點作兩條斜率為，的直線，分別與該拋物線交于，與，兩點，且，．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）求實數(shù)的取值范圍．

9．（2023高三上·金臺月考）過點的任一直線與拋物線交于兩點，且．

（1）求的值．

（2）已知為拋物線上的兩點，分別過作拋物線的切線，且，求證：直線過定點．

10．（2023高二上·浙江月考）已知拋物線過點，且到拋物線焦點的距離為2.直線過點，且與拋物線相交于，兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點恰為線段的中點，求.

11．（2023高二上·商丘）已知拋物線的焦點到準線的距離為1.

（1）求C的方程；

（2）已知點在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.

12．（2023高二上·長春月考）已知拋物線上的點到焦點的距離為6．

（1）求的值及拋物線的標準方程；

（2）若，點為拋物線上一動點，點為線段的中點，試求點的軌跡方程．

13．（2023高二上·淮安期中）在①；②；③軸時，

這三個條件中任選個，補充在下面的橫線上，并解答.問題：已知拋物線

的焦點為

，點

在拋物線

上，且____.

（1）求拋物線

的標準方程.

（2）若直線

與拋物線

交于

兩點，求

的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

14．（2023高二上·三明期中）已知拋物線，直線交拋物線C于M、N兩點，且線段中點的縱坐標為2．

（1）求拋物線C的方程；

（2）是否存在正數(shù)m，對于過點，且與拋物線C有兩個交點A，B，都有拋物線C的焦點F在以為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

15．（2023高二上·常州期中）設(shè)拋物線

的焦點為F，經(jīng)過x軸正半軸上點M(m，0)的直線l交r于不同的兩點A和B.

（1）若|FA|=3，求點A的坐標；

（2）若m=2，求證：原點O總在以線段AB為直徑的圓的內(nèi)部；

（3）若|FA|=|FM|，且直線，與拋物線有且只有一個公共點E，問：△OAE的面積是否存在最小值若存在，求出最小值，并求出M點的坐標，若不存在，請說明理由.

16．（2023高二上·牡丹江月考）已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點，若.

（1）求拋物線方程；

（2）若為坐標原點，、為拋物線上異于原點的不同的兩點，記的斜率為，的斜率為，當(dāng)時，求證：直線過定點.

17．（2023高三上·廣東月考）已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點在線段上，且滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.

18．（2023高三上·遼寧月考）已知拋物線的焦點為，點在上，且．

（1）求點的坐標及的方程；

（2）設(shè)動直線與相交于兩點，且直線與的斜率互為倒數(shù)，試問直線是否恒過定點？若過，求出該點坐標；若不過，請說明理由．

19．（2023高二上·溫州期中）已知拋物線，點是拋物線上的點．

（1）求拋物線的方程及的值；

（2）直線與拋物線交于兩點，，且，求的最小值并證明直線過定點．

20．（2023高二上·浙江期中）如圖，點是拋物線上的動點，過點的直線與拋物線交于另一點.

（1）當(dāng)?shù)淖鴺藶闀r，求點的坐標；

（2）已知點，若為線段的中點，求面積的最大值.

21．（2023高二上·山東月考）已知拋物線的焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線交拋物線于的面積為（O為坐標原點）．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過點的直線交拋物線于，且，求．

22．（2023高二上·山西月考）已知動圓C過定點，且與直線相切，圓心C的軌跡為E．

（1）求E的方程；

（2）已知直線l交E于P，Q兩點，且線段的中點的橫坐標為4，當(dāng)最大時，求直線l的方程．

23．（2023高二上·重慶市月考）已知為拋物線：的焦點．

（1）求的方程；

（2）若直線與交于，兩點，且弦的中點為，求直線的方程．

24．（2023高二上·衡陽月考）已知拋物線上的點到坐標原點的距離等于該點到準線的距離．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若為拋物線上異于原點的兩點，直線的斜率分別為，，若直線過定點．證明：為定值．

25．（2023高二上·浦城期中）已知動圓過點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個點且直線過的外心，其中為坐標原點，求證：直線過定點．

26．（2023·寧波模擬）已知拋物線的焦點為F，點P是以為圓心，半徑為1的圓上的動點，且的最大值為5．

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）過點M的直線l與拋物線C交于不同兩點A，B，直線OA，OB分別交直線于S，T兩點（O為坐標原點）．記直線l，直線FS，直線FT的斜率分別為，，，若是，的等比中項，求k的值．

27．（2023高二上·肇東月考）已知拋物線上一點到其焦點的距離為10.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)過焦點F的的直線與拋物線C交于兩點，且拋物線在兩點處的切線分別交x軸于兩點，求的取值范

28．（2023高二上·楚雄月考）若動點是曲線上的任意一點，且滿足到點的距離與它到直線的距離相等

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）曲線與過點的直線相交于兩點，為原點.若和的斜率之和為，求直線的方程.

29．（2023高二上·河北月考）已知動點到點的距離與到直線的距離相等，動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知，不垂直于坐標軸的直線與曲線相交于，兩點，是坐標原點，若平分，問直線是否過定點？若過定點，求出該定點；若不過定點，請說明理由.

30．（2023高二上·縉云月考）已知拋物線上兩點、，焦點滿足，線段的垂直平分線過.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線，使得拋物線上恰有三個點到直線的距離都為，求直線的方程.

答案解析部分

1．【答案】（1）由題意，雙曲線的離心率為，

可得，解得，可得，

所以雙曲線的漸近線方程為；

（2）由拋物線，可得其準線方程為，

代入雙曲線漸近線方程得，，

所以，

則，解得，

所以拋物線的方程為．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由雙曲線的簡單性質(zhì)即可求出

，再由漸近線方程代入計算出結(jié)果即可。

(2)由拋物線的方程即可求出準線的方程，再結(jié)合已知條件求出雙曲線的漸近線方程，從而得出

，然后由把結(jié)果代入到三角形的面積公式由此計算出P的值，從而得出拋物線的方程。

2．【答案】（1）解：設(shè)，則，兩式相減得．

因為線段中點M的縱坐標為1，所以．

又，所以，

所以線段的中點為，故直線l的方程為，即

（2）解：設(shè)l的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，

則，

因為，所以，則，

故|．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由設(shè)而不求法設(shè)出點的坐標，結(jié)合點差法計算出直線的斜率，再由弦長公式結(jié)合已知條件計算出，把數(shù)值代入到中點的坐標公式結(jié)合點斜式求出直線的方程即可。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點的坐標，并由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于t的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由弦長公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。

3．【答案】（1）解：由題意得，設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立消元得，所以，．

因為，

由題設(shè)知，解得，所以的方程為．

（2）解：設(shè)與拋物線相切的切線方程為，

則化簡得．

由，可得．

將點坐標代入方程，可得，，

所以過的切線方程為．同理，過的切線方程為，

聯(lián)立方程組可得，，

所以交點在定直線上．

當(dāng)時，顯然成立；

當(dāng)時，，則，所以．

綜上所述，．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由點斜式求出直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后得到關(guān)于y的方程，由韋達定理計算出兩根之和與兩根之積的值，然后由弦長公式整理計算出t的取值，由此得出直線的方程。

(2)首先設(shè)出切線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消元后得到關(guān)于y的方程，由一元二次方程跟的情況，求解出m的取值，從而得出點的坐標，然后由把點的坐標代入到斜率的坐標公式計算出，從而得出線線垂直。

4．【答案】（1）設(shè)，，

聯(lián)立方程組得，

則，.

由，得.

因為，所以

，

所以，

所以，故拋物線C的方程為.

（2）由（1）知，，

所以

.

因為點O到直線l的距離，

所以，

所以，

故直線l的方程為或.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由設(shè)而不求法設(shè)出點的坐標，由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于P的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由共線向量的坐標公式代入整理計算出P的取值，從而即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意再把，代入到弦長公式，由點到直線的距離公式以及三角形的面積公式整理化簡計算出k的取值，由此即可得出直線的方程。

5．【答案】（1）解：設(shè)，，.

則線段的中點坐標為，

由題意知，則，

如圖，分別過點、作準線的垂線，垂足為、，根據(jù)拋物線的定義可知，，，

又，所以，所以，

所以，拋物線的方程為：.

（2）解：因為圓圓心為，半徑為，直線，即與圓相切，

，即有①

聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，

因為直線與拋物線相切，

所以，得②，

聯(lián)立①②，解得或，

即實數(shù)的值為.

【解析】【分析】（1）設(shè)，，，由已知可得，即，即可求出，進而得拋物線的方程；

（2）根據(jù)直線與圓相切可得，聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)直線與拋物線相切可得，即可推出，聯(lián)立兩式，即可求出實數(shù)的值.

6．【答案】（1）將代入，有，

設(shè)，易知，

可得，

而，

即.

（2）設(shè)，直線，

將代入，易知，

故，

而

故.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后，結(jié)合韋達定理即可求出兩根之和與兩根之和關(guān)于p的代數(shù)式，然后由弦長公式結(jié)合拋物線的定義代入計算出p的取值即可。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線圓的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標公式整理化簡計算出，從而即可得出線線垂直，從而即可得出答案。

7．【答案】（1）由題意可知直線：，

由得或.

所以，，

所以.

（2）存在軸上的點滿足題意，證明如下：

設(shè)直線：，

由得.

設(shè)，，則，.

.

所以，可知AN，BN的傾斜角互補，所以.

所以為的角平分線，

由正弦定理：，，

兩式相除得，

綜上，存在軸上的點滿足題意.

【解析】【分析】(1)由已知條件即可設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由此計算出交點的坐標，再由兩點間的距離公式計算出弦長即可。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點的坐標，并由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于m和a的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標公式代入整理化簡由此計算出，從而得出，結(jié)合正弦定理整理化簡即可得出，從而得證出結(jié)論。

8．【答案】（Ⅰ）由拋物線上一點到其焦點的距離為，

所以，解得，

故拋物線的方程為；

（Ⅱ）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，

可得，

設(shè)，，

則，，

所以

，

點到直線的距離為，

所以，

同理可得，

因為，且

所以，

整理可得：，即，所以，

所以，

由可得，

即，即，所以，

綜上所述，的取值范圍為．

【解析】【分析】(1)由拋物線的定義以及點在拋物線上，列出方程組，求解出p，即可得到拋物線的方程；

(2)設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得到韋達定理，由弦長公式和點到直線的距離公式分別求出|AB|和點F到直線的距離d，求出△FAB的面積，同理求出△PCD的面積，由題意列出關(guān)系式，結(jié)合判別式大于0，求解出t的范圍.

9．【答案】（1）設(shè)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，

整理可得

所以，，

所以，

所以，

（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，

設(shè)，則拋物線在點處的切線方程為

從而同理，

因為，所以，即，

又，

從而直線的方程為：，

將代入化簡得：，

所以，直線恒過定點．

【解析】【分析】(1)首先設(shè)出點的坐標，以及直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于P的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由數(shù)量積的坐標公式整理化簡即可求出p的值。

(2)根據(jù)題意由拋物線的方程，再對其求導(dǎo)，并把點的坐標代入計算出切線的斜率，由此即可求出切線的方程，同理即可求出兩條直線的斜率，由此計算出即結(jié)合斜率的坐標公式代入計算出的取值，由此即可求出直線MN的方程，并把結(jié)果代入到直線的方程整理化簡即可求出直線過的定點的坐標。

10．【答案】解：（Ⅰ）由題意，∵，解得，

拋物線方程為；

（Ⅱ）設(shè)，則，兩式相減得，

∴，∵的中點是，∴．

∴直線方程為，即，

由，解得，，

∴．

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合代入法和拋物線的定義，從而解方程組求出p和m的值，進而求出拋物線的標準方程。

（2）設(shè)，再利用代入法得出，兩式相減得出，再利用兩點求斜率公式得出直線AB的斜率為，再利用的中點是結(jié)合中點坐標公式得出直線AB的斜率，再結(jié)合點斜式求出直線方程，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程求出交點A，B的坐標，再利用兩點距離公式得出A，B兩點的距離。

11．【答案】（1）因拋物線的焦點到準線的距離為1，則p=1，

所以C的方程為.

（2）依題意，設(shè)直線l的方程為，直線AB的方程為y=2x+m，設(shè)，

由消去x得：，由題意知，得，

設(shè)線段AB的中點為，則，再由，可得，

又點N在直線l上，則，于是，從而有，

所以l在y軸上的截距的取值范圍為.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的定義由已知條件計算出P的取值，由此即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算出交點的坐標，結(jié)合中的的坐標公式計算出點的坐標，再把結(jié)果代入直線的方程，結(jié)合題意計算出，從而即可得出答案。

12．【答案】（1）解：由題設(shè)，拋物線準線方程為，

∴拋物線定義知：，又，解得，；或.

∴，拋物線標準方程為，或，拋物線標準方程為

（2）解：由（1）和知，拋物線為，則，

設(shè)，，

根據(jù)點M為線段的中點，可得：，即，由點Q為拋物線C上，所以，即，即，所以中點的軌跡方程為.

【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義以及標準方程求解即可；

(2)根據(jù)中點坐標公式，利用相關(guān)點法，結(jié)合拋物線方程求解即可.

13．【答案】（1）解：選擇條件①.由拋物線的定義可得.

因為，所以，解得.

故拋物線的標準方程為.

選擇條件②.因為，所以，，

因為點在拋物線上，所以，即，解得，

所以拋物線的標準方程為.

選擇條件③.當(dāng)軸時，，所以.

故拋物線的標準方程為.

（2）解：設(shè)，，由（1）可知.

由，消去得，

則，，

所以，

又，，所以，

故.

因為點到直線的距離，

所以的面積為.

【解析】【分析】(1)選擇條件①，由拋物線的定義結(jié)合已知條件即可求出P的取值，從而得出拋物線的方程。選擇條件②，根據(jù)題意即可得出點的坐標，再把點的坐標代入到拋物線的方程由此計算出P的取值，由此即可得出拋物線的方程。

(2)由已知條件設(shè)出點的坐標，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后的得出關(guān)于x的方程，結(jié)合韋達定理計算出

，

，再把結(jié)果代入到弦長公式由此計算出

的值，從而即可得出

的取值，然后由點到直線的距離公式再結(jié)合三角形的面積公式，代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。

14．【答案】（1）設(shè)，

由得，，則，由題意，，

所以拋物線方程為；

（2）假設(shè)存在滿足題意的點，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，

由得，，時直線與拋物線沒有兩個交點，

由，因為，恒成立，

設(shè)，則，

焦點F在以為直徑的圓內(nèi)，則，，

，

恒成立，因為，所以，又

所以．

所以存在滿足題意正數(shù)，且．

【解析】【分析】(1)聯(lián)立拋物線與直線方程，利用韋達定理及中點坐標，即可求解；

(2)首先由于過點的直線與開口向右的拋物線有兩個交點A、B，則設(shè)該直線的方程為然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，進而通過消元轉(zhuǎn)化為一元_二次方程，再根據(jù)韋達定理及向量的數(shù)量積公式等價轉(zhuǎn)化，最后通過m、k的不等式求出m的取值范圍.

15．【答案】（1）設(shè)，拋物線的準線方程為：，焦點，

因為，所以，所以；

（2），所以設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：

，

設(shè)，則，

，

且，所以為鈍角，

由圓的性質(zhì)可得原點O總在以線段AB為直徑的圓的內(nèi)部

（3）不妨設(shè)，因為，

所以或（舍去），

，，因為直線，所以直線的斜率也為，

設(shè)該直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，

因為與拋物線有且只有一個公共點E，所以有，

此時，所以，，

的面積為

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，而，

所以解得，，

因此的面積存在最小值2，M點的坐標為.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)出點的坐標，由拋物線的簡單性質(zhì)即可求出焦點的坐標和準線的方程，結(jié)合已知條件代入計算出點a的坐標即可。

(2)由m的取值即可求出直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后得到關(guān)于y的方程，結(jié)合韋達定理計算出

，再把結(jié)果代入到數(shù)量積的坐標公式，整理化簡計算出結(jié)果，由此即可得出結(jié)論。

16．【答案】（1）解：直線的方程為，設(shè)點、，

則得，所以，

則，解得，故拋物線方程為.

（2）證明：設(shè)、，

若直線垂直于軸時，此時直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，

所以，，

又，解得，

故直線的方程為，，滿足題意.

因此，直線過定點.

【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，再設(shè)點、，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理，得出，再利用拋物線定義結(jié)合兩點距離公式得出，進而求出p的值，從而求出拋物線的標準方程。

（2）設(shè)、，若直線垂直于軸時，此時直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理，得出，，再利用兩點求斜率公式結(jié)合已知條件得出t的值，從而求出直線的方程為，再結(jié)合判別式法得出，滿足題意，進而證出直線過定點。

17．【答案】（1）易知點是拋物線的焦點，，

依題意，

所以點軌跡是一個橢圓，其焦點分別為，長軸長為4，

設(shè)該橢圓的方程為，

則，

，

故點的軌跡的方程為.

（2）易知直線1的斜率存在，

設(shè)直線1：，

由得：，

，

即①又，

故，將，代，

得：，

將②代入①，得：，

即，

即，即，

且，

即的取值范圍為或.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的簡單性質(zhì)以及定義，把點的坐標代入整理即可得出點軌跡是一個橢圓，結(jié)合已知條件計算出a、b、c的取值，由此即可得出橢圓的方程。

(2)由已知條件對斜率分情況討論，設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線與橢圓的方程消元后即可得到關(guān)于x的方程，由韋達定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標公式代入整理化簡即可得出k的取值范圍。

18．【答案】（1）拋物線的準線：，于是得，解得，

而點在上，即，解得，又，則，

所以的坐標為，的方程為.

（2）設(shè)，直線的方程為，

由消去x并整理得：，則，，，

因此，，

化簡得，即，代入方程得，即，則直線過定點，

所以直線過定點.

【解析】【分析】(1)由拋物線的簡單性質(zhì)以及弦長公式，即可求出然后把點的坐標代入計算出P的值即可，由此即可得出拋物線的方程。

(2)由設(shè)而不求法首先設(shè)出點的坐標，由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于m和h的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再由斜率的坐標公式整理化簡計算出，結(jié)合已知條件即可得出直線的方程由此即可得出直線過的定點的坐標。

19．【答案】（1）解：依題意，點坐標滿足方程，∴拋物線的方程為．

（2）解：設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，消去x得，

．

，解得或2（舍）

，當(dāng)，即，時等號成立.

∴t＝3或t＝－1（舍）

所以的最小值為，直線l：x＝my＋3恒過定點（3，0）．

【解析】【分析】（1）將點代入拋物線方程，解出p，可得拋物線的方程；

（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，再利用均值不等式解得最值，得到直線的定點。

20．【答案】（1）解：因點在拋物線上，故有，所以，從而拋物線的方程為.

直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，

聯(lián)立，可得，解得（舍去），或，

所以，點的坐標為.

（2）解：設(shè)點的坐標為，

由為線段的中點，得點的坐標為，

又點在拋物線上，所以，即.

的面積

.

所以，當(dāng)，即或時，的面積取得最大值，最大值為2.

【解析】【分析】（1）求出拋物線的方程，可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，即可求得點B的坐標；

（2）設(shè)點的坐標為，可得出點B，將點B的坐標代入拋物線的方程可得出，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得面積的最大值.

21．【答案】（1）解：由題意可知，則

所以的面積，解得，

所以拋物線的標準方程為

（2）解：易知直線斜率存在，設(shè)直線為，設(shè)

聯(lián)立，消去得，

由韋達定理得①

由得，②

由①②可解得，

由弦長公式可得

【解析】【分析】(1)由已知條件即可得出焦點的坐標，然后由兩點間的距離公式結(jié)合三角形的面積公式，代入數(shù)值計算出P的取值，從而即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由向量的坐標公式代入整理化簡計算出斜率的取值，并把數(shù)值代入到弦長公式計算出結(jié)果即可。

22．【答案】（1）解：由題設(shè)知點C到點F的距離等于它到直線的距離，

所以點C的軌跡是以F為焦點，為準線的拋物線，

故E的方程為.

（2）解：設(shè)中點坐標為，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

兩式作差得，

則，

則直線l的方程為，聯(lián)立，

得，

所以，

，

所以當(dāng)，即時，取得最大值，

此時直線l的方程為或．

【解析】【分析】（1）由已知條件得出點C到點F的距離等于它到直線的距離，再利用拋物線的定義得出點C的軌跡是以F為焦點，為準線的拋物線，進而求出拋物線的標準方程。

（2）設(shè)中點坐標為，再利用分類討論的方法結(jié)合中點坐標公式，得出當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式作差結(jié)合兩點求斜率公式，進而得出直線l的斜率，再利用點斜式求出直線l的方程，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達定理，得出，再利用弦長公式結(jié)合二次函數(shù)的圖象求最值的方法，進而求出的最大值，從而求出此時對應(yīng)的直線l的方程。

23．【答案】（1）因為拋物線：的焦點為，

所以，解得，

故的方程為．

（2）設(shè)，則

兩式相減得，

所以，

因為，

所以．

故直線l的方程為：y-=（x-1），即y=x-.

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合拋物線焦點求解方法，進而求出p的值，從而求出拋物線的標準方程。

（2）利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合作差法，再利用兩點求斜率公式和韋達定理以及中點坐標公式，從而求出直線l的斜率，再利用點斜式求出直線l的方程。

24．【答案】（1）解：∵點到坐標原點的距離等于該點到準線的距離，

∴點到坐標原點的距離等于該點到焦點的距離，

∴點在坐標原點與焦點所在線段的中垂線上，

所以，解得，即拋物線方程為；

（2）解：設(shè)，，

則，，設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立方程得，則，，

∴．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件即可得出點到坐標原點的距離等于該點到焦點的距離，從而即可得出點在坐標原點與焦點所在線段的中垂線上，結(jié)合題意代入數(shù)值計算出P的取值即可。

(2)首先設(shè)出點的坐標，再由斜率的坐標公式結(jié)合點斜式即可求出直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后得到關(guān)于y的方程，結(jié)合韋達定理計算出兩根之和與兩根之積的關(guān)于m的代數(shù)式，代入數(shù)值整理化簡計算出結(jié)果即可。

25．【答案】（1）由題意到點的距離等于點到直線的距離，所以點軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，，，

拋物線方程即點軌跡方程是．

（2）因為直線過的外心，所以，的斜率一定存在，

設(shè)方程為，代入拋物線方程得，或，

所以，，即，同理得，

直線方程為，整理得，

時，，所以直線過定點．

【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義即可得曲線的方程；

(2)的斜率一定存在，設(shè)方程為，代入拋物線方程求得A點坐標，同理求得B點坐標，再由兩點式寫出直線AB方程，由此證得直線過定點．

26．【答案】（1）因為，，圓的半徑，所以，

易知，即，得，

所以拋物線C的標準方程為．

（2）由題意，直線l的方程為，聯(lián)立

化簡得（），

所以

由，即，得，結(jié)合，知．

記，，直線OA方程為（顯然）．

由得，

而．

同理可得．

因為3k是，的等比中項，所以，

代入得，

即

化簡得，

結(jié)合，解得．

所以k的值為或．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的定義結(jié)合圓的幾何意義，計算出，由此得出P的值，從而得出拋物線的方程。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點的坐標，并由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標公式代入整理計算出斜率關(guān)于k的代數(shù)式，整理化簡即可得到關(guān)于k的方程，求解出k的取值即可。

27．【答案】（1）解：已知到焦點的距離為10，則點到準線的距離為10.

∵拋物線的準線為，∴，

解得，∴拋物線的方程為.

（2）由已知可判斷直線