遼源市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

遼源市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線方程為，過點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則符合題意的直線的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條2．已知的周長為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.3．已知，則（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)，在雙曲線上，線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20496．設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，8．將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-110．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.212．彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測量彬塔高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______14．已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：平行，則雙曲線C的離心率是______15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點(diǎn)A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線段AO1與圓O1交于點(diǎn)M，線段BM與圓O交于點(diǎn)N，且，則a的取值范圍為_______.16．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值.18．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接（1）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值；（3）若面與面所成二面角的大小為，求的值19．（12分）已知橢圓，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且，.求證：為定值，并計算出該定值.20．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）是否存在正實數(shù)a，使得不等式對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.21．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時間對該地在崗居民月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機(jī)調(diào)查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；22．（10分）已知橢圓的上下兩個焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點(diǎn)，若存在實數(shù)，使得，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.①直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)；②過點(diǎn)平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)；③設(shè)過的切線方程為與雙曲線聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線的條數(shù)為1.綜上可得，直線的條數(shù)為4.故選：A,.2、D【解析】分析可知點(diǎn)的軌跡是除去長軸端點(diǎn)的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)的位置可得出頂點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點(diǎn)不共線，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長軸端點(diǎn)的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.3、C【解析】取中間值，化成同底利用單調(diào)性比較可得.【詳解】,，，故，故選：C4、D【解析】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設(shè)，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因為的中點(diǎn)為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達(dá)定理得：，，則故選：D5、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前n項和為滿足，所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，即所以，解得或，因為，所以.所以，，所以當(dāng)時，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以故選：B6、D【解析】由題意得當(dāng)時，，根據(jù)題意作出函數(shù)的部分圖象，再結(jié)合圖象即可求出答案【詳解】解：當(dāng)時，，又，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；又，則函數(shù)圖象每往右平移兩個單位，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，作出其大致圖象得，當(dāng)時，由得，或，由圖可知，若對任意，都有，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題7、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B8、B【解析】由題意知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B.9、A【解析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，也適合上式，所以故選：A.10、C【解析】先把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求解【詳解】由，有，可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C11、C【解析】化簡復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C12、D【解析】在△中有，再應(yīng)用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設(shè)知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.14、【解析】先用兩直線平行斜率相等求出，再利用離心率的定義求解即可.【詳解】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為，則，即，則，故雙曲線C的離心率故答案為：.15、【解析】根據(jù)判斷出四邊形為平行四邊形，由此求得圓的方程以及的長，進(jìn)而判斷出點(diǎn)在圓上，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，求得的取值范圍.【詳解】四邊形ONO1M為平行四邊形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圓的方程為，且ON為△ABM的中位線AM＝2ON＝2AO1＝3，故點(diǎn)A在以O(shè)1為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為：，故與x2＋y2＝1在第一象限有交點(diǎn)，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范圍為(，4).故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.16、##【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的計算公式即可計算.【詳解】，，.故答案為：﹒三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.【小問1詳解】因為，所以，解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.【小問2詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.18、（1）證明見解析，是鱉臑，四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角即可；（2）PD是陽馬P?ABCD的高，DE是鱉臑D?BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線與平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可【小問1詳解】因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE又因為PD＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB；【小問2詳解】由已知，PD是陽馬P?ABCD的高，∴，由（Ⅰ）知，，在Rt△PDC中，∵PD＝CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴，∴【小問3詳解】如圖所示，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ，有，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得，則，解得所以故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，19、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值，從而解決問題.【小問1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在，令，，，由，因為，所以，即-1-x1因為，所以，即-4-x1由①，由②將，代入上式，得20、（1）（2）【解析】（1）通過構(gòu)造新數(shù)列求解；（2）由（1）得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問1詳解】由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問2詳解】由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對一切正整數(shù)n都成立，則，即，因為為正實數(shù)，所以.21、（1）（2）平均數(shù)為；中位數(shù)為.【解析】（1）直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義直接計算得到答案.【小問1詳解】該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率為：【小問2詳解】居民月收入的平均數(shù)為：.第一組概率為，第二組概率為，第三組概率為，設(shè)居民月收入的中位數(shù)為，則，解得.22、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對的取值進(jìn)行分類討論，當(dāng)時，根據(jù)三點(diǎn)共線求得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線交橢圓兩點(diǎn)，代值計算即可求得結(jié)果.【小問1詳解】對橢圓，令，故可得，則，故，則，又，，故可得，則橢圓的方程為：.