湖南省瀏陽市第二中學(xué)、五中、六中三校2024屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

湖南省瀏陽市第二中學(xué)、五中、六中三校2024屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.3．曲線與曲線（）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等4．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“，”是“為遞減數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．在下列四條拋物線中，焦點到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.6．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.9．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.11．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2021年7月24日，在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，中國選手楊倩以251.8環(huán)的總成績奪得金牌，為中國代表團摘得本屆奧運會首金．已知楊倩其中5次射擊命中的環(huán)數(shù)如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，則這組數(shù)據(jù)的方差為______14．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)34567402.5-0.50.5-2得到的回歸方程為若，則的值為___________.15．已知、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________16．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為（1）若，，求數(shù)列的前n項和；（2）若，，成等差數(shù)列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數(shù)m，n，p，使得，，成等差數(shù)列；（3）若存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列，求所有數(shù)對所構(gòu)成的集合，18．（12分）已知首項為1的數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.19．（12分）設(shè)四邊形為矩形，點為平面外一點，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大?。唬?）在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若點是的中點，在內(nèi)確定一點，使的值最小，并求此時的值.20．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.21．（12分）已知橢圓長軸長為4，A，B分別為左、右頂點，P為橢圓上不同于A，B的動點，且點在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線AP與直線（m為常數(shù)）交于點Q，①當(dāng)時，設(shè)直線OQ的斜率為，直線BP的斜率為．求證：為定值；②過Q與PB垂直的直線l是否過定點？如果是，請求出定點坐標(biāo)；如果不是，請說明理由22．（10分）已知等比數(shù)列的前項和為，，．?dāng)?shù)列的前項和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項為，所以該數(shù)列一個通項公式為故選：A2、B【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，故.故選：B.3、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對照選項可知：焦距相等.故選：D.4、A【解析】本題可依次判斷“，”是否是“為遞減數(shù)列”的充分條件以及必要條件，即可得出結(jié)果.【詳解】若等比數(shù)列滿足、，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故“，”是“為遞減數(shù)列”的充分條件，因為若等比數(shù)列滿足、，則數(shù)列也是遞減數(shù)列，所以“，”不是“為遞減數(shù)列”的必要條件，綜上所述，“，”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，考查等比數(shù)列以及遞減數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性，考查推理能力，是簡單題.5、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D6、C【解析】對方程進行化簡可得雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，進而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點到定點與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.7、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項A.故選：A.8、C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，可得出.故選：C.9、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.10、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.11、A【解析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的知識可得、、或其補角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質(zhì)可得且，且，所以或其補角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角12、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、128【解析】先求均值，再由方差公式計算【詳解】由已知，所以，故答案為：14、-1.4##【解析】分別求出的值，即得到樣本中心點，根據(jù)樣本中心點一定在回歸直線上，可求得答案.【詳解】，則得到樣本中心點為，因為樣本中心點一定在回歸直線上，故，解得，故答案為：15、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因為點在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負值舍去）故答案為：.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于常考題型.16、【解析】本題著重考查等比中項的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果；（2），，成等差數(shù)列，則+=2，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可解得，進而計算可得，即可判斷結(jié)果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，解方程組可得無解，則所有數(shù)對所構(gòu)成的集合為.【小問1詳解】，，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，數(shù)列為，數(shù)列為首項為公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數(shù)列，+=2，當(dāng)時,+=,2,不符題意舍去，當(dāng)時，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，，，.【小問3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數(shù)列是等差數(shù)列,則，,即，解得：方程組無解.即符合條件的不存在，所有數(shù)對所構(gòu)成的集合為.18、（1）（2）【解析】（1）由，構(gòu)造是以為首項，為公比等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用裂項相消可求.【小問1詳解】由，得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，故數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以.因為，所以，所以數(shù)列的前n項和.19、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見解析，【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，然后由線面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點G滿足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進而得答案.（3）延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，利用三點共線，兩線段和最小，得到，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問1詳解】解：因為平面，平面，所以，又因為底面是矩形，所以，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因為，，所以故直線PC與平面PAD所成角的大小為；【小問2詳解】解：假設(shè)BC邊上存在一點G滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)，則因為平面，到平面的距離為所以，即因為代入數(shù)據(jù)解得，即，故存在點G，當(dāng)時，使得點D到平面PAG的距離為；【小問3詳解】解：延長CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過E作于E'，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，故，過H作于H'，連結(jié)HB，在中，，，所以.20、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，可得出，再由，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，利用空間向量法可得出關(guān)于實數(shù)的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取的中點，連接，如圖：因為三角形是等邊三角形，所以，又因為面底面，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，在上找一點，其中，，，，設(shè)面的一個法向量，則，不妨令，則，和面所成角的余弦值為，則，解得或（舍），所以，為的中點，符合題意.21、（1）（2）①證明見解析；②直線過定點；【解析】（1）依題意得到方程組，解得，即可求出橢圓方程；（2）①由（1）可得，，設(shè)，，表示出直線的方程，即可求出點坐標(biāo)，從而得到、，即可求出；②在直線方程中令，即可得到的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，即可得到直線的方程，從而求出定點坐標(biāo)；【小問1詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為【小問2詳解】解：①由（1）可得，，設(shè)，，則直線的方程為，令則，所以，，所以，又點在橢圓上，所以，即，所以，即為定值；②因為直線的方程為，令則，因為，所以，所以直線的方程為，即又，所以，令，解得，所以直線過定點；22、（1），；（2）