蘇教版數(shù)學選修2-1講義模塊復習課Word版含答案

一、常用邏輯用語1．充分條件與必要條件(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若p?q，則p是q的充要條件．(3)若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件．(4)若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件．(5)若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件．2．全稱命題與存在性命題的否定(1)全稱命題的否定p：?x∈M，p(x)．綈p：?x∈M，綈p(x)．(2)存在性命題的否定p：?x∈M，p(x)．綈p：?x∈M，綈p(x)．二、圓錐曲線與方程1．橢圓(1)橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．(2)橢圓的標準方程焦點在x軸上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點在y軸上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．(3)橢圓的幾何性質(zhì)①范圍：對于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b.②對稱性：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，關于x軸，y軸及原點對稱．③頂點：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的頂點坐標為A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．④離心率：e＝eq\f(c,a)，離心率的范圍是e∈(0,1)．⑤a，b，c的關系：a2＝b2＋c2.2．雙曲線(1)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2(2)雙曲線的標準方程焦點在x軸上：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦點在y軸上：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)；(3)雙曲線的幾何性質(zhì)①范圍：對于雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R，②對稱性：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)關于x軸，y軸及原點對稱．③頂點：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點坐標為A1(－a,0)，A2(a,0)，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點坐標為A1′(0，－a)，A2′(0，a)，④漸近線：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x.⑤離心率：e＝eq\f(c,a)，雙曲線離心率的取值范圍是e∈(1，＋∞)，⑥a，b，c的關系：c2＝a2＋b2.3．拋物線(1)拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．(2)拋物線的標準方程焦點在x軸上：y2＝±2px(p>0)，焦點在y軸上：x2＝±2py(p>0)．(3)拋物線的幾何性質(zhì)①范圍：對于拋物線x2＝2py(p>0)，x∈R，y∈[0，＋∞)．②對稱性：拋物線y2＝±2px(p>0)，關于x軸對稱，拋物線x2＝±2py(p>0)，關于y軸對稱．③頂點：拋物線y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的頂點坐標為(0,0)．④離心率：拋物線上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義知e＝1.三、空間向量與立體幾何1．空間向量及其運算(1)共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)，(2)P，A，B三點共線?eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)，(3)共面向量定理：p與a，b共面?p＝xa＋yb，(4)P，A，B，C四點共面?eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)，(5)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個基底．(6)空間向量運算的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，②λa＝(λa1，λa2，λa3)，③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，⑦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))，⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).2．立體幾何中的向量方法(1)異面直線所成的角兩條異面直線所成的角為θ，兩條異面直線的方向向量分別為a，b，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，(2)直線與平面所成的角直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為a，平面的法向量為n，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)(3)二面角二面角為θ，n1，n2為兩平面的法向量，則|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)1．使a>b成立的充分不必要條件是a>b－1.(×)a>b－1a>b.2．當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(√)3．“全等三角形的面積相等”是存在性命題．(×)4．命題p：?x∈(0，＋∞)，則x2＋2x＋1>0，則綈p為：?x∈(－∞，0]，使x2＋2x＋1≤0.(×)[提示]綈p應為?x∈(0，＋∞)，使x2＋2x＋1≤0.5．命題“菱形的兩條對角線相等”是全稱命題且是真命題．(×)[提示]此命題是全稱命題，但是是假命題．6．“x>6”是“x>1”的充分不必要條件．(√)[提示]x>6?x>1，但x>1x>6.7．平面內(nèi)與兩個定點的距離之和為定值的點的軌跡是橢圓．(×)8．橢圓上的點到焦點的最大距離為a＋c，最小距離為a－c.(√)[提示]橢圓長軸的端點到焦點的距離有最大值或最小值．9．已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓．(×)[提示]|F1F2|＝8，故點的軌跡是線段F1F10．橢圓2x2＋3y2＝12的焦點坐標為(0，±eq\r(2))．(×)[提示]橢圓標準方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1，c2＝a2－b2＝2，故橢圓的焦點坐標為(±eq\r(2)，0)．11．已知橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)，焦距為6，則實數(shù)m的值為4.(×)[提示]當焦點在x軸上時，由25－m2＝9得m＝4，當焦點在y軸上時，m2－25＝9得m＝eq\r(34).12．已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝8，則點P的軌跡是雙曲線的右支．(×)[提示]點P的軌跡是一條射線．13．“0≤k<3”是方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線的充要條件．(×)[提示]當0≤k<3時，方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，若方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，則有(k＋1)(k－5)<0，即－1<k<5，故原命題錯誤．14．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長為2.(×)[提示]雙曲線標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，因此雙曲線的實軸長為4.15．等軸雙曲線的漸近線相同．(√)[提示]等軸雙曲線的漸近線方程都是y＝±x.16．到定點和定直線距離相等的點的軌跡是拋物線．(×)[提示]當定點在定直線上時點的軌跡是一條直線．17．拋物線y＝2x2的焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).(×)[提示]拋物線標準方程為x2＝eq\f(1,2)y，故焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).18．拋物線y2＝2px(p>0)中過焦點的最短弦長為2p.(√)[提示]拋物線中通徑是最短的弦長．19．拋物線y＝ax2(a≠0)的準線方程為y＝2，則實數(shù)a的值是eq\f(1,8).(×)[提示]拋物線標準方程為x2＝eq\f(1,a)y，則－eq\f(1,4a)＝2，解得a＝－eq\f(1,8).20．AB為拋物線y2＝2px(p＞0)的過焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.(√)21．若空間任一點O和不共線的三點A，B，C滿足eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，則點P與A，B，C共面．(√)[提示]eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)－1＝1，故四點共面．22．a(chǎn)，b為空間向量，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．(√)[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．23．兩個平面垂直，則這兩個平面的法向量也垂直．(√)[提示]由平面法向量的定義可知．24．直線與平面垂直，則直線的方向向量與平面的法向量垂直．(×)[提示]直線的方向向量與平面的法向量平行．25．若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0.(√)[提示]假設k1≠0，則e1＝－eq\f(k2,k1)e2－eq\f(k3,k1)e3，則e1，e2，e3共面．26．若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150°，則直線與平面所成的角為30°.(×)[提示]直線與平面所成的角為60°.27．若直線與平面所成的角為0°，則直線在平面內(nèi)．(×)[提示]直線與平面也可能平行．28．兩個平面的法向量所成的角為120°，則兩個平面所成的二面角也是120°.(×)[提示]二面角的度數(shù)是120°或60°.29．兩條異面直線所成的角為30°，則兩條直線的方向向量所成的角可能是150°.(√)[提示]根據(jù)向量所成角的定義知正確．30．若二面角是30°，則在二面角的兩個半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30°.(×)[提示]在二面角的兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30°或150°.1．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA[因為雙曲線的離心率為eq\r(3)，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)，即c＝eq\r(3)a.又c2＝a2＋b2，所以(eq\r(3)a)2＝a2＋b2，化簡得2a2＝b2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以y＝±eq\r(2)x.故選A]2．(2018·全國卷Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點，則eq\o(FM,\s\up8(→))·eq\o(FN,\s\up8(→))＝()A．5 B．6C．7 D．8D[法一：過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))不妨設M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up8(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up8(→))＝(3,4)，所以eq\o(FM,\s\up8(→))·eq\o(FN,\s\up8(→))＝8.故選D.法二：過點(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＞0，y2＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up8(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up8(→))＝(x2－1，y2)，所以eq\o(FM,\s\up8(→))·eq\o(FN,\s\up8(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4eq\r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故選D.]3．(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)C[法一：如圖，補上一相同的長方體CDEF-C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EE\o\al(2,1))＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋\r(5)2－\r(5)2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.法二：如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.法三：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，eq\r(3))，B1(1,1，eq\r(3))，所以eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(DB1,\s\up8(→))＝(1,1，eq\r(3))，則由向量夾角公式，得cos〈eq\o(AD1,\s\up8(→))，eq\o(DB1,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up8(→))·\o(DB1,\s\up8(→)),|\o(AD1,\s\up8(→))|·|\o(DB1,\s\up8(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.]4．(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4B[因為雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨設過點F的直線與直線y＝eq\f(\r(3),3)x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點F(2,0)，所以直線MN的方程為y＝－eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－2，,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3，故選B.]5．(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________.[解析]法一：由題意知拋物線的焦點為(1,0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去x得y2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y＋1))，即y2－eq\f(4,k)y－4＝0，則y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得eq\o(MA,\s\up8(→))·eq\o(MB,\s\up8(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1與y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二：設拋物線的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，則k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB的中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，又∠AMB＝90°，點M在準線x＝－1上，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．又M′為AB的中點，所以MM′平行于x軸，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.[答案]26．(2018·全國Ⅰ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF.(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值．[解](1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF?平面PEF，EF?平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足為H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H為坐標原點，eq\o(HF,\s\up8(→))的方向為y軸正方向，|eq\o(BF,\s\up8(→))|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝eq\r(3).又PF＝1，EF＝2，PF2＋PE2＝EF2，故PE⊥PF.可得PH＝eq\f(\r(3),2)，EH＝eq\f(3,2).則H(0,0,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)，0))，eq\o(DP,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，