高三北師大版數(shù)學（理）一輪課時檢測 12.3 模擬方法-概率的應用 含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精12.3模擬方法—--概率的應用一、選擇題1．取一根長度為4m的繩子,拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1m的概率是（）．A.eq\f(1,4）B.eq\f(1,3)C。eq\f(1,2)D。eq\f（2,3）解析把繩子4等分，當剪斷點位于中間兩部分時,兩段繩子都不少于1m，故所求概率為P＝eq\f(2，4)＝eq\f（1，2)。答案C2．在長為12cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形,則這個正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為（）．A。eq\f（1，4）B。eq\f（1，3）C.eq\f（4，27）D。eq\f(4,15)解析面積為36cm2時，邊長AM＝6，面積為81cm2時,邊長AM＝9，∴P＝eq\f（9－6，12)＝eq\f(3，12)＝eq\f（1,4）。答案A3、如圖，在邊長為25cm的正方形中挖去邊長為23cm的兩個等腰直角三角形,現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？A。 B。C. D.解析因為均勻的粒子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的所以符合幾何概型的條件。設A＝“粒子落在中間帶形區(qū)域”則依題意得正方形面積為：25×25＝625兩個等腰直角三角形的面積為：2××23×23＝529帶形區(qū)域的面積為:625－529＝96∴ P（A）＝答案A4.一只螞蟻在如圖所示的地板磚（除顏色不同外，其余全部相同）上爬來爬去,它最后隨意停留在黑色地板磚上的概率是(）A.eq\f（1，4）B.eq\f（1,3）C.D.eq\f（1,2)解析每個小方塊的面積相等，而黑色地板磚占總體的，故螞蟻停留在黑色地板磚上的概率是eq\f(1,3)答案B5．在面積為S的△ABC的邊上AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是(）．A。eq\f（1,4）B.eq\f（1，2)C。eq\f(3，4）D。eq\f(2，3）解析由△ABC，△PBC有公共底邊BC，所以只需P位于線段BA靠近B的四分之一分點E與A之間，這是一個幾何概型，∴P＝eq\f（AE,AB)＝eq\f(3，4）。答案C6．ABCD為長方形，AB＝2,BC＝1,O為AB的中點,在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為()．A。eq\f（π，4）B．1－eq\f(π，4）C.eq\f（π，8）D．1－eq\f（π，8）解析如圖,要使圖中點到O的距離大于1，則該點需取在圖中陰影部分，故概率為P＝eq\f（2－\f(π,2),2）＝1－eq\f(π，4）.答案B7．分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓,重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為()．A.eq\f（4－π，2）B。eq\f（π－2,2)C。eq\f（4－π,4）D.eq\f（π－2，4）解析設正方形邊長為2，陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接正方形的面積，即為π－2，則陰影區(qū)域的面積為2π－4，所以所求概率為P＝eq\f(2π－4，4)＝eq\f(π－2,2）。答案B二、填空題8.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=，BC=1，以A為圓心,1為半徑作四分之一個圓弧DE,在圓弧DE上任取一點P，則直線AP與線段BC有公共點的概率是．解析連接AC交弧DE于P，則tan∠CAB=，所以∠CAB=30°,當直線AP在∠CAB內(nèi)時AP與BC相交,所以概率P=答案eq\f(1，3)9．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1，2)，則周末去看電影;若此點到圓心的距離小于eq\f(1，4）,則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________．解析設A＝｛小波周末去看電影}，B＝｛小波周末去打籃球},C＝｛小波周末在家看書}，D＝｛小波周末不在家看書｝，如圖所示，則P（D）＝1－eq\f（\f（1,2)2π－\f(1,4)2π，π）＝eq\f(13，16).答案eq\f(13,16)10．已知平面區(qū)域U＝｛(x,y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0｝，A＝｛（x，y)|x≤4,y≥0，x－2y≥0｝，若向區(qū)域U內(nèi)隨機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為________．解析依題意可在平面直角坐標系中作出集合U與A所表示的平面區(qū)域(如圖),由圖可知SU＝18，SA＝4，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為P＝eq\f（SA，SU）＝eq\f(2，9).答案eq\f(2,9)11．在區(qū)間[0,1]上任取兩個數(shù)a，b，則關于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有實數(shù)根的概率為________．解析由題意得Δ＝4a2－4b2∵a，b∈[0,1],∴a≥b。∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤a≤1，，0≤b≤1，，a≥b，）)畫出該不等式組表示的可行域（如圖中陰影部分所示）．故所求概率等于三角形面積與正方形面積之比，即所求概率為eq\f（1,2).答案eq\f（1,2）12．如圖所示，在直角坐標系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________．解析如題圖,因為射線OA在坐標系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60，360）＝eq\f(1，6）.答案eq\f(1，6）三、解答題13。在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病種子，從中隨機取出10毫升，則取出的種子中含有麥銹病的種子的概率是多少？解析病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫升種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,可用“體積比”公式計算其概率．取出10毫升種子,其中“含有病種子”這一事件記為A，則P（A)所以取出的種子中含有麥銹病種子的概率是0.01.14．已知關于x的一次函數(shù)y＝mx＋n.（1)設集合P＝{－2,－1，1,2，3｝和Q＝｛－2，3｝，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為m和n，求函數(shù)y＝mx＋n是增函數(shù)的概率；（2)實數(shù)m，n滿足條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＋n－1≤0，，－1≤m≤1，,－1≤n≤1,)）求函數(shù)y＝mx＋n的圖象經(jīng)過一、二、三象限的概率．解析（1）抽取的全部結(jié)果的基本事件有：(－2，－2)，（－2，3），(－1，－2），（－1，3)，（1，－2）,(1,3）,（2，－2），(2，3)，（3,－2)，(3,3)，共10個基本事件，設使函數(shù)為增函數(shù)的事件為A，則A包含的基本事件有：（1，－2),(1,3），（2，－2），（2,3)，（3,－2），(3，3），共6個基本事件，所以，P(A）＝eq\f（6,10）＝eq\f(3，5)。(2）m、n滿足條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＋n－1≤0，，－1≤m≤1，,－1≤n≤1）)的區(qū)域如圖所示：要使函數(shù)的圖象過一、二、三象限，則m＞0，n＞0,故使函數(shù)圖象過一、二、三象限的（m，n)的區(qū)域為第一象限的陰影部分，∴所求事件的概率為P＝eq\f(\f(1，2），\f(7,2）)＝eq\f（1，7）。15．已知｜x｜≤2，|y｜≤2,點P的坐標為（x，y），求當x，y∈R時,P滿足(x－2）2＋（y－2)2≤4的概率．思路分析由題意畫出圖象可求面積之比．解析如圖，點P所在的區(qū)域為正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足（x－2)2＋（y－2）2≤4的點的區(qū)域為以（2，2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界)．∴所求的概率P1＝eq\f（\f(1,4)π×22，4×4）＝eq\f(π，16）.【點評】解決幾何概型的概率問題一般利用圖形輔助解題，分析題目，找到區(qū)域，對照定義可求得結(jié)果,較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.16．已知集合A＝{－2，0，2}，B＝｛－1,1},設M＝｛(x，y)｜x∈A，y∈B｝，在集合M內(nèi)隨機取出一個元素(x，y）．（1）求以(x，y)為坐標的點落在圓x2＋y2＝1上的概率；(2)求以(x，y）為坐標的點位于區(qū)域D：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＋2≥0,,x＋y－2≤0，,y≥－1))內(nèi)(含邊界）的概率．解析(1)記“以（x，y）為坐標的點落在圓x2＋y2＝1上”為事件A，則