廣東省廣雅中學(xué)、執(zhí)信、六中、深外四校2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

廣東省廣雅中學(xué)、執(zhí)信、六中、深外四校2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切2．散點(diǎn)圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線(xiàn)方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.23．已知三棱錐，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用表示，則等于()A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知點(diǎn)P(5，3，6)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(2，3，1)，且一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為()A. B.C. D.6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20497．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.8．是直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要9．已知點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.10411．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.12．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，則______14．高二某位同學(xué)參加物理、政治科目的學(xué)考，已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中得A的概率分別為、，這兩門(mén)科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)A的概率為_(kāi)_____15．已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為②過(guò)點(diǎn)P作過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過(guò)點(diǎn)P與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為x－2y＋1＝0④過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，則直線(xiàn)MN的斜率為定值其中正確的是________.16．若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)；（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且焦距為6.18．（12分）如圖，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E為棱BC上的點(diǎn)，且（1）求證：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.20．（12分）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作斜率分別為的兩條直線(xiàn)，分別交橢圓于點(diǎn)，且，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).21．（12分）已知橢圓C：，右焦點(diǎn)為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點(diǎn)，求|OT||MN|的取值范圍22．（10分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因?yàn)椋詢(xún)蓤A相交.故選：A.2、C【解析】通過(guò)樣本中心點(diǎn)來(lái)求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C3、D【解析】連接，利用，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】連接，如下圖.故選：D.4、B【解析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對(duì)和進(jìn)行分類(lèi)討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時(shí)成立，所以必要性成立.故選：B.5、B【解析】根據(jù)向量和直線(xiàn)l的方向向量的關(guān)系即可求出點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離.【詳解】由題意，，，，，，到直線(xiàn)的距離為.故選：B.6、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即所以，解得或，因?yàn)?，所?所以，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以故選：B7、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對(duì)于A，如，滿(mǎn)足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B8、B【解析】求出直線(xiàn)與平行的等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當(dāng)時(shí)，與平行，當(dāng)時(shí)，與平行，則直線(xiàn)與直線(xiàn)平行等價(jià)于或，所以是直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行的充分而不必要條件.故選：B9、A【解析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的斜率，利用，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角為，因?yàn)?，所以直線(xiàn)AB的斜率，即，因?yàn)?，所?故選：A10、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂?，因此?shù)列是公比的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，故選：D11、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求得，再求解【詳解】因?yàn)椋?，所以故選：C12、D【解析】取AC的中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到線(xiàn)距離的向量求法和投影的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點(diǎn)O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)C到直線(xiàn)距離為：.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求出，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：14、【解析】根據(jù)給定條件利用相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，這位考生至少得1個(gè)A對(duì)立事件為物理、政治科目考試都沒(méi)有得A，其概率為，所以這位考生至少得1個(gè)A的概率為.故答案為：15、②③④【解析】由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)可得拋物線(xiàn)的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可判斷①；求出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立切線(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線(xiàn)方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線(xiàn)方程，從而判斷③；設(shè)直線(xiàn)的方程為拋物線(xiàn)聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：；可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，對(duì)于①，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可得直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的方程為：，代入拋物線(xiàn)的方程可得：，解得，所以，故②正確；對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線(xiàn)方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與拋物線(xiàn)聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線(xiàn)中可得，即，，直線(xiàn)的方程為：，代入拋物線(xiàn)的方程，可得，代入直線(xiàn)的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.16、5【解析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合求和公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，若時(shí)，可得，故，所以，化簡(jiǎn)得，整理得，解得或，因?yàn)?，解得，所?故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）待定系數(shù)法去求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）待定系數(shù)法去求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入得，解之得，則所求橢圓方程為當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入得，解之得，則所求橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】橢圓方程可設(shè)為，則，解之得，則橢圓方程為18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（1）計(jì)算向量的數(shù)量積，，根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零，證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，進(jìn)而證明線(xiàn)面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因?yàn)?，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在的直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，則，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知平面PAC，可作為平面PAC的法向量，設(shè)平面PCD的法向量，因?yàn)?，所以，即，不妨設(shè)，得，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為19、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結(jié)果；（2）二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得或，所以，解集為或.（2）因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ佼?dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，的取值范圍為.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由離心率、過(guò)點(diǎn)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率公式表示出，整理可得直線(xiàn)為；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)；綜合兩種情況可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）橢圓過(guò)點(diǎn)，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，則，則，，解得：，直線(xiàn)方程為；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡(jiǎn)可得：，即，整理得：，代入直線(xiàn)方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；綜上所述：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與橢圓綜合應(yīng)用中的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線(xiàn)方程；④根據(jù)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.21、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)?，易求，當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，利用直線(xiàn)與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)MN斜率為0時(shí)，不妨取直線(xiàn)MN為??=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線(xiàn)MN斜率不存在，不妨取直線(xiàn)MN為x=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，，因?yàn)橹本€(xiàn)MN與圓相切，所以，即，又因?yàn)橹本€(xiàn)MN與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)：由，得，則，所以MN中點(diǎn)T坐標(biāo)為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取