《拉格朗日插值》

Lagrange插值1整理ppt主要知識點插值的根本概念，插值多項式的存在唯一性；Lagrange插值(含線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值公式〕；插值余項；插值方法：〔1〕解方程組、〔2〕基函數(shù)法。2整理ppt插值問題描述設(shè)某個函數(shù)關(guān)系在某些離散點上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達(dá)式,以便于計算點的函數(shù)值，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。3整理ppt多項式插值定義在眾多函數(shù)中,多項式最簡單、最易計算，函數(shù)個互不相同的點處的函數(shù)值，為求的近似式，自然應(yīng)中選次多項式使

滿足條件4整理ppt插值的幾何意義插值多項式的幾何意義5整理ppt插值唯一性定理定理：(唯一性)滿足的n階插值多項式是唯一存在的。6整理ppt存在唯一性定理證明設(shè)所要構(gòu)造的插值多項式為：由插值條件得到如下線性代數(shù)方程組：7整理ppt存在唯一性定理證明(續(xù))此方程組的系數(shù)行列式為范得蒙行列式！當(dāng)

時，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一確定。8整理ppt插值方法一、解方程組法：類似插值唯一性定理證明過程，先設(shè)插值多項式函數(shù)為，將個節(jié)點的函數(shù)值代入多項式里，便得到個等式，得到一個關(guān)于多項式里系數(shù)的線性方程組，解此線性方程組，便得到所要求的插值多項式。二、基函數(shù)法：一種既能防止解方程組，又能適合于計算機求解的方法，下面將具體介紹。9整理ppt拉格朗日插值公式拉格朗日〔Lagrange〕插值公式的根本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1個插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)的構(gòu)造。10整理ppt線性插值函數(shù)x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可見是過和兩點的直線。11整理ppt拋物插值函數(shù)x0x1x2p2(x)

f(x)f(x)因過三點的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。12整理pptN次插值函數(shù)要求：無重合節(jié)點，即設(shè)連續(xù)函數(shù)

在[a,b]上對給定n+1個不同結(jié)點：分別取函數(shù)值其中試構(gòu)造一個次數(shù)不超過n的插值多項式使之滿足條件

i=0,1,2,…,n13整理ppt一次Lagrange插值多項式(1)函數(shù)在點上的值為，要求多項式，使，。其幾何意義，就是通過兩點的一條直線，如下圖。14整理ppt一次Lagrange插值多項式(2)一次插值多項式

15整理ppt一次Lagrange插值多項式(3)由直線兩點式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為

顯然有：16整理ppt一次Lagrange插值多項式(4)記可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為，稱為節(jié)點,的線性插值基函數(shù)17整理ppt一次Lagrange插值多項式(5)線性插值基函數(shù)滿足下述條件1001并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點對下面的推廣很重要18整理ppt一次Lagrange插值多項式(6)我們稱為點的一次插值基函數(shù)，為點的一次插值基函數(shù)。它們在對應(yīng)的插值點上取值為1，而在另外的插值點上取值為0。插值函數(shù)是這兩個插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對應(yīng)點上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日〔Lagrange〕插值。19整理ppt二次Lagrange插值多項式1線性插值只利用兩對值及求得的近似值，誤差較大。p2(x)是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多項式。通過三點的插值問題稱為二次插值或拋物插值。20整理ppt二次Lagrange插值多項式2以過節(jié)點的二次函數(shù)為插值函數(shù)。用基函數(shù)的方法獲得其中設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點處的函數(shù)值為21整理pptN次插值函數(shù)1我們看到，兩個插值點可求出一次插值多項式，而三個插值點可求出二次插值多項式。當(dāng)插值點增加到n+1個時，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項式，如下所示：22整理pptN次插值多項式問題2n+1個節(jié)點處的函數(shù)值求一個n次插值函數(shù)滿足23整理pptN次插值多項式3構(gòu)造各個插值節(jié)點上的基函數(shù)滿足如下條件10000100000124整理pptN次插值多項式4求n次多項式，

k=0,1,…,n那么

i=0,1,2,…,n即

滿足插值條件根據(jù)

的表達(dá)式，以外所有的結(jié)點都是

的根，25整理pptN次插值多項式5又由

，得：

因此令26整理pptN次插值多項式6從而得n階拉格朗日〔Lagrange〕插值公式：27整理pptN次插值多項式7在[a,b]內(nèi)存在,考察截斷誤差設(shè)節(jié)點，且f

滿足條件,存在使得。且推廣：若使得使得羅爾定理:若在［］連續(xù)，在充分光滑，28整理pptN次插值多項式8注：

通常不能確定

x

,而是估計,

x(a,b)將作為誤差估計上限。

當(dāng)f(x)為任一個次數(shù)

n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)

n的多項式是精確的。29整理ppt例題分析1例：特殊角處的正弦函數(shù)值分別為求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項式，并用插值函數(shù)近似計算，并估計誤差解：一次插值函數(shù)為30整理ppt例題分析2誤差為在所求點的函數(shù)值為誤差為知31整理ppt例題分析3二次插值多項式為誤差為所求函數(shù)值為32整理ppt例題分析4誤差為右圖中紅色曲線為圖形,綠色曲線為插值函數(shù)的圖形。33整理ppt

Newton插值34整理ppt第三講主要知識點牛頓〔Newton〕插值及余項、差商的定義與性質(zhì)；埃爾米特(Hermite)插值公式及余項；等距節(jié)點的多項式插值、分段低次多項式插值、三次樣條插值*。35整理ppt函數(shù)插值問題描述設(shè)某個函數(shù)關(guān)系在某些離散點上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達(dá)式,以便于計算點的函數(shù)值，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。36整理pptNewton插值

求作n次多項式使得：37整理ppt插值問題討論Lagrange插值雖然易算，但假設(shè)要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。38整理pptNewton插值的承襲性39整理pptNewton插值40整理ppt具有承襲性的插值公式線性插值公式可以寫成如下形式：其中，其修正項的系數(shù)再修正可以進(jìn)一步得到拋物插值公式其中以上討論說明，為建立具有承襲性的插值公式，需要引進(jìn)差商概念并研究其性質(zhì)。41整理ppt差商的概念1．差商的定義定義1：設(shè)有函數(shù)f(x)以及自變量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn〔即在ij時，xixj〕的值f(xi),稱為f(x)在點xi,xi處的一階差商，并記作f[xi,xj]，42整理ppt差商的概念(續(xù))又稱為在點處的二階差商

稱

為f(x)在點處的n階差商。43整理ppt差商表xf(x)一階差商二階差商三階差商X0f(x0)X1f(x1)f(x0,x1)X2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)由差商定義可知：高階差商是兩個低一階差商的差商。44整理ppt差商形式的插值公式再考慮拉格朗日插值問題：問題求作次數(shù)多項式，使?jié)M足條件，利用差商其解亦可表達(dá)為如下形式：

這種差商形式的插值公式稱為牛頓插值公式。45整理pptNewton插值容易證明牛頓插值多項式滿足插值條件。由插值多項式的唯一性，得牛頓插值多項式的誤差估計46整理pptNewton插值(續(xù))牛頓插值公式的優(yōu)點是：當(dāng)增加一個節(jié)點時，只要再增加一項就行了，即有遞推式:

47整理ppt例題分析48整理ppt例題分析〔續(xù)1〕49整理ppt例題分析〔續(xù)2〕50整理pptHermite插值多項式要求函數(shù)值重合，而且要求假設(shè)干階導(dǎo)數(shù)也重合。在實際問題中，對所構(gòu)造的插值多項式，不僅把此類插值多項式稱為埃米爾特〔Hermite〕插值多項式或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項式，記為H(x)。51整理pptHermite插值多項式〔續(xù)1〕

要求在1個節(jié)點x0處直到m0階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項式即為Taylor多項式其余項為N

1

N個條件可以確定階多項式。52整理ppt函數(shù)在區(qū)間[a,b]上n個互異點處的函數(shù)值，以及導(dǎo)數(shù)值，求使得滿足插值條件Hermite插值多項式〔續(xù)2〕53整理ppt簡化問題描述使得滿足插值條件54整理pptHermite插值多項式構(gòu)造各個節(jié)點的插值基函數(shù)Hermit插值函數(shù)可表成構(gòu)造方法：〔類似Lagrange插值基函數(shù)〕55整理ppt兩點三次Hermit插值使得滿足插值條件：56整理ppt兩點三次Hermit插值〔續(xù)1〕直接設(shè)待定系數(shù)將使計算復(fù)雜，且不易推廣到高次?；貞汱agrange插值基函數(shù)的方法，引入四個基函數(shù)使之滿足57整理ppt兩點三次Hermit插值〔續(xù)2〕為方便起見，先考慮的情形。，，，在一般情形下，只需作變換58整理ppt兩點三次Hermit插值〔續(xù)3〕相應(yīng)的基函數(shù)為：，，，59整理ppt兩點三次Hermit插值〔續(xù)4〕從而Hermite插值多項式為60整理ppt算例：對數(shù)函數(shù)在兩點處的值及導(dǎo)數(shù)值1200.69314710.5用三次Hermit多項式求的近似值ln1.5=0.409074兩點三次Hermit插值〔續(xù)5〕61整理ppt一般的Hermit插值設(shè)在n+1個節(jié)點給出函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值要求插值多項式滿足滿足這些條件的插值多項式就是Hermit插值多項式。其構(gòu)造方法和兩點情況類似，不再重復(fù)。62整理ppt高次插值的龍格現(xiàn)象對于代數(shù)插值來說，插值多項式的次數(shù)很高時，逼近效果往往很不理想。例如，考察函數(shù),設(shè)將區(qū)間分為等份，表取個等分點作節(jié)點的插值多項式，如以下圖所示，當(dāng)增大時，在兩端會發(fā)出劇烈的振蕩，這就是所謂龍格現(xiàn)象。63整理ppt龍格現(xiàn)象64整理ppt分段插值的概念所謂分段插值，就是將被插值函數(shù)逐段多項式化。一般來說，分段插值方法的處理過程分兩步，先將所考察的區(qū)間作一分劃并在每個子段上構(gòu)造插值多項式，然后把它們裝配在一起，作為整個區(qū)間上的插值函數(shù)，即稱為分段多項式。如果函數(shù)在分劃的每個子段上都是次式，那么稱為具有分劃的分段次式。65整理ppt分段插值1.分段線性插值；2.分段拋物插值；3.分段低次多項式插值；原因：高次插值會發(fā)生Runge現(xiàn)象。逼近效果并不算太好！66整理ppt

分段線性插值

滿足條件具有分劃的分段一次式在每個子段上都具有如下表達(dá)式：

67整理ppt分段三次埃爾米特插值問題求作具有分劃的分段三次式，使成立解由于每個子段上的都是三次式，且滿足埃爾米特插值條件：

所以

其中，且有68整理ppt樣條函數(shù)的概念所謂樣條函數(shù)，從數(shù)學(xué)上講，就是按一定光滑性要求“裝配〞起來的分段多項式，具體的說，稱具有分劃的分段次式為次樣條函數(shù)，如果它在每個內(nèi)節(jié)點上具有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。點稱為樣條函數(shù)的節(jié)點。特別地，零次樣條就是人們熟知的階梯函數(shù)，一次樣條那么為折線函數(shù)。69整理ppt樣條函數(shù)插值插值曲線即要簡單，又要在曲線的連接處比較光滑。這樣的分段插值函數(shù)在分段上要求多項式次數(shù)低，而在節(jié)點上不僅連續(xù)，還存在連續(xù)的低階導(dǎo)數(shù)，我們把滿足這樣條件的插值函數(shù)，稱為樣條插值函數(shù)，它所對應(yīng)的曲線稱為樣條曲線，其節(jié)點稱為樣點，這種插值方法稱為——樣條插值。70整理ppt樣條函數(shù)插值〔續(xù)1〕插值函數(shù)。71整理ppt樣條函數(shù)插值〔續(xù)2〕f(x)H(x)S(x)注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值〔除了在2個端點可能需要〕；而Hermite插值依賴于f在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。72整理ppt

曲線擬和73整理ppt第四講主要知識點1、曲線擬合的概念2、曲線擬和的方法3、解矛盾方程組74整理ppt函數(shù)插值問題回憶設(shè)某個函數(shù)關(guān)系在某些離散點上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達(dá)式,以便于計算點的函數(shù)值，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。75整理ppt曲線擬和的概念在前面所討論的各種插值方法中，始假設(shè)數(shù)據(jù)點是精確的，準(zhǔn)確的，不可修改的，所要求出的插值曲線必須通過每一個數(shù)據(jù)點。但在實際工作中由于各隨機因素的干擾，所得到的數(shù)據(jù)往往不同程度存在著誤差。因此，插值方法只能適用那些誤差可以忽略不記的情況，當(dāng)誤差較大而不能忽略時，又如何通過這些觀測數(shù)據(jù)確定其內(nèi)在的變化規(guī)律呢？本節(jié)所介紹的曲線擬合就是解決這一問題的主要方法之一。76整理ppt曲線擬合的概念(續(xù))如下圖，常常需要從一組獲得的數(shù)據(jù)點中，尋找變量與變量之間的變化規(guī)律．用幾何方法來解釋，就是用平面內(nèi)的一組點，來確定一條曲線，使該曲線能在整體上刻畫這組點的變化趨勢而不需通過每個點，我們稱這種方法為曲線擬合，所求出的曲線稱為擬合曲線。77整理ppt曲線擬合的方法將上述問題抽象為數(shù)學(xué)問題為：設(shè)有一組數(shù)據(jù)對，，求連續(xù)變量的一個函數(shù)，它在處誤差為，使總體誤差按某種算法到達(dá)最?。Ｓ玫娜N準(zhǔn)那么是:78整理ppt曲線擬合的方法(續(xù))〔１〕使得誤差的最大的絕對值為最小，即〔２〕使誤差的絕對值和最小，即〔３〕使誤差的平方和為最小，即由于準(zhǔn)測〔１〕、〔２〕含有絕對值不便于處理，通常采用準(zhǔn)測〔３〕，并稱基于準(zhǔn)那么〔３〕來選取擬合曲線的方法，為曲線擬合的最小二乘法。79整理ppt多項式擬合一般而言，所求得的擬合函數(shù)可以是不同的函數(shù)類，其中最簡單的是多項式，此時稱為多項式擬合，具體定義如下：80整理ppt多項式擬合(續(xù)1)定義2.5設(shè)有給定的數(shù)據(jù)，假設(shè)其擬合函數(shù)形式為，求系數(shù)，使得

取最小值．稱次多項式為次最小二乘擬合多項式(或次最小平方逼近多項式)。特別地，當(dāng)時，稱為線性最小二乘擬合。81整理ppt多項式擬合〔續(xù)2〕容易看出是系數(shù)的元二次多項式(二次型)，所以可以用多元函數(shù)求極值的方法求其最小值點和最小值。將對求偏導(dǎo)數(shù)得到駐點方程組：，即

82整理ppt直線擬和問題對于給定的數(shù)據(jù)點，求作一次式，使總誤差為最小，即在二元函數(shù)式中

為最小。這里Q是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，這一問題就是要確定a和b取何值時，二元函數(shù)的值最小?83整理ppt直線擬和〔續(xù)1〕由微積分的知識可知，這一問題的求解，可歸結(jié)為求二元函數(shù)的極值問題，即和應(yīng)滿足：84整理ppt直線擬和〔續(xù)2〕85整理ppt擬合例題例1觀測數(shù)據(jù)如下所示，求它的擬合曲線。解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)下畫出數(shù)據(jù)點，從圖中可以看出，各點在一條直線附近，故可取線性函數(shù)作為擬合曲線1234544.5688.586整理ppt擬合例題〔續(xù)1〕令將數(shù)據(jù)帶入公式得，解得。因此而得所求擬合曲線為。87整理ppt