考向04基本不等式及應(yīng)用（重點(diǎn)）-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題（新高考地區(qū)專用）（解析版）

考向04基本不等式及應(yīng)用【2021·全國(guó)·高考真題】已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【2022年新高考全國(guó)II卷】（多選題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號(hào)成立，要注意以下兩點(diǎn)：①若求最值的過(guò)程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號(hào)成立的條件必須能夠同時(shí)成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號(hào)成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍.注意：形如的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．2.通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．1.幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”).特例：（同號(hào)）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號(hào)成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”).即積為定值，和有最小值”.3.常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.1.基本不等式如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致.1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意得，再化簡(jiǎn)整理利用基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)．故答案為：.2．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.【答案】1【解析】【分析】利用基本不等式可得，以為整體求解．【詳解】∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立即，則∴或（舍去），即故答案為：1．3．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是_______．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)定義和運(yùn)算可得，利用基本不等式代入整理計(jì)算．【詳解】∵，則可得∴∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴故答案為：16．4．（2022·湖南·長(zhǎng)郡模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線將圓平分，則的最小值是_________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)圓心，所以，因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：81．（2022·廣東茂名·二模）已知，則的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】【分析】由可得，令，表示出a,b,再由，結(jié)合不等式知識(shí)，即可求得答案.【詳解】由可得：,故，令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最小值為2，故選：C．2．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知，定義，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．8 D．1【答案】A【解析】【分析】利用定義得到，兩個(gè)不等式相加后利用基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】由定義，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以，即的最小值為.故選：A3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】由條件結(jié)合基本不等式求的最小值.【詳解】因?yàn)?，又所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2，故選：C.4．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知可得，利用基本不等式即可求出.【詳解】由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.5．（2022·江西·南昌市八一三模（文））已知實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的最小值為（

）.A．1 B． C．4 D．【答案】C【解析】【分析】對(duì)已知等式進(jìn)行變形，然后利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C6．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)?zāi)M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)條件可得，從而利用換底公式的推論可得，代入要求最小值的代數(shù)式中，消元，利用均值不等式求最值【詳解】又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故選：A7．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】對(duì)原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是2.故選：A.8．（2022·安徽·合肥市第八模擬預(yù)測(cè)（文））已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】【分析】將給定等式變形為，，再代入并結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】由，得，而，則有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為2.故選：D9．（2022·浙江·鎮(zhèn)海模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用關(guān)系式的恒等變換和基本不等式的應(yīng)用即可求解.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故選：C．10．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．有最大值 B．的最小值是8C．若，則 D．的最大值為【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，∴，∴，故C正確；對(duì)D：由可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：B.11．（2022·湖北·黃岡模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．13【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得,再由乘1法結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，由切線的方程可得切線的斜率為1，令，則，故切點(diǎn)為，代入，得，、為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值9，故選：B12．（2022·湖南·邵陽(yáng)市第二模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出的值，由已知條件可得出，將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，因?yàn)?，則，，可得，由已知、，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.13．（2022·安徽·合肥一六八模擬預(yù)測(cè)（理））已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：A.14．（2022·上?！の挥M預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由可得或，故，當(dāng)且僅當(dāng)或等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.15．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第模擬預(yù)測(cè)（文））已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】由基本不等式求解【詳解】由題意當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.2．（2021·全國(guó)·高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)椋?，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．3．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】4．（多選題）（2022·全國(guó)·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．5．（多選題）（2020·海南·高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.

7．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】?jī)纱卫没静坏仁郊纯汕蟪?【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.8．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．（2020·江蘇·高考真題）已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立