2023年廣東省潮州市中考數(shù)學試題及解析

2023年廣東省潮州市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）（2023?廣東）負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術》中．如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（）A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元2．（3分）（2023?廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．3．（3分）（2023?廣東）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產大飛機商業(yè)首航取得圓滿成功．C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學記數(shù)法表示為（）A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×1034．（3分）（2023?廣東）如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝（）A．43° B．53° C．107° D．137°5．（3分）（2023?廣東）計算3aA．1a B．6a2 C．5a6．（3分）（2023?廣東）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻．優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)7．（3分）（2023?廣東）某學校開設了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一門學習，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（）A．18 B．16 C．14 8．（3分）（2023?廣東）一元一次不等式組x-A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜49．（3分）（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°10．（3分）（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．（3分）（2023?廣東）因式分解：x2﹣1＝．12．（3分）（2023?廣東）計算：3×12=13．（3分）（2023?廣東）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的函數(shù)表達式為I=48R．當R＝12Ω時，I的值為14．（3分）（2023?廣東）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打折．15．（3分）（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．16．（10分）（2023?廣東）（1）計算：38+|﹣5|+（﹣1）（2）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經過點（0，1）與點（2，5），求該一次函數(shù)的表達式．17．（7分）（2023?廣東）某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12km，甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結果甲比乙早到10min，求乙同學騎自行車的速度．18．（7分）（2023?廣東）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站．如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)．當兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離．（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）（2023?廣東）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長．20．（9分）（2023?廣東）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒．素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關系；（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結論．21．（9分）（2023?廣東）小紅家到學校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內乘車2次并分別記錄所用時間．數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：a＝；b＝；c＝；（2）應用你所學的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．22．（12分）（2023?廣東）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA'②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．23．（12分）（2023?廣東）綜合運用如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．（1）當旋轉角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）（2）若點A（4，3），求FC的長；（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關于n的函數(shù)表達式．

2023年廣東省潮州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）（2023?廣東）負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術》中．如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（）A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元【考點】正數(shù)和負數(shù)；數(shù)學常識．【專題】實數(shù)；符號意識．【答案】A【分析】本題考查負數(shù)的概念問題，負數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對具有相反意義的量，進而作答．【解答】解：把收入5元記作+5元，根據(jù)收入和支出是一對具有相反意義的量，支出5元就記作﹣5元．故答案為A．【點評】本題考查負數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對具有相反意義的量，解題的關鍵是理解相反意義的含義，進而作答．2．（3分）（2023?廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】A【分析】利用軸對稱圖形的定義進行分析即可．【解答】解：選項B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項A中的圖形沿某條直線對折后兩部分能完全重合，是軸對稱圖形，故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．3．（3分）（2023?廣東）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產大飛機商業(yè)首航取得圓滿成功．C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學記數(shù)法表示為（）A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×103【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：將186000用科學記數(shù)法表示為：1.86×105．故選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）（2023?廣東）如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝（）A．43° B．53° C．107° D．137°【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】由平行線的性質即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝137°，故選：D．【點評】本題考查平行線的性質，熟練掌握性質解解題關鍵．5．（3分）（2023?廣東）計算3aA．1a B．6a2 C．5a【考點】分式的加減法．【專題】計算題；運算能力．【答案】C【分析】本題考查同分母分式的加減法，分母不變，分子相加減．【解答】解：3=3+2=5故本題選：C．【點評】本題考查同分母分式相加減，分母不變，分子相加減．解題的關鍵是類比同分母分數(shù)的相加減進行計算即可．6．（3分）（2023?廣東）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻．優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)【考點】黃金分割；算術平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；統(tǒng)計量的選擇．【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答．【解答】解：我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻．優(yōu)選法中有一種0.618法應用了黃金分割數(shù)，故選：A．【點評】本題考查了黃金分割，算術平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計量的選擇，熟練掌握這些數(shù)學知識是解題的關鍵．7．（3分）（2023?廣東）某學校開設了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一門學習，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（）A．18 B．16 C．14 【考點】概率公式．【專題】概率及其應用；應用意識．【答案】C【分析】直接利用概率公式可得答案．【解答】解：∵共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，∴明恰好選中“烹飪”的概率為14故選：C．【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．8．（3分）（2023?廣東）一元一次不等式組x-A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4【考點】解一元一次不等式組．【專題】計算題；一元一次不等式（組）及應用；符號意識；運算能力．【答案】D【分析】求出第一個不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：x-由不等式x﹣2＞1得：x＞3，∴不等式的解集為3＜x＜4．故選：D．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟知解集的規(guī)律．9．（3分）（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°【考點】圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】B【分析】由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵AC=∴∠D＝∠ABC＝40°，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理的應用，解題的關鍵是掌握直徑所對的圓周角是直角和同弧所對的圓周角相等．10．（3分）（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；正方形的性質．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結論．【解答】解：過A作AH⊥x軸于H，∵四邊形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，設A（m，m），則B（0，2m），∴m=am解得am＝﹣1，m=c∴ac的值為﹣2，故選：B．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經過的點的坐標是解題的關鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．（3分）（2023?廣東）因式分解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．【考點】因式分解﹣運用公式法．【專題】因式分解．【答案】見試題解答內容【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案為：（x+1）（x﹣1）．【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．12．（3分）（2023?廣東）計算：3×12=【考點】二次根式的乘除法．【專題】解題思想；二次根式；運算能力．【答案】6．【分析】本題考查二次根式的乘法計算，根據(jù)a×b=ab和a2=【解答】解：方法一：3×=3×2＝2×3＝6．方法二：3×=3×12=36＝6．故答案為：6．【點評】本題考查二次根式的計算，考查的關鍵是準確運用a×b=ab和a2=13．（3分）（2023?廣東）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的函數(shù)表達式為I=48R．當R＝12Ω時，I的值為4【考點】反比例函數(shù)的應用．【專題】反比例函數(shù)及其應用；運算能力．【答案】4．【分析】直接將R＝12代入I=48R中可得【解答】解：當R＝12Ω時，I=4812=4故答案為：4．【點評】此題考查的是反比例函數(shù)的應用，掌握反比例函數(shù)的點的坐標是解決此題的關鍵．14．（3分）（2023?廣東）某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打8.8折．【考點】一元一次不等式的應用．【專題】一元一次不等式（組）及應用；應用意識．【答案】8.8．【分析】利潤率不能少于10%，意思是利潤率大于或等于10%，相應的關系式為：（打折后的銷售價﹣進價）÷進價≥10%，把相關數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設這種商品最多可以按x折銷售，則售價為5×0.1x，那么利潤為5×0.1x﹣4，所以相應的關系式為5×0.1x﹣4≥4×10%，解得：x≥8.8．答：該商品最多可以8.8折，故答案為：8.8．【點評】此題主要考查了一元一次不等式的應用，解決本題的關鍵是得到利潤率的相關關系式，注意“不能低于”用數(shù)學符號表示為“≥”；利潤率是利潤與進價的比值．15．（3分）（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴ABAD∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴420∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴ACAD∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴1020∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積=12（HK+GF=12×（＝15．故答案為：15．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．16．（10分）（2023?廣東）（1）計算：38+|﹣5|+（﹣1）（2）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經過點（0，1）與點（2，5），求該一次函數(shù)的表達式．【考點】實數(shù)的運算；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】計算題；實數(shù)；數(shù)感；運算能力．【答案】（1）6．（2）y＝2x+1．【分析】（1）利用立方根的性質、絕對值的性質以及負數(shù)指數(shù)冪的性質進行化簡計算即可．（2）將（0，1）與（2，5）代入y＝kx+b解方程組即可．【解答】（1）解：原式＝2+5﹣1＝6．（2）解：將（0，1）與（2，5）代入y＝kx+b得：b=12k+b=5解得：k=2b=1∴一次函數(shù)的表達式為：y＝2x+1．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，正確化簡各數(shù)，將點的坐標代入后能正確解方程組是解題的關鍵．17．（7分）（2023?廣東）某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12km，甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結果甲比乙早到10min，求乙同學騎自行車的速度．【考點】分式方程的應用．【專題】分式方程及應用；應用意識．【答案】乙騎自行車的速度為12km/h．【分析】設乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，根據(jù)題意列方程即可得到結論．【解答】解：設乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，根據(jù)題意得12x解得x＝12．經檢驗，x＝12是原分式方程的解，答：乙騎自行車的速度為12km/h．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．18．（7分）（2023?廣東）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站．如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)．當兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離．（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）【考點】解直角三角形的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】A、B的距離大約是15.3m．【分析】連接AB，取AB中點D，連接CD，根據(jù)AC＝BC，點D為AB中點，可得∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°=AD10，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2AD≈【解答】解：連接AB，取AB中點D，連接CD，如圖，∵AC＝BC，點D為AB中點，∴中線CD為等腰三角形的角平分線（三線合一），AD＝BD=12∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝在Rt△ACD中，sin∠ACD=AD∴sin50°=AD∴AD＝10×sin50°≈7.66（m），∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m），答：A、B的距離大約是15.3m．【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）（2023?廣東）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）應用與計算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長．【考點】作圖—復雜作圖；平行四邊形的性質．【專題】多邊形與平行四邊形；解直角三角形及其應用；尺規(guī)作圖；運算能力．【答案】（1）見作圖；（2）6﹣23．【分析】（1）由基本作圖即可解決問題；（2）由銳角的余弦求出AE的長，即可得到BE的長．【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點；（2）∵cos∠DAB=AE∴AE＝AD?cos30°＝4×32=∴BE＝AB﹣AE＝6﹣23．【點評】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質，解直角三角形，關鍵是掌握基本作圖，由銳角的余弦求出AE的長．20．（9分）（2023?廣東）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒．素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關系；（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結論．【考點】正方形的性質；展開圖折疊成幾何體．【專題】矩形菱形正方形；展開與折疊；空間觀念；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；（2）證明過程見解答．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質即可求解；（2）根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性質即可求解．【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；（2）∵A1C1為正方形對角線，∴∠A1B1C1＝45°，設每個方格的邊長為1，則AB=1AC＝BC=1∵AC2+BC2＝AB2，∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A1B1C1．【點評】本題考查了正方形的性質，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定與性質，得到△ABC是等腰直角三角形是解題的關鍵．21．（9分）（2023?廣東）小紅家到學校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內乘車2次并分別記錄所用時間．數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）數(shù)據(jù)統(tǒng)計表實驗序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：a＝19；b＝26.8；c＝25；（2）應用你所學的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．【考點】方差；中位數(shù)；眾數(shù)．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；幾何直觀．【答案】（1）19，26.8，25．（2）選擇B路線更優(yōu)．【分析】本題考查數(shù)據(jù)的分析，數(shù)據(jù)的集中和波動問題，（1）平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的計算．（2）方差的實際應用．【解答】解：（1）求中位數(shù)a首先要先排序，從小到大順序為：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10個數(shù)，中位數(shù)在第5和6個數(shù)為18和20，所以中位數(shù)為18+202=求平均數(shù)b=25+29+23+25+27+26+31+28+30+2410眾數(shù)c＝25，故答案為：19，26.8，25．（2）小紅統(tǒng)計的選擇A線路平均數(shù)為22，選擇B線路平均數(shù)為26.8，用時差不太多．而方差63.2＞6.36，相比較B路線的波動性更小，所以選擇B路線更優(yōu)．【點評】本題考查數(shù)據(jù)的波動與集中程度，解題的關鍵是能夠平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)進行準確的計算，理解方差的意義，并進行作答．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．22．（12分）（2023?廣東）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′．連接AA′交BD于點E，連接CA′．（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA'②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．【考點】圓的綜合題．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；與圓有關的位置關系；圖形的相似；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明過程詳見解答；（2）①證明過程詳見解答；②2+2【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出OA＝OC，從而OE∥A′C，從而得出AA′⊥CA′；（2）①設CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，可證得OG＝OF＝OE，從而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，進而得出∠EAO＝30°，從而AA'②設⊙O切CA′于點H，連接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，從而AA′＝CA′，進而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，從而得出AE＝OE，OD＝OA=2AE，設OA＝OE＝x，則OD＝OA=2x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出x2+[(2-1)x]2【解答】（1）證明：∵點A關于BD的對稱點為A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；（2）①證明：如圖2，設CD⊙O與CD切于點F，連接OF，并延長交AB于點G，∴OF⊥CD，OF＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD=12BD，AB∥CD，AC＝BD，OA=∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG（ASA），∴OG＝OF，∴OG＝OE，由（1）知：AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO，∵∠EAB+∠GBO＝90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由（1）知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO=CA'∴tan30°=CA'∴AA'②解：如圖3，設⊙O切CA′于點H，連接OH，∴OH⊥CA′，由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴OHAA'∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，∴AA′＝CA′，∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA=2AE設AE＝OE＝x，則OD＝OA=2∴DE＝OD﹣OE＝（2-1）x在Rt△ADE中，由勾股定理得，x2+[(∴x2=2+∴S⊙O＝π?OE2=2+【點評】本題考查了圓的切線性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．23．（12分）（2023?廣東）綜合運用如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．（1）當旋轉角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）（2）若點A（4，3），求FC的長；（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關于n的函數(shù)表達式．【考點】一次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；運算能力；推理能力．【答案】（1）當旋轉角為22.5°時，OE＝OF；（2）FC的長為154（3）S關于n的函數(shù)表達式為S=1【分析】（1）如圖2中，當OE＝OF時，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性質以及旋轉的性質解決問題即可；（2）在圖2中，過點A作AG⊥x軸于點G，利用三角形相似，可得結論；（3）過點N作直線PQ⊥BC于點P，交OA于點Q，利用四點共圓，得出三角形FON是等腰直角三角形是解決問題的關鍵，結合三角形全等的判定和性質和三角形的面積公式解決問題．【解答】解：（1）當OE＝OF時，在Rt△AOE和Rt△COF中，OE=OFOA=OC∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋轉角），∴2∠AOE＝45°，∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，∴當旋轉角為22.5°時，OE＝OF；（2）過點A作AG⊥x軸于點G，則有AG＝3，OG＝4，∴OA=O∵四邊形OABC是正方形，∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，∴∠COG＝∠GOA，∴Rt△AOG∽Rt△FOC，∴OCOG∴FC=OC?AG∴FC的長為154（3）過點N作直線PQ⊥BC于點P，交OA于點Q，∵四邊形OABC是正方形，∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，又∠FON＝45°，∴∠FCN＝∠FON＝45°，∴F、C、O、N四點共圓，∴∠OFN＝∠OCA＝45°，∴∠OFN＝∠FON＝45°，∴△FON是等腰直角三角形，∴FN＝NO，∠FNO＝90°，∴∠FNP+∠ONQ＝90°，又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，∴∠NOQ＝∠FNP，∴△NOQ≌△FNP（AAS），∴NP＝OQ，F(xiàn)P＝NQ，∵四邊形OQPC是矩形，∴CP＝OQ，OC＝PQ，∴S1=1S2=1=1=1∴S=S1又∵△ANQ為等腰直角三角形，∴NQ=2∴S=NQ∴S關于n的函數(shù)表達式為S=1【點評】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，相似角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．

考點卡片1．正數(shù)和負數(shù)1、在以前學過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負號“﹣”，叫做負數(shù)，一個數(shù)前面的“+”“﹣”號叫做它的符號．2、0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．0是正負數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．2．科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．【科學記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結：①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．3．數(shù)學常識數(shù)學常識此類問題要結合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學常識要了解．比如給出一個物體的高度要會選擇它合適的單位長度等等．平時要注意多觀察，留意身邊的小知識．4．實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用．【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．5．因式分解-運用公式法1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍．3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止．6．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．7．二次根式的乘除法（1）積的算術平方根性質：a?b=a?b（a≥0，（2）二次根式的乘法法則：a?b=a?b（a≥0，（3）商的算術平方根的性質：ab=ab（a≥0，（4）二次根式的除法法則：ab=ab（a≥0，規(guī)律方法總結：在使用性質a?b=a?b（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質會使二次根式無意義，如（-4）×（-8．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．9．一元一次不等式的應用（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．10．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．11．一次函數(shù)圖象上點的坐標特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標是（-bk，0）；與y軸的交點坐標是（0，直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝kx+b．12．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：（1）先設出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設y＝kx+b；（2）將自變量x的值及與它對應的函數(shù)值y的值代入所設的解析式，得到關于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式．注意：求正比例函數(shù)，只要一對x，y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函數(shù)y＝kx+b，則需要兩組x，y的值．13．一次函數(shù)綜合題（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題首先要根據(jù)題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內的前提下求出最值．（3）用函數(shù)圖象解決實際問題從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達式，并解答相應的問題．14．反比例函數(shù)的應用（1）利用反比例函數(shù)解決實際問題①能把實際的問題轉化為數(shù)學問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學模型．②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義．③問題中出現(xiàn)的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．（2）跨學科的反比例函數(shù)應用題要熟練掌握物理或化學學科中的一些具有反比例函數(shù)關系的公式．同時體會數(shù)學中的轉化思想．（3）反比例函數(shù)中的圖表信息題正確的認識圖象，找到關鍵的點，運用好數(shù)形結合的思想．15．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（-b2a，①拋物線是關于對稱軸x=-②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x16．展開圖折疊成幾何體通過結合立體圖形與平面圖形的相互轉化，去理解和掌握幾何體的展開圖，要注意多從實物出發(fā)，然后再從給定的圖形中辨認它們能否折疊成給定的立體圖形．17．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補．．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．18．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．19．正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．20．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．21．圓的綜合題圓的綜合題．22．作圖—復雜作圖復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．23．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．24．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5-12AB≈0.618AB（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰